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四 就講和差算罷

例一:大小兩數的和是17,差是5,求兩數。

馬先生側著身子在黑板上寫了這么一道題,轉過來向大家掃視了一遍。

“周學敏,這道題你會算了嗎?”周學敏也是一個對于學習算學感到困難的學生。

周學敏站起來,回答道:“這和前面的例子是一樣的。”

“不錯,是一樣的,你試將圖畫出來看看。”

周學敏很規矩地走上講臺,迅速在黑板上將圖畫了出來,如圖4-1所示。

馬先生看了看,問:“得數是多少?”

“大數11,小數6。”

雖然周學敏得出了正確的答案,但他好像不是很滿意,回到座位上,兩眼遲疑地望著馬先生。

馬先生覺察到了,問:“你還放心不下什么?”

周學敏立刻回答道:“這樣的畫法是懂了,但這個題的算法還是不明白。”

圖4-1 例一圖解

馬先生點了點頭說:“這個問題很有意思。不過你們應當知道,這只是算法的一種,因為它比較具體而且可以依據一定的法則,所以很有價值。由這種方法計算出來以后,再仔細地觀察、推究算術中的計算法,有時便可得出來。”

如圖,OA是兩數的和,OC是兩數的差,CA便是兩數的和減去兩數的差,CF恰是小數,又是CA的一半。因此就本題說,便得出:

OF即是大數,FA又等于CF,FA加上OC,就是圖中的FH,那么FH也是大數,所以OH是大數的二倍。由此,又可得出下面的算法:

記好了OA是兩數的和,OC是兩數的差,由此可得出這類題的一般的公式:

(和+差)÷2=大數,大數-差=小數;

或:

(和-差)÷2=小數,小數+差=大數。

例二:大小兩數的和為20,小數除大數得4,大小兩數各是多少?

這道題的兩個條件是:(1)兩數的和為20,這是和一定的關系;(2)小數除大數得4,換句話說,大數是小數的4倍,這是倍數一定的關系。由(1)得圖中的AB,由(2)得圖中的ODABOD交于E,如圖4-2所示。

圖4-2 例二圖解

E橫看得16,豎看得4。大數16,小數4,就是此題的答案。

“你們試由圖上觀察,發現本題的算法,以及計算這類題的公式。”馬先生一邊畫圖一邊說。

大家都睜著雙眼盯著黑板,還算周學敏勇敢:“OA是兩數的和,OF是大數,FA是小數。”

“好!FA是小數。”馬先生好像對周學敏的這個發現感到驚異,“那么,OA里一共有幾個小數?”

“5個。”周學敏回答。

“5個?從哪里來的?”馬先生再問。

OF是大數,大數是小數的4倍。FA是小數,OA等于OF加上FA。4加1是5,所以有5個小數。”王有道回答。

“那么,本題應當怎樣計算?”馬先生問。

“用5去除20得4,是小數;用4去乘4得16,是大數。”我(李大成,后同)回答。

馬先生靜默了一會兒,提起筆在黑板上一邊寫一邊說:“要這樣,在理論上才算完全。”

20 ÷(4 + 1)= 4——小數

4 × 4 = 16——大數

接著他又問:“公式呢?”

大家差不多一齊說:“和÷(倍數+1)=小數,小數×倍數=大數。”

例三:大小兩數的差是6,大數是小數的3倍,求兩數。

馬先生將題目寫出以后,隨即將圖畫出,如圖4-3所示,然后問:

圖4-3 例三圖解

“大數是多少?”

“9。”大家齊聲回答。

“小數呢?”

“3。”大家異口同聲。

“在圖上,OA是什么?”

“兩數的差。”周學敏回答。

OFAF呢?”

OF是大數,AF是小數。”我搶著說。

OA中有幾個小數?”

“3減1個。”王有道不甘示弱地爭著回答。

“周學敏,這題的算法怎樣?”

“6 ÷(3 - 1)= 6 ÷ 2=3——小數,3 × 3 = 9——大數。”

“李大成,計算這類題的公式呢?”馬先生表示默許以后又問。

“差÷(倍數-1)=小數,小數×倍數=大數。”

例四:周敏和李成分32個銅板,周敏得的比李成得的3倍少8個,兩人各得幾個?

馬先生在黑板上寫完這道題目,板起臉望著我們,大家不禁哄堂大笑,但不久就靜默下來,望著他。

馬先生:“這回,古代文章有點兒難套用了,是不是?第一個條件兩人分32個銅板,這是‘和一定的關系’,這條線自然容易畫。第二個條件卻是含有倍數和差,困難就在這里。王有道,表示第二個條件的線怎樣畫呢?”

王有道緊緊閉著雙眼思索,右手的食指不停地在桌上畫來畫去。

馬先生:“西洋鏡鑿穿了,原是不值錢的。想想昨天講過的3個例子的畫線法,本質上毫無差別。現在不妨先來解決這樣一個問題:‘甲數比乙數的2倍多3’,怎樣用線表示出來?

“在昨天我們講最后3個例子的時候,每圖都是先找出AB兩點來,再連結它們成一條直線,現在仍舊可以‘照葫蘆畫瓢’。

“用橫線表示乙數,縱線表示甲數。

“甲比乙的2倍多3,若乙是0,甲就是3,因而得A點。若乙是1,甲就是5,因而得B點。如圖4-4所示。

圖4-4 例四圖解

“現在從AB上的任意一點,比如C,橫看得11,豎看得4,不是正合條件嗎?

“若將表示小數的橫線移到3x,對于3x和3y來說,AB不是正好表示兩數定倍數的關系嗎?

“明白了嗎?”馬先生很莊重地問。

大家以沉默表示已經明白。接著,馬先生又問:

“那么,表示‘周敏得的比李成得的3倍少8個’,這條線怎么畫?周學敏來畫畫看。”大家又笑一陣。周學敏在黑板上畫成圖4-5所示。

圖4-5 改變條件后的圖解(一)

“由這圖看來,李成1個錢不得的時候,周敏得多少?”馬先生問。

“8個。”周學敏回答。

“李成得1個呢?”

“周敏得11個。”有一個同學回答。

“那豈不是文不對題嗎?”這一來大家又呆住了。

畢竟王有道的算學好,他說:“題目上是‘比3倍少8’,不能這樣畫。”

“照你的意見,應當怎么畫?”馬先生問王有道。

“我不知道怎樣表示‘少’。”王有道回答。

“不錯,這一點需要特別注意。現在大家想,李成得3個的時候,周敏得幾個?”

“1個。”

“李成得4個的時候呢?”

“4個。”

“這樣AB兩點就能畫出來了,連結AB,如圖4-6所示,對不對?”

“對——!”大家露出一點點得意忘形的神氣,拖長了聲音這樣回答,簡直和小學三四年級的學生一般,惹得馬先生也笑了。

“再來變一變戲法,將ABOY都向相反方向拉長,得交點E,如圖4-7所示,OE是多少?”

圖4-6 改變條件后的圖解(二)

“8。”

“這就是‘少’的表示法。現在歸到本題。”馬先生接著畫出了圖4-7。

“各人得多少?”

“周敏22個,李成10個。”周學敏回答。

“算法呢?”馬先生問。

“(32 + 8)÷(32 + 1)= 40 ÷ 4 = 10——李成得的數。

圖4-7 馬先生的最終圖解

10 × 3 - 8 = 30 - 8 = 22——周敏得的數。”我說。

“公式是什么?”

好幾個人回答:

“(總數+少數)÷(倍數+1)=小數,

小數×倍數-少數=大數。”

例五:兩數的和是17,大數的3倍與小數的5倍的和是63,求兩數。

“我用這個題來結束這節課。你們能用畫圖的方法求出答案來嗎?各人都自己算算看。”馬先生寫完了題這么說。

跟著,沒有一個人不用鉛筆、三角板在方格紙上畫。——方格紙是馬先生預先叫大家準備的。——這是很奇怪的事,沒有一個人不比平常上課用心。同樣都是學習,為什么有人被強迫著,反而不免想偷懶;沒有人強迫,比較自由了,倒用心起來。這真是一個謎。

和小學生交語文作業給先生看,期望著先生說一聲“好”,便回到座位上謄正一般,大家先后畫好了拿給馬先生看。這也是奇跡,八九個人全都做對了,而且時間相差也不過兩分鐘。這使馬先生感到愉快,從他臉上的表情就可以看出來。不用說,各人的圖,除了線有粗細以外,全是一樣,簡直像是印版印的。

各人回到座位上坐下來,靜候馬先生講解。他卻不講什么,突然問王有道:“王有道,這道題用算術的方法怎樣計算?你來給我代課,講給大家聽。”馬先生說完了就走下講臺,讓王有道去做臨時先生。

王有道雖然有點兒靦腆,但最終還是上了講臺,拿著粉筆,做起先生來。

“兩數的和是17,換句話說,就是:大數的一倍與小數的一倍的和是17,所以用3去乘17,得出來的便是:大數的3倍與小數的3倍的和。

“題目上第二個條件是大數的3倍與小數的5倍的和是63,所以若從63里面減去3乘17,剩下的數里,只有‘5減去3’個小數了。”王有道很神氣地說完這幾句話后,便默默地在黑板上寫出下面的式子,寫完低著頭走下講臺。

(63 - 17 × 3)÷(5 - 3)= 12 ÷ 2 = 6——小數

17 - 6 = 11——大數

馬先生接著上了講臺:“這個算法,你們大概都懂得了吧?我想你們依了前幾個例子的樣兒,一定要問:‘這個算法怎樣從圖上可以觀察出來呢?’這個問題把我難住了。我只好回答你們,這是沒有法子的。你們已學過了一點代數,知道用方程式來解算術中的四則問題。有些題目,也可以由方程式的計算找出算術上的算法,并且對那算法加以解釋。但有些題目,要這樣做卻很勉強,而且有些簡直勉強不來。各種方法都有各自的適用性,這里不能和前幾個例子一樣,由圖4-8找出算術中的計算法,也就因為這個。

“不過,這種方法比較具體而且確定,所以用來解決問題比較便當。由它雖有時不能直接得出算術的計算法來,但一個題已有了答案就比較易于推敲。對于算術方法的思索,這也是一種好處。

“這一課就這樣完結吧。”

圖4-8 例五圖解

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