1.2.2　多量子比特邏輯門

實現多量子比特邏輯門（簡稱多比特門）時，量子比特和量子邏輯門都是通過“張量積”運算完成增長的。 對于 量子比特，量子比特系統的計算基就由個單位正交向量組成，借助經典比特的進位方式對量子比特進行標記，從左到右依次是二進制中的高位到低位。也就是說，中為高位，為低位。

標準的多比特門包括兩量子比特邏輯門（簡稱兩比特門）和三量子比特邏輯門（簡稱三比特門）。兩比特門包括受控泡利門、受控H門、受控旋轉門、受控相位門（Controlled Phase Gate，簡稱CR門）、換位邏輯（iSWAP）門。三比特門包括托佛利（Toffoli）門和控制--交換門[弗雷德金（Fredkin）門]等。下面簡要介紹CNOT門、CR門、iSWAP門，以及多量子比特受控U門。

1. CNOT門

互不相關的兩個量子比特能夠在經典計算機上輕易模擬，而有糾纏的量子比特的糾纏性是通過受控操作（Controlled Operation）實現的，用受控門表示。最常用的受控門是受控非門，稱為CNOT門（或 CX門），如圖1.2所示。

圖1.2　CNOT門

圖1.2中的每根線都表示一個量子比特演化的路線，且這兩根線有位次之分，從上到下依次表示從低位到高位的量子比特演化的路線。圖1.2橫跨兩個量子比特，它代表將一個兩比特門作用在這兩個量子比特上。 一般將 含實點的路線對應的量子比特稱為控制比特（Control Qubit），另一條路線對應的量子比特為目標比特（Target Qubit）。

若低位為控制比特，滿足運算：

(1.22)

那么，CNOT門具有如下矩陣形式：

(1.23)

由此可見，當低位為控制比特、高位為目標比特時，若低位位置對應為1，高位就會被取反；當低位位置為0時，不對高位做任何操作。

若高位為控制比特，狀態演變如圖1.3所示。

圖1.3　高位為控制比特時的狀態演變

那么，CNOT門具有如下矩陣形式：

(1.24)

在計算機基礎方面，CNOT門可以表示為。 也就是說，當控制比特為態時，目標比特不發生改變；當控制比特為態時，對目標比特執行X門（量子非門）操作。

2. CR門

受控相位門（Controlled Phase Gate）和CNOT門相似，通常稱為 CR 門（或CPhase門），矩陣形式為

(1.25)

CR門在線路中的符號如圖1.4所示。

圖1.4　CR門

當控制比特為態時，目標比特不發生改變；當控制比特為態時，對目標比特執行相移門（Phase-shift Gate）。相移門的特征是，將CR門里的控制比特和目標比特的狀態進行交換，矩陣形式不會發生任何改變。

3. iSWAP門

iSWAP門的主要作用是交換兩個量子比特的狀態，并且賦予其相位。經典電路中有 SWAP 門，iSWAP門則是量子計算中特有的。iSWAP門在某些體系中是較容易實現的兩比特門，它是先由 作為生成元生成，再作對角化。 門的矩陣形式為

(1.26)

iSWAP門在線路中的符號如圖1.5所示。 通常會用一個完整的翻轉，即的情況來指代iSWAP門。當角度為時，記為。 對 門而言，兩個量子比特之間的地位是對等的，不存在控制和受控的關系。

圖1.5　iSWAP門

4. 一般受控U門

假設有量子比特，是一個量子比特邏輯門，則可定義受控操作：設位控制比特滿足控制條件，則將作用于位目標比特，否則保持目標比特不變。本質上來說，任意情況的受控U門（）均有通用計算表達式，如式(1.27)所示。

(1.27)

式(1.27)可以寫成

(1.28)

取、，就可得到CNOT門：

(1.29)

(1.30)

注1.4　這里的特殊算符可以衍生出測量、判別和鏡像反射等多種用途，在后面的量子線路和量子算法中均有較多應用場景。