運動的波包如何演化（上）
——運動的波包及其兩類速度的定義^[1]

一般來說，在薛定諤方程主導的量子力學框架下，任何真實存在的物理對象都應當以一個線度有限、速度也有限的波包來刻畫。對一個靜止的自由粒子是如此，對一個正在勻速運動的自由粒子也應是如此。但當我們提到“勻速運動的粒子”時，首先要注意到的一個問題是：怎么描述一個波包的運動？這正是本節(jié)希望厘清的內容。

一、描述勻速向前傳播的粒子

在《張朝陽的物理課》前兩卷中，我們曾仔細研究過機械波和電磁波的傳播過程。根據(jù)以往的經(jīng)驗，如果在初始時刻，我們所測得的是一個高斯波包：

f（t=0，x）=e^-ax2

那么可以猜測隨時間演化的波包會變形為

然而這樣一個直截了當?shù)牟孪胧欠裾_呢？答案是否定的。如果將這個波包分別對時間求一階偏導數(shù)和對空間求二階偏導數(shù)

將它們代回自由粒子薛定諤方程，容易驗證方程兩邊并不相等。也就是說，我們所猜測的波包并非薛定諤方程的一個解，自然它無法描述一個微觀粒子的演化過程。這其中更深刻的物理原因是，琴弦振動和真空電磁波等波動的波形不會隨著時間改變，只會向前傳播。然而，在第一節(jié)的討論中，我們知道相比于波動方程，薛定諤方程更像擴散方程，滿足薛定諤方程的物質波會隨著時間逐漸彌散變形。單純引入替換x→x-vt或許可以描述波傳播的過程，但并不能體現(xiàn)出波函數(shù)彌散這一行為。

為了描述一個向前傳播的波包，讓我們再次回顧自由粒子薛定諤方程一般解的形式

注意，在這里我們試圖探討最一般的表達形式，?（k）是k空間上的任意分布，而不局限于高斯分布。如果記

那么波函數(shù)又可以寫為

事實上，除量子力學的物質波外，經(jīng)典力學中的聲波、光波也具有同樣的數(shù)學形式。不同的是，在經(jīng)典力學中，聲波和光波u（t，x）滿足波動方程

其中，v刻畫了波的傳播速度。將單色平面波解

u（t，x）=e^{i（kx-ωt）}

代入方程，可以得到

ω ²=v²k²

即

ω=±vk

可以看到，在這里時間頻率ω和空間頻率k之間滿足線性關系。

同樣，我們用傳播子或者格林函數(shù)法，可以求得波動方程的解可以歸為兩類：前向傳播解與后向傳播解，分別對應時間頻率ω的正負號

由傅里葉變換的定義不難看出，一個初始時刻波形為f（x）的波包，在單向傳播中，波函數(shù)

u（t，x）=f（x±vt）

即前述經(jīng)典波在傳播中波形不變的數(shù)學表達式。所以在經(jīng)典力學中，在t＞0時刻的波函數(shù)可以直接通過取替換

x→x±vt

來得到。更通俗地講，它意味著經(jīng)典光波和聲波在傳播過程中，其波形不會發(fā)生改變——它們只是在做簡單的平移。這也是我們能夠清晰地聽見一段距離外的人的聲音而不會失真、能夠看到一段距離外的物體而不會模糊的原因。相反，在沒有干擾時，如果人在不同位置能夠聽到不同的聲音、看到扭曲的圖像，那么這一結果就與我們的日常經(jīng)驗矛盾了。

在上面的推導中，關鍵的一步是利用了ω與k之間的線性關系，從而可以將積分中指數(shù)項中的k提到括號外

e^{i（kx-ωt）}=e^{ik（x±vt）}

此后括號內的項和積分的計算再無關系。物理量ω與k之間的關系如此重要，使得研究波動性質的學者給它起了個特別的稱呼——色散關系（Dispersion relation）。在量子力學中，薛定諤方程給出的色散關系是一個二次關系

這也就解釋了為何簡單的替換在量子力學中不再是合理的。幸運的是，在上一節(jié)課中我們認識到，在隨時間演化的過程中，微觀粒子在k空間上的分布保持不變。利用這一點，再回顧k空間的分布描述的是粒子動量（對應著速度）取某值對應的概率密度，提示我們可以考慮在k空間中的平移波函數(shù)——而不是x空間中，即初始時刻改變粒子波函數(shù)為

?（k）→?（k-k₀）

以高斯波包為例，即初始時刻波函數(shù)

其中N是歸一化因子，此時粒子在動量空間的分布不再是相對于y軸對稱的，而是偏向k₀一側。根據(jù)量子力學中與實驗測量相關的基本原理，與經(jīng)典力學量相對應的是多次測量結果的平均值。不難驗證，此時，即給定波函數(shù)描述的恰是一個有初速度的粒子。回到坐標空間中，動量空間中的高斯分布（1）對應的波函數(shù)為

它描述的是一個一邊向前傳播，一邊擴散的微觀粒子。

二、刻畫波包的運動：群速度與相速度

讓我們再一次回到最一般的情況

ψ（t，x）=∫dk?（k）e^{i（kx-ωt）}

這里的“一般”既指動量空間分布?（k）可以是任意的，也指當前我們討論的既可能是量子力學中的物質波，也可能是經(jīng)典力學關心的光波或者聲波。事實上，對波或者波包，無論它是經(jīng)典的還是量子的，我們都采用同一套數(shù)學語言來描述。區(qū)別只在它們滿足不同理論確立的方程或者色散關系ω（k），以及函數(shù)的值域。

群速度與相速度的定義如圖1所示。在展開討論前，讓我們再多引入一個合理的假設：波包的頻譜或者波包在k空間的分布僅局限在某個值k₀附近，當k稍微偏離k₀時，?（k）會迅速衰減為0。于是在計算積分時，偏離太遠的區(qū)域不再對最后的積分結果有貢獻。這樣，任意一個光滑的色散關系ω（k）都可以用它在k=k₀附近的泰勒展開式來近似表達：

這里k₀是一個給定的常數(shù)，并且重新記k₁=Δk，。觀察到，積分中的指數(shù)部分可以分解和重新組合為

其中，與k₀和ω₀相關的部分和積分再無關系，可以提到積分符號外。而剩下的與k₁相關的部分，可以整理為

積分部分是一個以x-ω′t為變量的函數(shù)，即

如果這里ψ描述一個經(jīng)典波，它可以被這樣解釋：首先注意指數(shù)部分

是一個向前傳播的正弦波，它的速度是

這個速度被稱為相速度（Phase velocity），它描述的是波上某一點往前傳播的速度。這個正弦波會有一個波幅上的修正f，而且這個修正并不是靜止的，而是隨時間傳播的。既然是傳播的，自然可以談及振幅因子的傳播速度。讓我們以更具象的方式來說明這一速度的定義：首先，在初始時刻取波振幅大小為常數(shù)A的任意一點。在圖像上，可以認為是做一條與x軸保持水平的橫線，并取其與波函數(shù)的某一交點。或者更為具體地，可以想象這樣一個過程：我們做一條長桿，在上面穿進一個小球，隨著波——比如水面的波浪——向前傳播，這個小球會被推動，沿著桿往前行進。振幅因子的傳播速度被定義為波上以振幅大小標記的某一點隨著時間偏移的速度，即交點在所做橫線上偏移的速度，或者小球前進的速度。

如果記交點或者小球的軌跡為x（t），那么在任意時刻，按定義要求滿足

f（x（t）-ω′t）=constant

由于軌跡已經(jīng)確定函數(shù)f事實上只依賴時間，兩邊對時間t求全導數(shù)，應該有

但同時，考慮到f在形式上可以被視為關于時間和空間的多元函數(shù)，利用鏈式法則應該有

比較上面兩式，可以得到點或者小球的前進速度

這個速度被稱為群速度（Group velocity）。進一步，對形如f（x-ω′t）函數(shù)求偏導，滿足關系

于是又能得到

v _g=ω′

如果ψ描述一個量子力學中的物質波，注意，它只有概率密度

是有物理意義的。這里g是一個關于x-ω′t的實函數(shù)，也是一個傳播幅度。同樣的邏輯，我們可以得到它的群速度是

薛定諤方程給出的色散關系為

考慮p=?k，也就是非相對論力學的質能關系。利用這一關系，能夠計算出群速度為

和粒子的經(jīng)典運動速度恰好保持一致。而對應的相速度

也就是對一個非相對論的自由的微觀粒子，它的相速度恰好為群速度的一半。

三、波包的速度可以超光速嗎

在上一節(jié)對δ波包的討論中提到，薛定諤方程是基于非相對論力學的理論，允許粒子“以無窮大的速度運動”。更直接地，薛定諤方程的非相對論性也體現(xiàn)在色散關系中。如果我們考慮一個以相對論性速度運動的微觀粒子，應當轉而取愛因斯坦給出的質能關系

（pc）²+（m₀c²）²=E²

為色散關系，以代替薛定諤方程給出的結果。這里，m₀為粒子的靜止質量。如果在左邊對p加上一個微擾，使其變?yōu)?i>p+Δp，右邊對E加上一個微擾，使其變?yōu)?i>E+ΔE，近似到微擾線性項，可以得到

c ²2p·Δp=2E·ΔE

整理后即

當微擾非常小時，可以將其視為求微分，于是

注意，這里利用了德布羅意關系

E=?ω，p=?k

根據(jù)上面引入的定義，結合式（2）和式（3），可以求得波包的群速度為

進一步，注意到相對論性粒子

p=mv，E=mc²

這里以m指代動質量，以區(qū)別靜止質量，再以v指代粒子運動速度。代入群速度計算結果有

即物質波的群速度仍為粒子運動的速度，與薛定諤方程給出的結果一致。同時可知，群速度一定小于光速。

而另一方面，粒子的相速度為

它將比光速更大！這違反相對論嗎？答案是否定的。注意，這里要區(qū)分兩種速度的不同意義，相速度只是波函數(shù)上某點自身的前進速度，表征的是一個相位的偏移，不能傳遞任何真實的信息。而群速度則相反，它直接與波包和外部相互作用相關，傳遞物理的、真實的信息，它才對應著物理意義上的波包行進速度。如果對象是經(jīng)典波，還可以借助上面提到的套桿小球模型來理解這一點。波動本身的某點，只在經(jīng)過桿的瞬間和小球相互作用，向小球傳遞能量，并推動它前進。與小球分開后，即使速度再大，也不再與外界有所聯(lián)系。通過計算可以發(fā)現(xiàn)，群速度將永遠保持小于光速，可見波包的運動并不違反相對論光速最大原理。

小結
Summary

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[1]整理自搜狐視頻App“張朝陽”賬號/作品/物理課欄目中的第131期視頻，由陳廣尚執(zhí)筆。