第4章　愛因斯坦的比熱(1)

1907年夏季的一天，愛因斯坦在專利局上班時(shí)被告知有人來訪。他匆匆下樓到大廳里轉(zhuǎn)了一圈，既沒看到熟悉的面孔，也沒人來打招呼，只好回到樓上的崗位。不久，他又被告知樓下有訪客在等。再度下樓后，果然有個(gè)人迎了上來，自我介紹是從柏林來的馬克斯·勞厄（Max Laue）。

勞厄是普朗克的助手(2)。他和普朗克都已經(jīng)與愛因斯坦通信聯(lián)絡(luò)一兩年了，但還素未謀面。勞厄這次是受普朗克之托專程來伯爾尼拜訪。他先去了當(dāng)?shù)氐拇髮W(xué)，意外地發(fā)現(xiàn)那里并沒有“愛因斯坦教授”。等打聽到愛因斯坦在專利局后，他也沒想到對方會(huì)是一個(gè)年輕小伙子。所以愛因斯坦第一次下樓時(shí)他沒相認(rèn)。

奇跡年的四篇論文已經(jīng)問世一年半了。那年愛因斯坦還向蘇黎世大學(xué)提交了另一篇論文，獲得博士學(xué)位。他原以為這些論文會(huì)引起轟動(dòng)，很快讓他重返學(xué)術(shù)界，結(jié)果卻相當(dāng)失望。只有一個(gè)年輕沒名氣的副教授約翰內(nèi)斯·斯塔克（Johannes Stark）曾邀請他去做實(shí)驗(yàn)室助理。因?yàn)樘峁┑男匠赀h(yuǎn)不如專利局，愛因斯坦謝絕了。[5]135他新得的博士頭銜倒是在專利局管了點(diǎn)用，讓他從“三級(jí)技術(shù)專家”提升為“二級(jí)技術(shù)專家”，工資上漲了15%。

勞厄的不請自來重新點(diǎn)燃他的希望。他立刻請了假，陪同勞厄在伯爾尼的街頭漫步，興致勃勃地談?wù)撐锢韺W(xué)的最新進(jìn)展。他還慷慨地為勞厄敬上他幾乎不離口的煙。勞厄?qū)嵲跓o法忍受這專利局職員的廉價(jià)貨，在過橋時(shí)假裝失手棄之于河中。[11]34-37,[2]140-143

愛因斯坦的興奮也很短暫。勞厄走后，他的生活重歸平靜，沒有等來預(yù)期中的學(xué)術(shù)界佳音。

作為《物理年鑒》負(fù)責(zé)理論物理的編輯，普朗克對愛因斯坦發(fā)表的一系列論文有著先睹為快的便利。他很快成為最早發(fā)現(xiàn)、介紹愛因斯坦的體制內(nèi)物理學(xué)家。不過他的熱情集中于愛因斯坦奇跡年的第三篇論文。那篇論文在1905年9月問世后，普朗克立即在柏林大學(xué)舉辦了一個(gè)講座。那是相對論(3)第一次登上學(xué)術(shù)大雅之堂。緊接著，普朗克在1906年初發(fā)表論文，證明狹義相對論符合物理學(xué)傳統(tǒng)的“最小作用量原理”（principle of least action）。這便是出自愛因斯坦之外的第一篇相對論學(xué)術(shù)論文。[5]88;[2]132,140-141

在其后兩年里，普朗克幾乎所有的科研都圍繞著相對論進(jìn)行。作為他的愛徒，勞厄在之后四年中也連續(xù)發(fā)表了八篇關(guān)于相對論的論文。[2]142

但他們都沒有觸及愛因斯坦的第一篇論文：量子理論。

愛因斯坦從一開始就清楚量子理論比相對論更具備革命性，也就更難以被接受。在普朗克——量子的所謂始作俑者——身上，他的預(yù)想得到證實(shí)。

在愛因斯坦提出相對論之前，以太的存在與否、邁克爾遜和莫雷的實(shí)驗(yàn)結(jié)果等作為開爾文的第一朵烏云已經(jīng)在物理學(xué)界引起重視。當(dāng)時(shí)的老牌物理學(xué)家，比如荷蘭的亨德里克·洛倫茲（Hendrik Lorentz）和法國的亨利·龐加萊（Henri Poincare）都已經(jīng)相當(dāng)接近揭開這個(gè)謎。狹義相對論中著名的“鐘慢尺縮”現(xiàn)象的數(shù)學(xué)方程就是由洛倫茲率先提出，因而叫作“洛倫茲變換”（Lorentz transformation）。龐加萊也已經(jīng)在試圖摒棄絕對的空間、時(shí)間概念。只是在愛因斯坦之前，他們都沒能邁出最后的決定性跨越，從根本上顛覆經(jīng)典物理的傳統(tǒng)觀念。[2]133

無疑，愛因斯坦在相對論上的貢獻(xiàn)也是革命性的，開創(chuàng)了現(xiàn)代物理的時(shí)空新理念。但他的這個(gè)突破同時(shí)也具備一種水到渠成的必然，如他自己所言是麥克斯韋、洛倫茲電動(dòng)力學(xué)的自然延伸。所以，即使是保守的普朗克也早有思想準(zhǔn)備，立刻接受了這個(gè)新理論。

而量子概念卻猶如橫空出世，驚世駭俗。它的革命性讓所有物理學(xué)家措手不及。

勞厄拜訪愛因斯坦時(shí)，光電效應(yīng)論文已經(jīng)問世了整整兩年。經(jīng)過幾個(gè)小時(shí)的散步交談，勞厄不得不對這位只比他大半年的小職員刮目相看。他覺得愛因斯坦似乎已經(jīng)徹底顛覆了整個(gè)經(jīng)典物理的基礎(chǔ)。

不過，在量子問題上，勞厄還是堅(jiān)持他和導(dǎo)師普朗克的意見。

普朗克沒有在他1900年發(fā)表的論文中提及瑞利半年前根據(jù)能均分定理所做的論證。他自己似乎也沒有嘗試過那個(gè)途徑。當(dāng)時(shí)的普朗克還信不過玻爾茲曼的統(tǒng)計(jì)理論。他堅(jiān)信黑體空腔中的電磁波已經(jīng)由麥克斯韋方程精確地描述，沒有必要再動(dòng)用靠不住的統(tǒng)計(jì)手段。(4)

為了得出他從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合而得的黑體輻射公式，普朗克不得不舍近求遠(yuǎn)地計(jì)算作為空腔內(nèi)壁的“實(shí)際”物體的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。他假設(shè)內(nèi)壁由以各種頻率做振蕩的諧振子構(gòu)成，通過共振吸收、發(fā)射電磁波，與空腔內(nèi)的電磁波達(dá)到熱平衡。正是在這一過程中，他不得不絕望地引入一個(gè)新的法則：這些諧振子在吸收、發(fā)射電磁波時(shí)的能量交換不能隨意，只能以他那與頻率成正比的“量子”為基本單位進(jìn)行。

五年后，愛因斯坦提出光其實(shí)就是由單個(gè)、分離的光量子組成，它們的能量正好就是普朗克引入的量子。他列舉光電效應(yīng)、熒光現(xiàn)象作為佐證，但沒有直接評判普朗克的邏輯。那固然是由于好友貝索的干預(yù)，也因?yàn)樗约哼€沒來得及把握其中的奧妙。當(dāng)時(shí)，他以為自己提出的只是與普朗克不同的另一個(gè)理解。

一年后，愛因斯坦在1906年又發(fā)表了一篇論文，才系統(tǒng)地理清了其中的邏輯關(guān)系：他的光量子其實(shí)是普朗克推導(dǎo)黑體輻射公式過程中不可或缺的關(guān)鍵部分，只是普朗克自己沒能意識(shí)到而一筆帶過。其實(shí)，黑體內(nèi)壁的諧振子只能以量子為單位吸收、發(fā)射電磁波，不是因?yàn)槟切┲C振子有這么一個(gè)莫名其妙的怪癖，而是因?yàn)樽匀唤缰淮嬖谟羞@樣的光量子能被吸收、發(fā)射。[8],[5]90-93

顯然，這在邏輯上更為自然、順暢。同時(shí)，它也是物理學(xué)史上最具革命性的新觀點(diǎn)之一。

在論證了這一點(diǎn)之后，愛因斯坦并沒忘記繼續(xù)為普朗克邀功請賞：“在我看來，這些考慮并不否定普朗克的輻射理論。相反，它說明普朗克先生通過他的輻射理論在物理學(xué)中引入了一個(gè)嶄新的假設(shè)性概念：光量子假說。”

可惜，普朗克卻是絕對不愿意買這個(gè)賬。一年多后，勞厄來訪時(shí)依然強(qiáng)調(diào)，所謂的量子不過是電磁波被吸收、發(fā)射時(shí)的一個(gè)奇怪現(xiàn)象，絕對不能像愛因斯坦描述的適用于電磁波本身。普朗克也直接給愛因斯坦回信堅(jiān)持：“量子只在吸收、發(fā)射地點(diǎn)存在。我不探討它們在真空中的意義，而只假設(shè)真空中的過程已經(jīng)由麥克斯韋方程準(zhǔn)確地描述。”[2]141-142,[5]80

普朗克和勞厄都沒注意到，那時(shí)的愛因斯坦其實(shí)已經(jīng)進(jìn)一步擴(kuò)展了量子的適用領(lǐng)域。

還是15歲的少年時(shí)，愛因斯坦做過兩個(gè)重大決定：他不但自作主張從中學(xué)退學(xué)（圖4.1），還因?yàn)椴辉敢夥鄹纱喾艞壛说聡鴩Ｋ蚋改副ＷC會(huì)靠自學(xué)考取不需要中學(xué)文憑的蘇黎世聯(lián)邦理工學(xué)院。一年后，他因?yàn)榉ㄕZ和文科科目成績太差未能過關(guān)。但他在數(shù)學(xué)、物理科目中表現(xiàn)出的才華贏得了物理教授海因里希·韋伯（Heinrich Weber）的青睞。韋伯建議他干脆留在蘇黎世旁聽他的課程。但愛因斯坦還是選擇了在朋友家寄宿，一邊在當(dāng)?shù)刂袑W(xué)補(bǔ)習(xí)一邊與房東的女兒熱火朝天地戀愛。又一年后，他如愿以償，以優(yōu)異成績考上蘇黎世聯(lián)邦理工學(xué)院。但他的初戀卻隨著他在大學(xué)里遇上米列娃而告終。(5)[2]22-31

韋伯是愛因斯坦的第一個(gè)科學(xué)偶像。大學(xué)期間，愛因斯坦總共修了15門韋伯教授的課程，成績都非常好。尤其是前兩年，他認(rèn)為韋伯的課程最為精彩，總是滿懷熱情全力以赴并贊不絕口。

但在愛因斯坦逐漸成長為無所畏懼的施瓦本人時(shí)，他對韋伯后兩年講授的課程越來越不滿，抱怨教學(xué)內(nèi)容至少落后了50年。叛逆的愛因斯坦頻繁翹課，甚至拒絕按規(guī)矩稱呼韋伯“教授先生”，代之以不禮貌的“韋伯先生”。韋伯曾經(jīng)無可奈何地感嘆：“愛因斯坦，你是一個(gè)非常聰明的孩子，特別聰明的孩子。但你有一個(gè)非常大的毛病：你從來不允許別人告訴你任何事情。”[5]16-19,[2]33-34

愛因斯坦當(dāng)時(shí)不知道，韋伯先生也曾經(jīng)有過年輕的時(shí)候。

在擔(dān)任蘇黎世聯(lián)邦理工學(xué)院教授之前，韋伯最出名的工作是在柏林大學(xué)給著名物理學(xué)家赫爾曼·馮·亥姆霍茲（Hermann von Helmholtz）(6)當(dāng)助手時(shí)所做的一系列實(shí)驗(yàn)，精確測量了固體的“比熱”（specific heat）和溫度的關(guān)系。

比熱是一個(gè)基本的熱學(xué)概念。我們要讓水熱起來，需要給它提供熱量。將1克水的溫度升高1攝氏度所需要的熱量就是水的比熱。這其實(shí)是一個(gè)現(xiàn)代人在日常生活中已經(jīng)熟悉的熱量單位：卡（calorie）(7)。

很容易想象，加熱不同的物體所需要的熱量應(yīng)該會(huì)不一樣。但早在19世紀(jì)初，法國物理學(xué)家皮埃爾·杜隆（Pierre Dulong）和亞歷克西斯·帕蒂（Alexis Petit）卻發(fā)現(xiàn)各種固體金屬材料大致有著同樣的比熱。那似乎是一個(gè)普適的常數(shù)，不僅與材料無關(guān)，也與物體的溫度無關(guān)。

這個(gè)奇怪的現(xiàn)象直到幾十年后才由玻爾茲曼用他的統(tǒng)計(jì)理論解釋。玻爾茲曼假設(shè)固體中原子的熱運(yùn)動(dòng)是不同頻率的振動(dòng)，溫度是這種振動(dòng)所儲(chǔ)存的熱能的標(biāo)志。這樣，固體溫度升高所需要的熱量可以通過能均分定理計(jì)算。因?yàn)樵釉诠腆w中振動(dòng)的自由度數(shù)目是一樣的，所以比熱不會(huì)隨材料、溫度等因素改變，是一個(gè)常數(shù)。

果然，玻爾茲曼的計(jì)算得出了與杜隆和帕蒂實(shí)際測量一致的數(shù)值。那是經(jīng)典統(tǒng)計(jì)物理的一大成就。

可是，也在同時(shí)，實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家逐漸發(fā)現(xiàn)有一些固體材料的比熱并不與杜隆和帕蒂發(fā)現(xiàn)的數(shù)值一致。它們會(huì)隨溫度變化。

年輕的韋伯進(jìn)行了一系列大膽的創(chuàng)新，從-100攝氏度的低溫到1000攝氏度高溫之間完整地測量了鉆石等固體的比熱。(8)他發(fā)現(xiàn)，鉆石的比熱只是在極高溫時(shí)才趨近杜隆和帕蒂的常數(shù)。溫度不夠高時(shí)，比熱會(huì)隨溫度的降低而遞減。這與玻爾茲曼的理論矛盾。[8],[5]103-110

韋伯因?yàn)檫@些出色的實(shí)驗(yàn)獲得蘇黎世聯(lián)邦理工學(xué)院教授席位后便淡出了科研領(lǐng)域，演變?yōu)閻垡蛩固寡壑械睦瞎哦Ｋ麖膩頉]有在課程中談及自己的工作，愛因斯坦還是在專利局的參考資料中才發(fā)現(xiàn)老師當(dāng)年的輝煌。但更讓他感興趣的是這又是一個(gè)能均分定理失效的例子，與黑體輻射中的紫外災(zāi)難有異曲同工之妙。

愛因斯坦意識(shí)到這個(gè)災(zāi)難的確來自經(jīng)典的能均分定理本身。在空腔中，因?yàn)楦哳l率、短波長的波能有更多的駐波模式，就有更多自由度。根據(jù)能均分定理，處于平衡態(tài)的系統(tǒng)在每個(gè)自由度都會(huì)具備同樣的能量。這樣，能量便會(huì)越來越集中于高頻段，導(dǎo)致紫外災(zāi)難。

經(jīng)典波動(dòng)理論中，頻率只是波動(dòng)模式的一個(gè)標(biāo)志，沒有更顯著的物理意義。但普朗克提出的能量子第一次讓頻率與能量掛上了鉤。高頻率的能量子的能量比低頻率的會(huì)大得多。在愛因斯坦的重新推導(dǎo)中，當(dāng)同樣的能量均分到高頻率和低頻率的波動(dòng)模式時(shí)，會(huì)導(dǎo)致高頻的能量子在數(shù)目上遠(yuǎn)遠(yuǎn)少于低頻的能量子。

如果溫度本身就比較低，以至于達(dá)不到單個(gè)高頻能量子所需要的能量，那個(gè)高頻的自由度上便不會(huì)存在任何能量子，也就不會(huì)為黑體輻射做任何貢獻(xiàn)。這樣，室溫的輻射中沒有可見光。即使溫度高了，也不足以“激發(fā)”紫外線等高頻率的輻射。這些高頻的自由度被“凍結(jié)”了，壓根就不參與能量的均分，也就避免了紫外災(zāi)難。同樣地，這樣計(jì)算得出的能量子的數(shù)目——無論是在低頻還是高頻段——都會(huì)是有限的，不至于導(dǎo)致總能量的無窮大。

這正是黑體輻射中被普朗克當(dāng)作數(shù)學(xué)手段而隱匿了的物理機(jī)制。

愛因斯坦進(jìn)一步領(lǐng)悟，這個(gè)自由度被凍結(jié)的機(jī)制不僅會(huì)存在于電磁波中，也會(huì)出現(xiàn)在任何振蕩模型里。固體的比熱便是現(xiàn)成的一個(gè)例子。

只有在相當(dāng)高的溫度下，固體中的振蕩自由度才會(huì)被全部激發(fā)，因而有著能均分定理帶來的普適比熱數(shù)值。杜隆和帕蒂研究的那些金屬只是恰好在室溫下就已經(jīng)達(dá)到了這個(gè)條件。韋伯的鉆石則不然，需要高得多的溫度才能趨近這個(gè)條件。當(dāng)溫度不夠高時(shí)，固體內(nèi)高頻率的振動(dòng)像黑體中的紫外輻射一樣沒能被激發(fā)，也就不會(huì)參與熱運(yùn)動(dòng)。因此，固體的比熱會(huì)隨溫度降低而逐漸減少：越來越多的自由度在低溫下被凍結(jié)。

他還做出進(jìn)一步的預(yù)測：當(dāng)溫度降至絕對零度——物理上溫度的最低限——時(shí)，固體中的所有自由度都會(huì)被徹底“凍結(jié)”，不存在任何熱運(yùn)動(dòng)，其比熱也會(huì)因之降至零。

順著這個(gè)新思路，愛因斯坦構(gòu)造了一個(gè)數(shù)學(xué)上非常簡單化的模型，定性地描述了固體比熱隨溫度的變化，與韋伯的實(shí)驗(yàn)結(jié)果相當(dāng)吻合。

有意思的是，愛因斯坦這篇論文中不僅采用了被他看不起的韋伯的成果（圖4.2），也援引了他同樣不屑的德魯?shù)碌南嚓P(guān)觀點(diǎn)。在那之前，德魯?shù)乱呀?jīng)創(chuàng)立了金屬中的自由電子理論，解決了金屬導(dǎo)電、導(dǎo)熱等一系列問題(9)。愛因斯坦指出，德魯?shù)碌淖杂呻娮邮枪腆w中新的、玻爾茲曼當(dāng)時(shí)不知道的自由度。如果將這些自由度也包括在計(jì)算之內(nèi)，能均分定理便無法得出杜隆和帕蒂的常數(shù)。只有在新的量子理論中，才可能有自圓其說的解釋：那些自由電子對固體的比熱沒有貢獻(xiàn)，同樣是因?yàn)樗鼈兊淖杂啥任茨鼙患ぐl(fā)。[12]

愛因斯坦這篇論文發(fā)表時(shí)，韋伯早已退休。德魯?shù)乱矝]能看到當(dāng)初對他很冒犯的愛因斯坦這一新表現(xiàn)。作為正在脫穎而出的年輕才俊，德魯?shù)略?906年成為柏林大學(xué)物理所負(fù)責(zé)人，同時(shí)也進(jìn)入了普魯士科學(xué)院。不過正值事業(yè)登峰造極之際，他出乎意料地自殺身亡，年僅42歲。[13]

愛因斯坦這篇《普朗克的輻射理論和比熱理論》(11)的論文于1906年底投寄，1907年初問世。這是量子理論在固體物理中的第一個(gè)應(yīng)用，由此開創(chuàng)了量子固體物理學(xué)。

在這篇論文中，愛因斯坦旗幟鮮明地指出，這個(gè)“普朗克的”輻射理論應(yīng)該是普適的。它不僅適用于電磁波的吸收、發(fā)射，真空中的電磁波，還適用于固體中與電磁波完全無關(guān)的原子振蕩。因?yàn)槲锢砜茖W(xué)中所有領(lǐng)域都存在某種振蕩的模式，愛因斯坦認(rèn)為它們都將成為新理論的用武之地。在他的眼里，已經(jīng)開始有了一個(gè)嶄新、奇異的量子世界。

在那個(gè)年代，這個(gè)新世界還只存在于這一個(gè)孤獨(dú)、固執(zhí)的施瓦本人的目光中。

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(1)　比熱（specific heat）即現(xiàn)稱比熱容（specific heat capacity）。本書根據(jù)歷史史實(shí)使用比熱一詞。

(2)　那時(shí)的助手大體相當(dāng)于今天的博士后。

(3)　“相對論”這個(gè)名稱便是普朗克率先使用的。愛因斯坦起初曾把它叫作“不變論”（invariance theory）。

(4)　愛因斯坦后來評論說，普朗克這是幸運(yùn)地歪打正著。如果他走了瑞利、愛因斯坦同樣的路，也許會(huì)在遭遇紫外災(zāi)難后裹足不前，完全與量子無緣。

(5)　雖然愛因斯坦與這個(gè)初戀女友的戀情無疾而終，他們兩家的淵源卻沒有中斷。經(jīng)他介紹，貝索娶了那個(gè)女友的姐姐。愛因斯坦自己的妹妹后來也嫁給那個(gè)女友的弟弟。

(6)　普朗克、赫茲、維恩、邁克爾遜都是亥姆霍茲的學(xué)生。

(7)　1卡=4.186焦耳。

(8)　那時(shí)還沒有制冷設(shè)備。他只能依靠冬天自然的冰雪做低溫實(shí)驗(yàn)。

(9)　愛因斯坦一輩子發(fā)表的論文中只有兩篇有理論與實(shí)驗(yàn)比較的圖，這是其中第一篇。另一篇也是關(guān)于比熱問題。

(10)　那時(shí)湯姆森發(fā)現(xiàn)電子只過了區(qū)區(qū)三年。

(11)　“Planck’s Theory of Radiation and the Theory of Specific Heat”