三　解答如何產(chǎn)生——交叉法原理

“昨天講的3個例子，你們總沒有忘掉吧！——若是這樣健忘，那就連吃飯、走路都學不會了。”馬先生一走進門，還沒立定，就笑嘻嘻地這樣開場了。大家自然只是報以微笑。馬先生于是口若懸河地開始這一課的講解。

昨天的3個例子，圖上都是一條直線，各條直線都表示了兩個量所保有的一定關系。從直線上的任意一點，往左看往下看，馬上就知道符合某種條件的甲量在不同的狀況下，乙量是怎樣的情形。如圖2-7，每小時走2里，4小時便走8里，5小時便走10里。

這種圖，對于我們當然很有用。比如說，你有個弟弟，每小時可走6里路，他離開你出門去了。你若照樣畫一張圖，他離開你后，你坐在屋里，只要看看表，他走了多久，再看看圖，就可以知道他離你有多遠了。倘若你還清楚這條路沿途的地名，你當然可以知道他已到了什么地方，還要多長時間才能到達目的地。倘若他走后，你突然想起什么事，需要叮囑他，正好有長途電話可用，只要沿途有地點可以和他通電話，你豈不是很容易就能找到打電話的時間和通話的地點嗎？

這是一件很巧妙的事，已落了中國古代小說無巧不成書的老套。古往今來，有幾個人碰巧會遇見這樣的事？這有什么用場呢？你也許要這樣找茬兒。然而這只是一個用來打比方的例子，照這樣推想，我們一定能夠繪制出一幅地球和月亮運行的圖吧。從這上面，豈不是在屋里就可以看出任何時候地球和月亮的相互位置嗎？這豈不是有了孟子所說的“天之高也，星辰之遠也，茍求其故，千歲之日至，可坐而致也”那副神氣嗎？算學的野心，就是想把宇宙間的一切法則統(tǒng)括在幾個式子或幾張圖上。

按現(xiàn)在說，這似乎是有些夸大了，姑且丟開，轉(zhuǎn)到本題。算術(shù)上計算一道題，除了混合比例那一類以外，總只有一個答案，這個答案靠昨天所講過的那種圖，可以得出來嗎？

當然可以，我們不是能夠由圖上看出來，張老大得9元錢的時候，宋阿二得的是6元錢嗎？

不過，這種辦法對于這樣簡單的題目雖是可以得出來，遇見較復雜的題目，就不那么方便了。比如，將題目改成這樣：

張老大、宋阿二分15元，怎樣分，張老大比宋阿二多得3元？

當然我們可以這樣老老實實地去把解法找出來：張老大拿15元的時候，宋阿二1元都拿不到，相差的是15。張老大拿14元的時候，宋阿二可得1元，相差的是13……這樣直到張老大拿9元，宋阿二得6元，相差正好是3，這便是答案。

這樣的做法，就是對于這個很簡單的題目，也需6次才能得出答案。遇到較復雜的題目，或是數(shù)目較大的，那就不勝其煩了。

而且，這樣的做法，實在和買彩票差不多。從張老大拿15元，宋阿二得不著，相差15，不對題；馬上就跳到張老大拿14元，宋阿二得1元，相差13，實在太膽大。為什么不看一看，張老大拿14.9元，14.8元……乃至于14.99元……的時候怎樣呢？

喔！若是這樣，那還了得！從15到9中間有無限的數(shù)，要依次看去，人壽幾何？而且比15稍稍小一點兒的數(shù)，誰看見過它的面孔是圓的還是方的？

老老實實的辦法，就不是辦法！人是有理性的動物，變戲法要變得省力氣、有把握，才會得到看客的贊賞呀！你們讀過《伊索寓言》吧？書中不是說人學的豬叫比真的豬叫更符合人們的期待嗎？

所以算術(shù)上的解法必須更巧妙一些。

下面，我就來講交叉法原理。

照昨天的說法，我們無妨假設，兩個量間有一定的關系，可以用一條線表示出來。——這里說假設，是虛心的說法，因為我們只講過3個例子，不能冒冒失失地概括一切。其實，兩個量的關系，用圖線（不一定是直線）表示，只要這兩個量是實量，總是可能的。——那么像剛剛舉的這個例子，即包含兩種關系：第一，兩個人所得的錢的總和是15；第二，兩個人所得的錢的差是3，每種關系都可畫一條線來表示。

所謂一條線表示兩個數(shù)量的一種關系，精確地說，就是無論從那條線上的哪一點，橫看和豎看所得的兩個數(shù)量都有同一的關系。

假如，表示兩個數(shù)量的兩種關系的兩條直線是交叉的，那么，相交的地方當然是一個點，這個點便是一子雙挑了，它繼承這一房的產(chǎn)業(yè)，同時也繼承另一房的產(chǎn)業(yè)。所以，由這一點橫看豎看所得出的兩個數(shù)量，既保有第一條線所表示的關系，同時也保有第二條線所表示的關系。換句話說，便是這兩個數(shù)量同時具有題上的兩個關系。

這樣的兩個數(shù)量，不用說，當然是題上所要的答案。

試將前面的例題畫出圖來看，那就非常明了了，如圖3-1所示。

第一個條件，“張老大、宋阿二分15元”，這是兩人所得的錢的和一定，用線表示出來，便是AB。

第二個條件，“張老大比宋阿二多得3元”，這是兩人所得的錢的差一定，用線表示出來，便是CD。

AB和CD相交于E，就是E點既在AB上，同時也在CD上，兩條線所表示的條件它都包含。

由E橫看過去，張老大得的是9元；豎看下來，宋阿二得的是6元。

正好，9元加6元等于15元，就是AB線所表示的關系。

而9元比6元多3元，就是CD線所表示的關系。

E點正是本題的答案。

“兩線的交點同時包含著兩線所表示的關系。”這就是交差原理。

下面，就這個原理再補充幾句。

兩線不止一個交點怎么辦？

那就是這題不止一個答案。不過，此話是后話，暫且不討論，以后連續(xù)的若干次講課中都不會遇見這種情形。

兩線沒有交點又怎樣？

那就是這題沒有答案。

沒有答案還成題嗎？

不客氣地說，你就可以說這題不通；客氣一點兒說，你就說這題不可能。所謂不可能，就是照題上所給的條件，它的答案是不存在的。

比如，前面的例題，第二個條件，換成“張老大比宋阿二多得16元”，畫出來，如圖3-2所示，兩直線便沒有交點。事實上，這非常清晰，兩個人分15元，無論怎樣都不會有一個人比別一個人多得16元的。只有兩人暫時將它放著生利息，連本帶利到了16元以上再來分。然而，這已超出題目的范圍了。

教科書上的題目，是著書的人為了學習的人方便練習編造出來的，所以，只要不是排錯，都會有答案。至于到了實際生活中，那就不一定有這樣的運氣。因此，注意題目是否可能，假如不可能，解釋不可能的理由，這也是學習算學的人應當做的工作。