二　怎樣具體地表示數量以及兩個數量間的關系

學習一種東西，首先要端正學習態度。現在一般人學習只是用耳朵聽先生講，把講的牢牢記住，用眼睛看先生寫，用手照抄下來，也牢牢記住。這正如拿著口袋到米店去買米，付了錢，讓別人將米倒在口袋里，自己背回家就完事一樣。把一口袋米放在家里，肚子就不會餓了嗎？買米的目的，是把它做成飯，吃到肚子里，將飯消化了，吸收生理上所需要的營養，將不需要的污穢排泄出去。所以飯得煮熟，吃掉，消化了，養料得吸收了，污穢得排出去。就算買的是飯，飯是別人喂到嘴里去的，但進嘴以后的一切工作只有靠自己了。學校的先生所能給予學生的只是生米和煮飯的方法，最多是飯，喂到嘴里的事就要靠學生自己了。所以學習是要把先生所給的米變成飯，自己嚼，自己消化，自己吸收，自己排泄。教科書要成為一本教科書，必須有必不可少的材料，先生給學生講課也有少不來的話，正如米要成米有必不可少的成分一樣，但對于學生不是全有用處，所以讀書有些是用不到記的，正如吃飯有些要排出來一樣。

上面說的是學習態度的基本——自己消化、吸收、排泄。怎樣消化、吸收、排泄呢？學習和研究這兩個詞，大多數人都在亂用。讀一篇小說，就是在研究文學，這是錯的。不過，對學習和研究的態度應當一樣。研究應當依照科學方法，學習也應當應用科學方法。所謂科學方法，就是從觀察和實驗中收集材料，加以分析、綜合整理。學習也應當如此。要明了“的”字的用法，必須先留心各式各樣含有“的”字的句子，然后比較、分析……

算學，就初等范圍說，離不開數和量，而數和量都是抽象的，兩條板凳和三支筆是具體的，“兩條”“三支”以及“兩”和“三”全是抽象的。抽象的，按理說是無法觀察和實驗的，然而為了學習，我們不妨開一個方便法門，將它們具體化。昨天我4歲的小女兒跑來向我要5個銅板，我忽然想要測試她認識數量的能力，便先只給她3個銅板。她說只有3個，我便問她還差幾個。于是她把左手的五指伸出來，右手將左手的中指、無名指和小指捏住，看了看，說“差兩個”。這就是數量的具體表示的方便法門。這方便法門，不僅是小孩子學習算學的基礎，也是人類建立全部算學的基礎，我們所用的不是十進數嗎？

用指頭代替銅板，當然也可以用指頭代替人、馬、牛，然而指頭只有十個，而且分屬于兩只手，所以第一步就由用兩只手進化到用一只手，將指頭屈伸著或做出種種形狀以表示不同的數。可是如果數大了仍舊不便。好在人是吃飯的動物，這點聰明還有，于是進化到用筆涂點子來代替手指，到這一步自然能表示更多的數了。不過點子太多也難一目了然，而且在表示數和數的關系時更不方便，有必要將它改良。

既然可以用“點”來作具體地表示數的方便法門，當然也可以用線段來代替“點”。嚴格地說，畫在紙上，“點”和線段其實是一樣的。用線段來表示數量，第一步很容易想到這兩種形式：—，，……和|，||，|||……這和“點”一樣不方便，應該再加以改良。第二步，何妨將這些線段連結成為一條更長的線段，成為豎的或橫的呢？本來用多長的線段表示1，這是個人的絕對自由，任何法律也無法禁止。所以只要在紙上畫一條長線段，再在這線段上隨便作一點算是起點零，再從零開始，依次取等長的線段便得1, 2, 3, 4…

這是數量的具體表示的方便法門。

有了這方便法門，算學上的四個基本法則都可以用畫圖來計算了。

（1）加法——這用不著說明，如圖2-1所示，便是5+3=8。

（2）減法——只要把減數反向畫就行了，如圖2-2所示，便是8 - 3 = 5。

（3）乘法——本來就是加法的簡便方法，所以和加法的畫法相似，只需所取被乘數的段數和乘數的相同。不過有小數時，需參照除法的畫法才能將小數部分畫出來。如圖2-3所示，便是5 × 3 = 15。

（4）除法——這要用到幾何畫法中的等分線段法。如圖2-4所示，便是15 ÷ 3 = 5。

圖中表示除數的線是任意畫的，畫好以后，便從0起在上面取等長的任意三段01，12，23，再將3和15連起來，過1畫一條線和它平行，這線正好通過5，5就是商數。圖中的虛線210是為了看起來更清爽畫的，實際沒有必要。

看懂四則運算的基礎畫法了嗎？現在再來看兩個數的幾種關系的具體表示法。

兩個不同的數量若是同時畫在一條線段上，是要弄得眉目不清的。假如這兩個數量根本沒有什么瓜葛，那就自立門戶，各占一條路線好了。若是它們多少有些牽連，要同居分炊，怎么辦呢？正如學地理的時候，我們要明確一個城市在地球上什么地方，得知道它的經度和緯度一樣。這兩條線一是南北向，一是東西向，自不相同。但若將這城市所在地的經度畫一張圖，緯度另畫一張圖，那成什么體統呢？畫地球是經、緯度并在一張圖上，表示兩個不同而有關聯的數，現在正可借用這個辦法。

用兩條十字交叉的線，每條表示一個數量，那交點就算是共同的起點0，這樣來源相同，趨向各自的法門，倒也是一件有趣的事。

（1）差一定的兩個數量的表示法，如圖2-5所示。

例一：兄13歲，弟10歲，兄比弟大幾歲？

用橫的線段表示弟的年齡，豎的線段表示兄的年齡，他倆差3歲，就是說兄3歲的時候弟才出生，因而得A。但兄13歲的時候弟10歲，所以豎的第十條線和橫的第十三條是相交的，因而得B。由這圖上的各點橫豎一看，便可知道：

（Ⅰ）兄幾歲（例如5歲）時，弟若干歲（2歲）。

（Ⅱ）兄、弟年齡的差總是3。

（Ⅲ）兄6歲時，是弟年齡的兩倍。

……

（2）和一定的兩數量的表示法，如圖2-6所示。

例二：張老大、宋阿二分15元，張老大得9元，宋阿二得幾元？

用橫的線段表示宋阿二得的錢數，豎的線段表示張老大得的錢數。張老大全部拿了去，宋阿二便兩手空空，因得A點。反過來，宋阿二全部拿了去，張老大便兩手空空，因得B點。由這線上的各點橫豎一看，便知道：

（Ⅰ）張老大得9元的時候，宋阿二得6元。

（Ⅱ）張老大得3元的時候，宋阿二得12元。

……

（3）一數量是另一數量的一定倍數的表示法，如圖2-7所示。

例三：一個小孩子每小時走2里⁽¹⁾路，3小時走多少里？

用橫的線段表示里數，豎的線段表示時數。第一小時走了2里，因而得A點。第二小時走了4里，因而得B點。由這線上的各點橫豎一看，便可知道：

（Ⅰ）3小時走了6里。

（Ⅱ）4小時走了8里。

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(1)里，是長度計量單位。常用于計量地理距離，現在被稱為華里、市里，1里等于500米，是中國古代使用的長度計量單位。