微觀粒子能被視為一個質點嗎
——δ波包與高斯波包的演化^[1]

在上一節中，我們回顧了作為量子力學基本定律的薛定諤方程，并用偏微分方程的相關技巧給出了勢場為零時方程的通解。但目前的討論僅限于形式上、數學上的分析，為了更直觀地理解公式背后的物理含義，接下來我們嘗試討論幾個簡單的例子，以期一窺量子世界的物理規律。

一、存在“點粒子”嗎

經典的牛頓力學是關于“質點”的理論。牛頓力學在習慣上會將物理對象——無論它是小車、滑塊，還是一小段琴弦——抽象為一個帶質量的點，然后求解其運動軌跡。由于牛頓力學的巨大成功，這種不具備空間延展性的“點粒子”的概念早已深入人心。當研究進入微觀世界時，由于對象尺寸更小，直覺上以“點粒子”去建模各種粒子似乎更為合理。然而自然規律當真如此嗎？

我們知道，量子力學的特征是“波粒二象性”，一個粒子應當用一個波函數來描述。在數學上，一個沒有空間延展性的波可以用狄拉克函數（δ函數）表達，它滿足

δ（x）=0，　x≠0

且

∫_?δ（x）dx=1

它又被稱為δ波包。注意，δ函數的一大特征是僅在一點（x=0）處有值，所以直觀上可以視為一個初始時刻被約束到原點的“點粒子”。

如果初始時刻我們放下這樣一個“點粒子”，按照上一節的討論，首先需要求得它的傅里葉變換系數。利用

不難看出

根據最一般解的形式，可以得到在任意時刻、任意空間的點上，粒子波函數的振幅是

對此上一節結尾，不難看出，這里求解的就是Φ（t，x）。通過對比，我們可以更好地理解為什么說“傳播子描述一點處波包的演化結果”。積分中的指數是一個關于k的二次多項式，所以一般可以對它進行配平方，轉化成高斯積分來計算

平移一下積分變量，得到

此時積分部分具有與高斯積分幾乎一致的形式。

高斯積分常見于對熱傳導或擴散等過程的求解中，積分結果為

值得注意的是，在證明式（3）的過程中，我們已經要求常數a是實數。然而在式（2）中，對應的參數a是一個純虛數，結論不能復用，只能重新加以證明。類比于實參數高斯積分的證明過程，首先同樣記

注意，這里為了表述明確，已經顯式地把復數單位寫在指數上。對式（4）求平方，然后變換到極坐標下，可以得到

這里需要小心的是，第二個等號中涉及兩個積分的交換次序。由于原積分公式（4）是收斂的而非絕對收斂的，為了保證推導的合理性，需要引進被稱為“正規化”的特殊處理。

所謂正規化，是引入一個小量??1，使得參數a可以改寫為復數

a→a-i?

然后在計算末尾將小量置0，即可得到結果。在做正規化時，小量?保證了積分的絕對收斂，也就保證了積分交換次序的合理性。交換積分次序后，整個式子是角度無關的，所以可以先把角度部分積分，得到

再進行一次換元t=ar²，可以得到

可以看到，如果不引入正規化，即保持?=0，那么剩下的是不收斂的、對振蕩函數的積分。事實上，早在《張朝陽的物理課》第二卷第三部分中，我們在討論折射率的微觀起源時已碰到過類似的問題。借助彼時已詳細討論過的圖形法，將未經正規化的積分近似看成在圓上一小步一小步地前進的加和

其中每一項都對應復平面上一個模長為Δθ的向量。也就是說，這個積分等價于這樣一個過程：一個人在不斷向前邁步，而且每邁出一步都會轉身同樣的角度，結果這個人會在某個圓上不斷繞圈走動（圖1中紅色箭頭）。

但對于一個實際的物理過程，這種精準的“繞圈”是不真實的。想象一個人試圖在沙漠中走出一個大圓，但他事實上很難控制每一次都能精準邁出同樣的步伐。更多的時候，在邁出下一步時，步長總會不可避免地變短——這正是引入正規化參數?的意義。結果就是，我們更傾向于在一邊繞圈時，一邊往內環收縮，直到走到圓心的位置（圖1中黑色箭頭及其軌跡），于是求積分的值就變成了求給定切矢的圓心位置。

接下來利用微元法的思想來求解這個幾何問題，假設我們每一步偏轉的角度∠AOB=Δθ非常小，以至于圖中∠OAB和∠OBC近似于直角。此時，當n取0時，我們將沿著實軸正半軸方向邁出第一步，所以由垂直關系可知，圓心應當保持在虛軸的負半軸上。緊接著，每一次我們的步長恰好也為Δθ。在小角度近似下，應該有

解得圓半徑R=1，所以不難推知圓心在復平面上的坐標為

代回上面的計算，可以證明

結果與實參數的高斯積分公式有一致的形式。

利用所證明的積分公式，從式（2）中可以求出任意時刻的波函數

對應地，可以求出經過時間t后，儀器在某點x上能找到這個粒子的概率

值得一提的是，這個概率只與時間成反比，與空間位置無關。即同一時刻，我們在整個空間上任意一點發現這個粒子的可能性是相等的。再細想，這一計算結果也預示著，量子世界中不存在穩定的自由“點粒子”。即使在某時刻我們的確制備了一個點粒子，但將其釋放后，它將在下一瞬間均勻彌散到整個空間。

為了更好地理解δ波包的“剎那間彌散”的過程，我們可以將視角轉向動量空間（k空間）。根據式（1），δ波包在動量空間中的波函數是

它表明，雖然“點粒子”沒有空間上的延展性，但從動量空間的角度，它是由動量從負無窮到正無窮的所有可能的取值對應的波函數疊加而來的，且取到不同分量的貢獻是均等的。這恰好是量子系統滿足不確定性原理的一個實例，在初始時刻，我們精確知道了粒子處在某一點上，所以得不到關于動量的任何信息。無窮大動量意味著無窮大速度，即使經過任意小的時間，比如0.0000…1s，粒子都有可能跑到世界上的任意一個角落——哪怕是無窮遠的天涯。所以，粒子開始演化之后，在任意地方找到粒子的概率都是相等的。由于薛定諤方程并沒有引入任何關于相對論的假設，即使其計算結果違背了現在我們熟知的光速最大原理，在當前的理論框架中也仍是自洽的。

二、一個高斯波包的自由演化

“點粒子”模型在量子世界中行不通，表明任何微觀粒子在空間上必有相應的展寬。為了更好地理解粒子的自由演化和不確定性原理在其中起到的作用，讓我們轉而再討論一個相對真實但又不過于復雜的模型——高斯波包（Gaussian wave packet）。考慮初始時刻，系統的波函數取為

根據從δ波包中得到的經驗，我們同時從動量空間和坐標空間分析它的物理性質。為了表述簡潔，我們記，先求其傅里葉變換

取換元

再利用高斯積分的結果，即有

對兩個結果取模方，求得坐標空間內的概率密度是

在動量空間中是

二者都服從高斯分布。

高斯分布意味著，雖然這個粒子的波函數還是所有可能的能量或動量本征函數疊加的結果，但是其中起主導作用的僅僅是圍繞在原點附近的少許部分（如圖2中虛線所圍內部）。將其與之前分析的δ函數在圖像上做對比，可以清晰地看出兩者之間的區別。

主導部分占比可以用波包的寬度來描述，數學上，它用方均根來表征。給定一個物理量X，它的方均根是

其中〈·〉是取概率平均。這兩個概率密度都是關于y軸對稱分布的，所以

〈x〉=〈k〉=0

而對于一個形如的高斯分布，有

利用高斯積分公式，可以求得

將結果分別應用到動量空間和坐標空間的概率密度分布上，可以得到

將它們相乘，可以驗證不確定性原理（Uncertainty principle）

恰好有等號成立。這是一個非常神奇且漂亮的結果——多次測量一個滿足高斯分布的粒子的位置和動量，將得到自然允許我們達到的最精確的結果。

將高斯波包作為初始條件，代入上一節得到的自由粒子波函數的一般形式

首先記，可以將積分改寫成

做變量替換，將積分寫為一個高斯積分。此時，參數既有實部，也有虛部，而且實部a＞0，所以積分是收斂的，不需要額外引入正規化方法來處理。同樣利用圖形法，可以求得

于是，給定時刻的波函數可以被表達為

分離出指數部分的虛部和實部，得到

對應的概率密度為

按照同樣的辦法可以求出這個高斯分布的方均根

在坐標空間中可以看到，這個波包的展寬隨著時間的推移在逐漸變大。換言之，一個高斯波包在演化中會逐漸往四周彌散，正如之前研究過的δ波包。不同的是，高斯波包寬度不會從0突變到無窮大，而是以有限速度在不斷增長。

另外，可以發現在動量空間上的波包并不隨時間推移而延展。隨著時間的演化，

僅與初始波函數有一個相位上的區別，從概率密度的角度看沒有任何變化。這是由于，自由粒子的各動量組分保持獨立演化，正如上一節所述。于是，動量空間上的波包寬度保持為

再次將兩個展寬相乘

隨著時間的流逝，微觀粒子的演化依然滿足不確定性原理。但是值得注意的是，在開始演化后，這個量子系統的不確定性關系并不總是取等號，而是以一種雙曲函數的趨勢逐漸增加。

小結
Summary

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[1]整理自搜狐視頻App“張朝陽”賬號/作品/物理課欄目中的第129、130期視頻，由陳廣尚執筆。