1.2.1　單量子比特邏輯門

設(shè)為酉矩陣，滿足。表示狀態(tài)的演化。在量子計(jì)算機(jī)中，各種形式的酉矩陣被稱為量子邏輯門。常見的單量子比特邏輯門（簡(jiǎn)稱單比特門）有泡利（Pauli）矩陣、阿達(dá)馬（Hadamard）門（簡(jiǎn)稱H門）和轉(zhuǎn)動(dòng)算符（Rotation Operator，又稱旋轉(zhuǎn)門），下面分別進(jìn)行介紹。

1. 泡利矩陣

泡利矩陣有時(shí)也稱為自旋矩陣（Spin Matrix），有3種形式，分別為Pauli-X門（簡(jiǎn)稱X門，矩陣形式可記作或）、Pauli-Y門（簡(jiǎn)稱Y門，矩陣形式可記作或）和Pauli-Z門（簡(jiǎn)稱Z門，矩陣形式可記作或），如式（1.12）~式（1.14）所示。

(1.12)

(1.13)

(1.14)

可以看出，X門相當(dāng)于非門，它將、。Y門的作用相當(dāng)于繞布洛赫球的軸旋轉(zhuǎn)角度。Z門的作用相當(dāng)于繞布洛赫球的軸旋轉(zhuǎn)角度。

2. H門

H門的矩陣形式如式(1.15)所示。

(1.15)

注1.2　H門常用的表達(dá)式如下：

　　(1.16a)

　　(1.16b)

　　(1.16c)

　　(1.16d)

　　　　　　　(1.16e)

3. 旋轉(zhuǎn)門

在了解旋轉(zhuǎn)門之前，需要證明：設(shè)是個(gè)實(shí)數(shù)，是一個(gè)矩陣，且滿足，則有。該等式可利用e指數(shù)的泰勒展開及得證，這里不贅述。

旋轉(zhuǎn)門有3種形式，分別為RX門、RY門和 RZ門，它們分別以不同的泡利矩陣作為生成元構(gòu)成，如式(1.17)~式(1.19)所示。

(1.17)

(1.18)

(1.19)

上述單比特門可以統(tǒng)一表示為

(1.20)

通過(guò)控制與的取值以及簡(jiǎn)單的矩陣變換，即可轉(zhuǎn)化為以上所有單比特門的形式。 例如，當(dāng)時(shí)，對(duì)作兩行交換就是H門。統(tǒng)一的表達(dá)矩陣在底層實(shí)現(xiàn)過(guò)程中尤為重要。

理論上，對(duì)于單量子比特的任一酉算符，均有ZYZ分解。 具體見定理1.1[1]。

定理1.1　對(duì)于單量子比特的任一酉算符，存在、、和，使得

(1.21)

注1.3　除以上介紹的常用門以外，單比特門還有相位門（Phase Gate又稱S門）和門（又稱T門），它們的矩陣形式分別為