勢場中的粒子會消失或者突然躍遷嗎
——含勢能的薛定諤方程、測量公設與定態^[1]

自由運動的粒子一般以波包的形式存在，一邊傳播，一邊彌散。“彌散”意味著在空間內的某一點上發現粒子的概率是隨著時間變低的。由于空間無限廣延，是不是所有粒子都會漸漸“消失不見”？對于一個自由粒子，薛定諤方程肯定了這一結果。幸運的是，在自然界中，萬事萬物更多時候是在相互作用。粒子感受到的保守力作用，最終會以勢場的形式表達在薛定諤方程中。在《張朝陽的物理課》第一卷第五部分中，我們已經討論了無限深方勢阱、氫原子庫侖勢，以及諧振子勢中的粒子如何形成分立能級。在本節中，我們計劃進一步討論勢場中的粒子如何隨時間演化，又在實驗上如何被觀測到。

一、勢場中微觀粒子波函數的一般形式

從數學的角度分析了許多具體案例后，讓我們首先回顧一下其中具體的物理意義。在量子力學的理論框架下，一個粒子或者一個物理系統用取復值的波函數ψ（t，x）來刻畫。但值得注意的是，波函數本身僅僅是一個數學工具，與具體的物理觀測不相關。有物理意義的是它的模方

P=|ψ|²=ψ^*ψ

玻恩提出，波函數的模方表征某點處發現粒子的概率密度（Probability density）。如果這一函數在整個空間上是可積的，那么自然地會要求，在整個空間上找到這個微觀粒子的概率是

該等式又被稱為歸一化條件。同時，量子力學中的物理量可用作用于波函數的算符來表達，一個例子是動量算符定義為對空間的求導

另一個例子是自由粒子的哈密頓算符（Hamiltonian）

這里“自由”指該哈密頓算符僅有動能部分，沒有勢能的參與——換句話說，它所描述的物理體系不受外力的作用。

反之，如果引入勢場V（x），那么相應的哈密頓算符應該寫為

再次利用分離變量法，我們需要求解本征方程

這里引入下標n∈N來區分不同的本征值和對應的本征函數。當討論粒子的受力運動時，我們會更傾向于關注粒子的束縛態。顧名思義，束縛態指粒子的運動區域——由概率密度表征——集中在一個有限大的區域中。遠離該區域后，粒子概率密度一般會出現指數衰減。束縛態邊界條件使得體系的能量只能取到若干分立值，在《張朝陽的物理課》第一卷第五部分中，我們所討論的無限深方勢阱、氫原子庫侖勢和諧振子勢就是很好的例子。

一旦知道了哈密頓算符的所有本征值和本征波函數，根據偏微分方程的線性性，它的一般解將是不同模式的線性疊加。這里還可以將求得的結果和自由粒子的一般解進行比較

不難看到兩者有類似的數學形式。差別在于，對于自由粒子，因為不存在邊界條件的束縛，哈密頓算符的本征值（能量）可以有連續的取值，以實數k標記。同時，做線性疊加時，由于取值是連續的，需要相應地把求和改寫為積分。當沒有勢場存在時，函數e^ikx恰好既是動量算符的本征函數，也是哈密頓算符的本征函數。但是這個結論對在勢場中運動的粒子不再成立。可以這樣來理解：以氫原子為例，這時電子在庫侖勢場中運動，它的基態波函數像云一樣彌散在空間上。但是在半徑不同的地方，庫侖勢能的取值不同，當電子出現在不同點時，對應的動能也會有所差別。所以，對處在基態的電子來說，動量的取值不再是確定的，而是相當隨機的，更談不上是動量算符的本征態。

二、正交歸一條件與測量公設

可以看到，在求解含時薛定諤方程時，第一步仍是求解哈密頓算符的本征方程。對于本征方程，為了使用方便，一般還要求各本征函數之間是正交歸一的。對勢場中的分立束縛態，正交歸一指要求以n、m標記的本征函數之間滿足

“歸一”和前面提到的“歸一化”是一個意思，而“正交”是指粒子處于不同本征態時不會互相干涉。如果談論的是自由粒子，那么由于一般其波函數模方對全空間積分不收斂，式（2）所提的正交歸一方案不再適用。取而代之的是，一般要求

又被稱為δ-正交歸一化條件，這可以被視為式（2）的擴展。

有了正交歸一化條件后，即可討論如何用求解偏微分方程的“第二板斧”——初始條件，來確定式（1）中的展開系數c_n。給定初始時刻的波函數ψ（t=0，x），不難看到

即初始時刻的波函數總可以寫為本征函數的線性疊加形式。利用式（2）中的正交歸一條件，將上式兩邊乘以某本征態的復共軛ψ_m（x），然后對全空間積分，即有

同樣也可以將這一結果與自由粒子相比較

?（k）的模方被解釋為粒子動量的概率分布，類似地，系數c_n的模方也有概率的意義。

為了更好地詮釋這一點，首先來看歸一化條件，代入波函數的一般表達式，有

其中，求和系數和時間的相位部分與積分變量x無關，所以可以被提到前面，整理得到

注意積分部分與正交歸一條件一致，所以

于是利用哈密頓算符的本征函數，可以將歸一化條件重寫為

由此不難看出，系數的模方類似于一個離散概率。

進一步，可以再看與物理量觀測相關的一個計算過程，我們知道對微觀粒子的觀測結果是“隨機”的，如果能夠對一個粒子做多次重復觀測，那么就可以討論可觀測量的期望值（Expectation value of observable）。以能量為例，如果粒子的波函數是ψ（t，x），則能量的期望值定義為

因為哈密頓算符是線性的，可以讓它依次作用到求和中的各項本征函數，再利用本征方程可以得到

接下來的計算過程與之前計算歸一化時是一致的，只不過在第二個求和號中多了一項。整理后，它的結果是

這個式子可以這樣表述：能量的期望值等于粒子可能取到的不同能級，以對應系數模方為權重作加權平均。與概率論中的期望值定義相比較，不難再次確認|c_n|²的概率意義。

進一步，結合式（3）與式（4），可以很自然地引出這樣一個解釋：如果一個波函數可以按觀測量（比如能量）本征函數分解

那么當我們進行觀測時，儀器給出對應觀測值（比如某個能級E_k）的概率應該恰好為展開系數的模方

P（E=E_k）=|c_k|²

在量子力學中，這一結論是作為基本假設被提出的，也是玻恩的概率詮釋的另一種表達方式，其正確性已經由眾多實驗結果驗證。

三、定態波函數——以無限深方勢阱為例

特別地，如果在初始時刻，粒子就處于某一個特定本征態上

也就是在解的式（1）中，系數取為

隨著時間的流逝，任意時刻的波函數

和初始時刻波函數只有一個相位的差別。對應的概率密度

與時間無關。也就是說，如果粒子在初始時刻處于某個本征態上，那么此后它將一直保持在這個態上，而且與實際觀測相聯系的概率密度也不隨時間改變。它是量子力學中能量守恒的直接推論，如果初始時刻粒子具有確定的能量，那么這個能量的取值不應該隨著時間的流逝而改變。

進一步不難證明，如果系統的波函數為式（5），那么多次觀測任意力學量——以算符表示——所得結果的期望值

也不隨時間變化。更精細地，如果已知O的本征值o_n對應的正交歸一本征波函數為?_n（x），那么按照概率詮釋，單次測量結果得到o_n的概率是展開系數

的模方。不難看出，這也是個不依賴時間的量。出于這三個觀察，哈密頓算符的本征態式（5）又被稱為定態。在沒有外來相互作用的干擾時，對實驗觀測而言，處于定態的粒子或者物理系統將一直保持不變。現在可以來回答前言中的問題了。萬幸的是，通常，微觀粒子并非是自由的，而是處于特定的勢場中，比如電子會被質子俘獲，兩者形成氫原子。而當形成束縛態后，系統就可能最終穩定在某個定態上，在不受外力干擾時，物理性質不再改變。正如不受外界電磁場干擾時，基態的氫原子將一直保持在基態，而不會像自由粒子一樣逐漸彌散。

四、一個實例：無限深方勢阱

為了更好地理解本節的內容，我們可以舉一個簡單的例子——無限深方勢阱。無限深方勢阱是指粒子被局限在這樣一個勢場

中。形象地說，我們在x＜0和x＞a的區域分別放一堵堅實的高墻，堅實到粒子完全無法穿越或者滲透進去，即

ψ（x）=0　x＜0或x＞a

在兩堵墻之間，粒子的運動服從自由粒子薛定諤方程，但是需要滿足邊界條件

ψ（0）=ψ（a）=0

為了得到一般解，首先我們要解相應哈密頓算符的本征方程：

在《張朝陽的物理課》第一卷第五部分中，我們已經詳細地分析過粒子在這樣一個勢阱中的能級取值和對應的波函數的形式。同時，從微分方程的角度，不難發現這一問題和第二卷中討論的熱傳導的狄利克雷（Dirichlet）邊界問題在數學形式上是一致的。

首先我們可以從這一線性微分方程求出兩個齊次解cosk_nx和sink_nx，其中常數。在x=0處的邊界條件首先排除了余弦解，再利用x=a處的邊界條件，要求，其中n∈N。于是可以得到

對應的能量本征值為

而前面的系數可以通過歸一化條件求得

直接計算即可驗證各本征態之間的正交性。

將解得的本征態加上時間相位后再線性疊加起來，可以得到粒子波函數最一般的形式是

如果知道了初始時刻

ψ（t=0，x）=f（x）

那么利用正交歸一化條件可以求出分解系數

進而可以討論這樣一個粒子在無限深方勢阱中如何隨時間演化。

小結
Summary

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[1]整理自搜狐視頻App“張朝陽”賬號/作品/物理課欄目中的第132期視頻，由陳廣尚執筆。