第一章?萊昂哈德·歐拉和他的三個“大”朋友

讀讀歐拉，讀讀歐拉吧，他是我們所有人的老師。

——皮埃爾·西蒙·拉普拉斯

我們對夸大事實的情況早已司空見慣。電視購物節目、廣告牌、體育解說員和流行音樂家們經常向我們拋出“最偉大”“最好”“最鮮艷奪目”“最快”和“最閃耀”這樣的沖擊性詞匯。這些詞已經喪失了它們的字面含義——它們被頻繁地用于普通的產品售賣或是取悅觀眾的過程中。因此，當我們說萊昂哈德·歐拉（見圖1.1）是歷史上最有影響力和最多產的數學家之一時，讀者也許會變得目光呆滯。然而，我們并沒有在夸大事實。人們普遍認為，歐拉和阿基米德（公元前287—前212）、艾薩克·牛頓（1643—1727）、卡爾·弗里德里希·高斯（1777—1855）一樣，都是按重要性和影響力可以排進歷史前十——或者前五——的數學家。

圖1.1 萊昂哈德·歐拉

在76年的人生中（1707—1783），歐拉取得的數學成果足以寫成整整74卷的著作，這超過了其他任何一位數學家。到全部被出版為止（他去世后的79年間，新的材料都還在涌現），他的所有著作共計866種，有論述最前沿主題的書和文章，有基礎教科書，有寫給未受科學訓練者的書，還有技術手冊。這還沒有把他預計多達15卷的書信集和筆記算進去——它們仍處于編纂中的狀態。

然而，歐拉的地位之所以重要，并不是因為他的著作卷帙浩繁，而是因為他對數學做出了深刻而有開創性的貢獻。歐拉不只是某個特定領域的專家，他也是偉大的全才之一：他的專長橫跨多個學科。在分析學、數論、復分析、微積分、變分法、微分方程、概率論和拓撲學領域，他都發表過有影響力的文章，也出版過圖書。這還不包括他在應用科學——例如光學、電磁學、力學、流體力學和天文學——方面的貢獻。此外，歐拉身上還有一項在過去和現在的頂級學者中都十分稀缺的特質：他是一流的講解者。和之前時代的數學家不同，歐拉寫作時用的是清晰、簡明的語言，這使得他的著作在專家和學生看來都具有可讀性。

歐拉是一個溫和而不事張揚的人，他的生活完全以自己的大家庭和工作為中心。他曾先后住在瑞士、俄國、普魯士，最后又去了俄國。他和許多十八世紀的重要思想家都有書信往來。他的職業生涯和三個歐洲的“大”統治者聯系在一起——彼得大帝、腓特烈大帝和葉卡捷琳娜大帝。這些領導者的功績之一就是建立或復興了自己國家的科學院。正是這些科學院給了歐拉支持，使他能把時間花在純粹的研究上。而他們三人期望從歐拉那里得到的全部回報便是偶爾利用他的科學專長解決一些國家事務，并憑借他的名望贏得世人對自己國家的贊譽。

1707年4月15日，萊昂哈德·歐拉出生于瑞士巴塞爾，父親是保羅·歐拉，母親是瑪格麗特·布魯克·歐拉。此后不久，全家就搬到了附近的小鎮里恩。在那里，保羅找了一份加爾文宗牧師的工作。

歐拉最初受到的數學訓練來自他的父親。雖然保羅并不是數學家，但他曾在著名的雅各布·伯努利（1654—1705）那里學過數學。當時，他和雅各布的弟弟約翰（1667—1748）都是巴塞爾大學的學生，寄宿在雅各布家。雅各布·伯努利和約翰·伯努利同屬那個后來在數學史上最被景仰的家族。在長達一個多世紀的時間里，伯努利家族在數學的發展歷程中扮演了重要角色，其中至少有八人為數學做出了巨大貢獻。

歐拉不到十四歲時便開始正式在巴塞爾大學學習。這對那個年代的大學生來說并不是一個不尋常的年齡。巴塞爾大學的規模相當之小——學校里只有幾百名學生和十九名教授。保羅希望自己的兒子走上牧師的道路，因此歐拉學習了神學和希伯來語。但他的數學能力卻無可否認，并且很快吸引了父親的朋友約翰·伯努利的注意。這時，約翰已經是歐洲的頂尖數學家之一了。

約翰是個傲慢無禮的人，有著強烈的好勝心，這引發了很多眾所周知的競爭（包括他與哥哥的競爭，以及與自己兒子的競爭）。不過，他卻認可了小歐拉卓越的天賦，并鼓勵后者鉆研數學。歐拉后來在自傳中寫道：“如果我遇到了一些障礙或困難，我可以在每周六下午不受限制地拜訪他，而他會和善地向我解釋任何我不懂的東西。”這些課程對歐拉數學技巧的成熟起到了非常重要的作用。

盡管歐拉已開始在數學學習中嶄露頭角，保羅卻仍希望自己的兒子成為牧師。十七歲那年，歐拉拿到了哲學碩士學位。約翰擔心數學的門徒會被教會奪走，因此他站了出來，明確地對保羅說歐拉有成為偉大數學家的潛力。出于對數學的喜愛，保羅的態度緩和了。歐拉雖然放棄了牧師的職位，但他在余生中始終都是一名虔誠的加爾文宗的信徒。

十九歲時，歐拉達成了自己的第一個數學成就。他從理論上分析了船桅的理想放置方式，在法蘭西科學院贊助的一項高聲譽競賽中獲得了二等獎，或者說“優秀獎”。這一壯舉對任何一個青少年來說都是不可思議的，對他這個從未親眼見過海上船只的瑞士年輕人而言就更是如此。在這項競賽中，歐拉沒有得到最高獎——那就跟在今天榮獲諾貝爾獎差不多——但他后來一共有十二次在不同的場合獲得過最高榮譽。

歐拉降生之時，在巴塞爾東北方1000英里[1]處，俄國沙皇彼得大帝（1672—1725）正在主持圣彼得堡的修建工作。這座城市動工于1703年，建于一片沼澤地上，緊靠涅瓦河的波羅的海入海口。彼得大帝逼迫勞工們同時修建圣彼得堡和彼得保羅要塞，后者是涅瓦河中一座島上的戰略要地。他喜愛這座新城市，稱它為他的“天堂”，還用自己的主保圣人的名字來給它命名。盡管大多數俄國人，尤其是政府官員，對這個寒冷潮濕之地并不抱有彼得的那種情感，但他還是把俄國的首都從莫斯科遷到了圣彼得堡。年輕的歐拉此時還完全料想不到，在他生命中的一大段時光里，這座城市都將是他的家。

---

[1]1英里= 1.609千米。

彼得大帝身材雄偉（見圖1.2），有接近7英尺[2]高。他精力充沛，自學成才，意志堅定，在1682年到1725年間都是俄國的領導人。他以無情的改革而聞名，開啟了俄國從封建農業國家到強大帝國的轉變。他的目標是俄國政府、文化、教育、軍事和社會的現代化，也就是西方化，這在很大程度上都實現了。正如一位俄國歷史學家所寫：“轉眼間，不需經院哲學、文藝復興和宗教改革，俄國便從一個狹隘的、宗教的、準中世紀的文明躍進到了理性時代。”

---

[2]　1英尺= 0.3048米。

圖1.2 俄國的彼得大帝

在西方化的進程中，彼得想對俄國的教育體系進行革新。事實上，除了強大的東正教會提供的最低程度教育之外，俄國的教育系統在彼得上臺之前可謂并不存在。因此，俄國沒有科學家。由于教會的強勢，俄國人害怕對世界進行科學的解釋，反而更偏好傳統的宗教解釋。彼得意識到，俄國的國際形象需要提升，外國人對俄國人的刻板印象——厭惡科學——需要被驅除。他也知道，擁有科學項目對于建立和維系一個強大的國家來說是至關重要的。

彼得拜訪了成立于1660年的英國皇家學會和成立于1666年的法蘭西科學院。在那里，他的所見所聞令他印象深刻。他也仰慕1700年在戈特弗里德·萊布尼茨（1646—1716）的建議下成立的新柏林科學院。萊布尼茨是一位聲名卓著的數學家，他和牛頓都被認為是微積分的發明者。這些研究院并不是大學；它們“致力于探索新知識，而非傳播已有的智慧”。研究院的成員是學者而非教師，他們的首要目標是推動人類知識的進步。

彼得想要創立一所堪比巴黎、倫敦和柏林的科學院的研究院，而且想把它建在他的新城市圣彼得堡。他向萊布尼茨尋求了建議。在接近二十年的時間里，他和萊布尼茨進行過多次關于教育改革和創立科學院的對話，有些是通過書信，有些則是面對面的。

1724年，彼得終于完成了在圣彼得堡創立科學院的計劃，這是他的教育改革探索中最后也最雄心勃勃的一步。然而，他不能讓他的研究院完全效仿歐洲其他國家的做法。因為俄國沒有本土科學家，所以他必須勸說那些有才能的外國科學家到圣彼得堡來工作。而且，由于俄國沒有大學教育體系，這所科學院也必須發揮大學的作用。科學院收到的命令之一便是對俄國人進行科學訓練，使得這個機構不必一直依賴外國人。

彼得沒能看到自己的努力開花結果，他于1725年早早去世。不過，幸虧有女皇葉卡捷琳娜一世（1684—1727）——彼得的第二任妻子，科學院計劃才得以繼續。彼得死后的數月里，外國學者們陸續到來，科學院也在當年年底召開了第一次會議。彼得是幸運的，因為葉卡捷琳娜一世欣然接受了創辦科學院的想法。在之后的年月里，科學院并不總能得到俄國領導人的支持。從彼得去世到葉卡捷琳娜大帝（1729—1796）加冕的三十七年間（1725—1762），俄國出現過六個統治者，而科學院總是任由這些固執己見的強人擺布。

最初，科學院雇用了十六位科學家：十三個德國人、兩個瑞士人和一個法國人——沒有俄國人。德國人的人數優勢和俄國人的缺乏為日后的緊張局勢埋下了伏筆。

圣彼得堡天寒地凍，位置偏遠，又在學術氛圍上相對孤立，因此科學院必須提供高薪和舒適的住處才能吸引來這些外國科學家。新科學院的規模不大，但它很快就實現了最初的承諾，成了一所蜚聲國際的重要科學機構。最終，它變成了俄國所有科學研究的中心。科學院曾幾度更名，但它直到今天依然存在，并以“俄羅斯科學院”的名字聞名于世。

科學院的外國學者中，有兩位學術明星是歐拉的朋友，同時也是約翰·伯努利的兒子——尼古勞斯·伯努利（1695—1726）和丹尼爾·伯努利（1700—1782）。離開瑞士前，兩兄弟和歐拉談起過科學院的事，并許諾會盡快為他找到一個職位。到達俄國后，他們立刻就開始游說科學院的管理人員雇用他們那位才智過人的年輕朋友。很快，他們的努力得到了回報。1726年，科學院向歐拉提供了一個醫學和生理學部門的職位。但不幸的是，這無法讓歐拉真正感到欣喜或為之慶祝，因為他將要填補的空缺是尼古勞斯悲劇性的英年早逝帶來的。

科學院提供的工作讓歐拉很感激，但他沒有馬上動身去俄國。有兩個原因讓他想要留在巴塞爾，把新工作先放在一邊。首先，他接受的是一份醫藥部門的工作，但他對這個領域知之甚少，所以他決定先在巴塞爾大學學習解剖學和生理學。其次，他想再等一陣子，看看巴塞爾大學是否會聘任自己為物理學教授。1727年春天，當他聽說得到物理學教授這份工作的另有其人之后，他便動身去了俄國。從此，歐拉開始了在圣彼得堡的生活。他將在這座城市居住十四年，并且還會回到那里，度過生命中的最后十七年。

歐拉先坐船，再步行，又乘了馬車，歷經七周的跋涉，終于到達了圣彼得堡。就在他踏上俄國土地的那一天，在位僅僅兩年的女皇葉卡捷琳娜一世去世了。新科學院的命運又變得飄忽不定起來。那些代表不滿十二周歲的沙皇彼得二世（1715—1730）——彼得大帝的孫子——實際掌權的人認為科學院是一個花銷巨大的奢侈項目，想要關停它。但幸運的是，科學院還是得以繼續開辦。而且盡管局面持續混亂，歐拉卻來到了他真正的歸屬之地——數學-物理部門，而非醫藥部門。1727年是歐拉數學家生涯的第一年，也是數學巨人艾薩克·牛頓倒下的那一年。

在彼得二世的治下，科學院成員的日子并不好過，因此，隨著這位十五歲的沙皇于1730年去世，他們都希望自己的命運能有所好轉。事實上，在新沙皇安娜·伊萬諾芙娜（1693—1740）的十年統治中，科學院的情況的確好了一些，但整個俄國的情況卻變得更加糟糕。安娜在她的政府中引入了一股強大的德系勢力，以她的情人恩斯特-約翰·比龍（1690—1772）為首。比龍是個冷酷的暴君，處決了數千名俄國人，還把數以萬計的俄國人流放到了西伯利亞。普通罪犯、舊信徒（信奉俄國東正教的人）和安娜的政敵都成了比龍的攻擊目標。后來，普魯士王后問身在柏林的歐拉為何如此沉默寡言，他答道：“夫人，這是因為我剛從一個國家過來，那里每個開口說話的人都被絞死了。”

1733年，丹尼爾·伯努利受夠了俄國的艱難生活和科學院內部的勾心斗角，回到了瑞士。歐拉則以二十六歲的年紀接替了丹尼爾的位置，成為科學院數學部門的負責人。

這時候，歐拉意識到自己可能會在俄國待上很久，甚至往后余生都將留在這里。拋開俄國的政治氛圍所帶來的種種困難，他的生活還算舒適。他精通俄語，也因為晉升后的加薪在經濟上無須憂慮。于是，1733年，他決定和卡塔琳娜·格塞爾結婚。她是瑞士畫家格奧爾格·格塞爾的女兒，而她的父親被彼得大帝帶到了俄國。萊昂哈德和卡塔琳娜組建的家庭孕育了十三個孩子。然而，如同那個時代的常態一樣，這些孩子中只有五個平安活過了童年，也只有三個比自己的父母活得更久。

丈夫和父親的角色沒有減緩歐拉發表研究成果的速度。在這個階段，以及他學術生涯的每個階段，他都是一個極度活躍的研究者。對于歐拉的高產，我們再怎么描述也很難言過其實。一些關于數學的民間故事提到，歐拉可以一邊把嬰兒放在腿上搖晃一邊寫數學文章，而且在家人兩次提醒他吃晚飯的間隔時間內就可以寫成一篇論文。他的寫作主題無所不包：他創作過杰作，寫過簡短的筆記，還寫過關于結果修正、解釋的文章，以及部分完成的成果、證明的思路、數學入門方法介紹和技術類書籍。

沒有任何障礙可以拖慢歐拉的腳步，連失明也沒能阻擋他如潮水般輸出的數學成果。1738年（一說1735年），他連續三天研究一個天文學難題之后病倒了。人們一直認為這就是使他右眼視力衰退并最終失明的原因，盡管現代醫學降低了這種說法的可信度。歐拉面對視力的損傷泰然自若。他以一貫的謙遜評論道：“這下子能讓我分心的事就更少了。”后來，他的左眼也看不見了，他幾乎在完全的黑暗中度過了人生的最后十七年。可即使這樣，他仍然不斷為數學做著重要貢獻，直到生命中的最后一天。

歐拉的大腦和其他人不同，似乎是專為數學而生的。他能在腦中同時思考許多抽象的概念，也能完成驚人的心算。有一個著名的故事，說的是歐拉的兩個學生曾對十七個分數項求和，卻發現得到的結果不一樣。歐拉在腦中迅速完成了計算，給出了正確答案，平息了爭論。數學家弗朗索瓦·阿拉戈（1786—1853）寫過一句著名的話：“歐拉計算時幾乎毫不費力，就像人類呼吸或老鷹在風中翱翔一樣。”對此，歐拉謙虛地說，他憑借的是對符號的使用而不是聰明才智，而他的鉛筆在智識上更勝于他自己。

歐拉也天生就有著神乎其神的記憶力。他記住了無數的詩歌，從孩提時代到兩鬢斑白，他一直能背誦維吉爾的《埃涅阿斯紀》的全文，甚至能說出其中任何一頁上的第一句和最后一句。關于他超凡的記憶力，一個更數學化的例子是，他能說出前100個整數的1到6次冪。為了讓你有個概念，舉個例子，99的6次冪等于941480149401。

在圣彼得堡，歐拉也為俄國的國家項目投入了時間。1735年，他被任命為科學院地理部門的負責人，之后為俄國亟需的地圖的繪制工作做出了巨大的貢獻。他也寫過一部關于船只制造的兩卷本著作，這套價值連城的書使得科學院把他當年的薪水漲了一倍。

即便是歐拉正享受學術上的高產、幸福的家庭生活和可觀的收入時，俄國的形勢也在持續惡化。科學院的氣氛已變得非常緊張，甚至充滿了敵意。很多資深教授都是德國人，俄國人的受聘率仍然很低。科學院成立后的前十六年中，只有一個俄國人獲選為成員，而且他還是一個從來沒有晉升為教授的次要角色。俄國人厭惡德國人的權勢，甚至公開表達了反德國的觀點。幸運的是，謙遜而寡言的歐拉在科學院的內部斗爭中保持了中立。但這種環境還是讓他在工作時感受到了壓力。

安娜政府中的比龍和“德國派”使俄國人民日益畏懼和憎恨德國人。1740年下半年，快走到生命盡頭的安娜將比龍任命為攝政王，輔佐她的繼任者，也就是僅僅兩個月大的伊萬六世（1740—1764）。安娜死后，俄國人對德國人的仇恨到達了頂峰——不到一個月比龍就被趕下了臺，而一年后伊萬和整個“德國派”都被剝奪了權力。彼得大帝的女兒伊麗莎白一世（1709—1762）成了下一任女皇。

這個時期在俄國生活是十分艱險的，尤其是對外國人而言。外國學者都被投以懷疑的目光，因為他們可能是西方的間諜。對這種狀況，歐拉的回應是保持安靜，并把自己的所有時間都投入工作和家庭上。但到了1741年，歐拉再也無法忍受在俄國的生活了，因此他決定離開圣彼得堡去往柏林。

柏林科學院成立于1700年，最初的名字是皇家科學學會。萊布尼茨曾為它制訂過一些宏大的計劃。如同巴黎和倫敦的科學院一樣，柏林科學院把重心放在科學和數學上；但不同之處在于，它擴大了自己的研究范圍，將歷史、哲學、語言和文學也納入其中。

盡管萊布尼茨的期望很高，但柏林科學院的騰飛卻相當緩慢。部分的困難在于頻繁的資金不足，以及科學院內部法國人和德國人的對立。1713年，隨著弗里德里希·威廉一世（又譯作腓特烈·威廉一世）的登基，情況進一步惡化。在這個反智君主的統治下，科學院被徹底忽視了。因此，柏林科學院絲毫沒有展現出像巴黎科學院和倫敦科學院那樣的成功。它在科學發展的進程中無足輕重；事實上，它甚至被冠以了“無名學會”的名號。

1740年，弗里德里希·威廉一世去世，他的兒子弗里德里希二世（又譯作腓特烈二世，1712—1786），即后世所稱的腓特烈大帝（見圖1.3），登上了王位。雖然威廉一世刻意培養了兒子的領導能力，但腓特烈仍在很多方面都跟自己的父親截然不同。父子二人的矛盾極深。十八歲時，腓特烈在試圖逃到國外時被抓住了。他的父親處決了他的好友兼同謀（也有人說那是他的同性愛人），并強迫他親眼見證了行刑過程。

圖1.3 普魯士的腓特烈大帝

腓特烈大帝即位后決意要開拓德國的領土，但他也偏好藝術和哲學。他渴望成為一位開明的統治者兼哲學家，而復興科學院正是他的重振國威計劃中重要的一環。

和自己的父親不同，腓特烈大帝鄙棄德國文化，喜愛一切跟法國相關的東西。他將柏林科學院的官方名字改成了法語的“皇家科學院與文學院”。他堅持把法語作為科學院的官方語言，要求科學院的期刊上發表的文章要么是用法語寫成的，要么是譯成了法語的。他更喜歡身邊圍繞著言辭詼諧的法國人，而不是冷靜且不動聲色的德國人。伏爾泰（1694—1778）是他最喜歡的通信者之一，也是和他關系最親密的科學院事務顧問。正是伏爾泰首先提出了建議，讓腓特烈大帝誘使歐拉離開俄國加入柏林科學院。

腓特烈對數學類學科深惡痛絕。1738年，他在給伏爾泰的信中寫道：“至于數學，我得向你承認我討厭它，它讓人絞盡腦汁。我們德國人在上面耗費太多精力了；這是一塊貧瘠的田地，得靠時常耕作和澆水才能有所產出。”他把數學——和一般的科學——看作國家的仆從。他根據自己手下的科學家在實際事務中的有用程度來衡量他們的價值。科學院中的科學家可以自由研究他們感興趣的項目，只要他們能滿足國王提出的需求。

此時，歐拉已是圣彼得堡最杰出的學者了，他的大名傳遍了歐洲。腓特烈開始向歐拉發出邀請。盡管歐拉確實被俄國的危險形勢所困擾，但腓特烈還是通過多次接觸才說服這位瑞士數學家離開圣彼得堡。1741年，歐拉終于同意前往柏林。他以自己變差的健康狀況和對溫暖氣候的需求為由，得到了離開圣彼得堡的許可。

剛到柏林的時候，歐拉很滿意，他在1746年寫給朋友的信中說：“國王把我稱作他的教授，我覺得我是世界上最幸福的人了。”但很不幸，這種滿足感并未持續多久。柏林的生活在很多方面都優于圣彼得堡的生活，但歐拉的體驗卻摻雜了苦澀，因為腓特烈對他表現出了一種特殊而出人意料的蔑視。腓特烈把歐拉稱為他的“數學獨眼巨人”，粗魯地暗示著歐拉僅剩一只完好眼睛的事實。腓特烈的冷淡部分源于他對數學的憎惡，但還有其他原因。歐拉低調而安靜的舉止不合他的口味，反倒讓他把歐拉看作一個笨蛋。腓特烈更喜歡詼諧、精于世故又充滿活力的伏爾泰陪在自己身邊。此外，歐拉是一名虔誠的加爾文宗的信徒。他每天傍晚都會給自己的家人朗讀經文，還經常向他們布道。在公開場合，腓特烈是宗教的支持者；但私下里，他卻是一個自然神論者，對歐拉的虔誠和堅定的精神信仰不屑一顧。

歐拉對腓特烈也懷有不滿。他在柏林遭受的最大挫敗便是腓特烈拒絕讓他出任科學院的院長。七年戰爭期間（1756—1763），腓特烈事務繁忙，一度找不到合適的人來擔任院長一職。這時的歐拉是非官方的“代理院長”，但腓特烈考慮正式院長人選時總是一再地跳過他。作為代理院長，歐拉表現出色。但由于他不是一位言辭犀利、口若懸河的哲學家，他永遠也得不到腓特烈的贊許。最極端的一次羞辱發生于1763年，腓特烈承認沒辦法找到適合當院長的人，并自封為科學院院長。

1763年，歐拉和腓特烈之間的敵意更深了。腓特烈不同意歐拉的一個女兒嫁給一名士兵，因為后者的軍銜太低了。而腓特烈和歐拉徹底決裂的導火索也許是兩人在1763年到1765年間的一系列憤怒爭吵。他們爭論的焦點是國家年鑒的售賣。這些年鑒耗費了科學院成員的大量心血，并被出售給公眾，以便為科學院的運作籌集資金。然而，負責年鑒售賣的首席專員被發現利用職權中飽私囊。腓特烈和歐拉就如何處理籌資過程中的貪污和管理不善有了不同的意見。兩人的交流最后以腓特烈向歐拉拋出尖銳的指責而告終。

即便住在柏林，歐拉和圣彼得堡的前同事們也維持著良好的關系。他仍然是他們的期刊編輯，并在那本期刊上發表了109篇文章。同時，他還指導那些被送到柏林的俄國學生。作為回報，俄國人會定期給他發放一筆津貼。另一個七年戰爭里的例子更顯著地體現了俄國人對歐拉的尊重。1760年，俄國軍隊朝勃蘭登堡行軍時進入了夏洛滕堡。他們偶遇了一座歐拉的農場，還洗劫了它。當俄國人——首先是將軍，隨后是女皇伊麗莎白——查明這次行動后，他們給歐拉的賠償遠遠超出了他的損失。

歐拉在柏林的二十四年間，俄國人一直渴望把他請回圣彼得堡。他們在1746年、1750年和1763年都曾與歐拉商談，給出豐厚的報價“引誘”他回到俄國。每一次，歐拉都拒絕了，但從來沒有把這扇門關死。最后，1765年，歐拉受夠了腓特烈的敵意，也看到了俄國政治形勢的改善，便決定重回圣彼得堡。

拋開個人好惡不談，腓特烈也認可歐拉在國際科學界的突出地位。在柏林，歐拉發表了超過兩百部作品。1749年，他被選為英國皇家學會的成員。1755年，他又被指定為巴黎科學院的第九名外國成員，即使那里本來規定了外國成員只能有八名。他也盡力為德國服務，除了國家年鑒的制作，歐拉還參與過國家造幣廠的鑄幣、運河的選址、渡槽的設計、養老金的創立和火炮的改進。

腓特烈企圖阻止歐拉的離開。因此，歐拉不得不一次又一次地申請離境許可。1766年，腓特烈終于松了口，允許歐拉啟程，于是，五十九歲的歐拉帶著十八個家人踏上了回圣彼得堡的旅途。

那一年的晚些時候，腓特烈聽從法國數學家讓·達朗貝爾（1717—1783）的建議，讓約瑟夫-路易·拉格朗日（1736—1813）接替了歐拉的位置。拉格朗日是一顆年輕的學術新星，后來成為一位杰出的數學家。腓特烈以他一貫的尖酸刻薄寫信感謝了達朗貝爾，因為后者“讓一位雙眼健全的數學家代替了一位半盲的數學家，這會使科學院里的解剖學專家們尤為高興”。然而諷刺的是，雖然腓特烈厭惡數學，喜愛哲學，但他的科學院被世人永遠銘記的原因卻是其中那群令人贊嘆的數學家，而不是哲學家。

正當即將離開柏林的歐拉和腓特烈沖突不斷之時，俄國恰好處于彼得三世（1728—1762）的統治之下。他性情乖戾，陰晴不定，是個親德的領導者，以“畏懼、鄙視俄國和俄國人民”而為人所知。1762年，他的統治戛然而止。他的妻子把他趕下了臺，成了葉卡捷琳娜二世。沒過多久，也許是在葉卡捷琳娜的命令下，彼得被拘禁他的看守謀殺了。

葉卡捷琳娜（見圖1.4），即后世所稱的葉卡捷琳娜大帝，直到1796年都是俄國女皇。就像十八世紀初的俄國由強悍而影響力巨大的彼得大帝統治著那樣，十八世紀末的俄國也處于葉卡捷琳娜大帝的卓越領導之下。作為領袖，她頭腦精明，意志堅強，野心勃勃而又精力充沛。正如法國哲學家德尼·狄德羅（1713—1784）拜訪過葉卡捷琳娜的王宮之后所說，她“骨子里是凱撒，卻散發著克里奧帕特拉的全部魅力”。俄國人的生活質量在她的統治期內有了顯著提高。曾在彼得大帝的時代以后被嚴重忽略的教育也又一次成為俄國政府優先考慮的事項。

圖1.4 俄國的葉卡捷琳娜大帝

圣彼得堡科學院成立之初，歐拉耀眼的光芒使得整個機構都熠熠生輝。當他遠走柏林后，數學界的焦點也隨之轉移。這一損失加上俄國政權的頻繁更迭使得圣彼得堡科學院很難再吸引有才能的外國學者。這個機構已經搖搖欲墜。葉卡捷琳娜的教育改革計劃就包括復興圣彼得堡科學院，讓它上升到從前的高度。正如數學家安德烈·魏爾（1906—1998）所寫：“這幾乎就等同于把歐拉帶回來。”

葉卡捷琳娜不僅滿足了歐拉的硬性需求，還提供了更多。歐拉拿到的工資比1763年的翻了一倍，他的妻子獲得了一份津貼，他的大兒子被圣彼得堡科學院雇用，而他那些更年輕的兒子們將來也不用為就業擔心了。除此之外，葉卡捷琳娜為歐拉準備了一套家具齊備的房子，還把自己手下的一名廚師給了他。到達圣彼得堡后，歐拉立刻收到了女皇的熱情問候。他的回歸讓數學界的注意力重新聚焦到圣彼得堡，也確保了它今后的持續成功。

葉卡捷琳娜大帝和腓特烈大帝有相似之處，畢竟他們都是典型的“開明的專制君主”。但歐拉與他們二人的關系非常不同。在葉卡捷琳娜治下的圣彼得堡科學院，他的體驗遠比在腓特烈治下的柏林科學院要好得多。葉卡捷琳娜熱愛科學，以對待名人的方式歡迎了歐拉。他也成為比其他學者擁有更多行政權力的高級院士。

一生之中，歐拉見證了俄國首都圣彼得堡的種種變化。這座城市與他初見時才二十四歲，當他回歸時為六十三歲，在他長眠時則有八十歲了。到十八世紀末，城市的人口已經超過了166000。住在這里的既有富可敵國的貴族，又有一貧如洗的農民。城中接近四分之一的居民是軍隊成員。數百年來，有多少俄國人愛它，就有多少俄國人恨它（直到今天還是如此）。如今它的大街小巷滿是精美的歐式建筑，就和彼得大帝最初建造它時的風格一樣。它是所有俄國城市中最歐洲化的。它的眾多島嶼和水道也讓它“北方威尼斯”的名號傳播開來。

歐拉在圣彼得堡的第二段時光是他事業的成功期，但也夾雜著一系列個人損失。1771年，他的房子被燒成了灰燼。一名無私的仆人反應迅速，將他背出了正在燃燒的小樓，救了他一命。雖然他的整個藏書室都毀于大火，但他的手稿卻被搶救了出來，這是科學的幸運。葉卡捷琳娜大帝聽聞這場悲劇后給了他一處新住所，彌補了他的損失。1776年，歐拉深愛的妻子卡塔琳娜離世了。一年后，他和卡塔琳娜的同父異母的姐妹薩洛梅·阿比蓋爾·格塞爾結了婚。

剛離開柏林，歐拉就被白內障偷走了左眼的視力。盡管1771年的一次手術短暫地為他的左眼帶來了光明，但術后的感染卻讓他舊病復發。他又一次完全看不見了。在此之后，他主要通過向兒子口述的方式來發表數學成果。令人稱奇的是，歐拉的數學產出沒有因此而減少。在雙目失明的時間里，他證明了他最重要的一些定理，寫出了他最有影響力的一些書。

人們普遍相信，一位數學家在年輕時最為多產，等到了三十歲或四十歲，創造力和才能都會消失無蹤。英國數學家戈弗雷·哈羅德·哈代曾在他那本著名的回憶錄《一個數學家的辯白》中寫道：“任何一個數學家都不應讓自己忘記，相比于其他藝術或科學，數學更是一項年輕人的游戲。”雖然這句話確實準確描述了很多數學家（和其他創造性領域的從業者）隨著年齡增長越發難以創造高質量成果的現象，但它卻不能刻畫歐拉的職業生涯軌跡。歐拉回歸圣彼得堡時，迎接他的是盛大的歡迎儀式，而他也沒有令人失望。一位歷史學家寫道，歐拉“立刻就證明了他回俄國不是為了養老，恰恰相反，他的科學產出能力仍在巔峰”。

如同貝多芬征服了看似不可逾越的耳聾從而創作了多部交響樂一樣，歐拉也在一望無際的黑暗中創造了深刻、優美且常常“可視”的數學。這是人類精神所取得過的最偉大勝利之一。

除了純數學研究，歐拉也繼續為應用數學做出卓越的貢獻。那個時代最重要的問題之一就是設計一種精確而可靠的海上導航法。天文導航是個好主意，但只有當航海表能給出天體在任何時刻的位置時，它才有效。在夜空中，月亮是最引人注目的東西，但因為它的運動由三個物體——它自己、地球和太陽——的引力相互作用所決定，提前計算它在某個時刻的位置就成了一個極其困難的數學問題。即使到了今天，我們也沒法完全理解“臭名昭著”的“三體問題”。牛頓的引力理論描述了行星的運動，卻沒有提供一種用于預測該運動的計算方法。1772年，歐拉建立了一個可計算的數學模型，能夠非常精確地估算月亮的運動軌跡。這個模型催生了很多極其可靠的月星距改正表。為表感謝，法國的經度委員會和英國議會都重獎了歐拉。

歐拉直到七十六歲去世時才停止數學上的產出。法國數學家孔多塞（1743—1794）在歐拉的悼詞中描述了他生命中的最后一天：

“他仍然保有自己的全部思維能力和肉眼可見的精神活力，似乎沒有任何年老力衰的跡象預示著科學即將失去一位為其增光添彩的偉大人物。1783年9月18日，歐拉先是在石板上自娛自樂地計算了熱氣球——一項蜚聲全歐洲的新發明——上升時的運動規律，隨后和萊克塞爾先生與自己的家人共進了晚餐，談論了赫歇爾的行星（剛被發現不久的天王星）及其軌道的計算。過了一會兒，他把自己的孫子叫了過來，一邊喝茶一邊和他玩耍。突然，煙斗從他手中掉落，他停止了計算和生命。”

萊昂哈德·歐拉被埋葬在俄國的圣彼得堡。

在數學中，很難確定歐拉最偉大的成就是哪一個。我們可以從他數不勝數的定理中挑出一個。我們也可以指向他撰寫的一系列杰出教材，例如《無窮小分析引論》——它被著名數學史家卡爾·博耶稱為現代數學中最有影響力的教科書。也許，最偉大的是他在應用數學領域的工作，比如他的著作《力學或運動科學的分析解說》——它開創了把微積分技巧系統性地應用到物理學中的先河。也許，最偉大的是他寫給非專業人士的著作，比如廣受歡迎的《給德國公主的信》，其中包含了一套為腓特烈大帝的侄女安哈爾特-德紹公主量身打造的課程。也許，最偉大的是他把孤立的結果和看似不相干的想法組織、表達成統一而有序的數學整體的能力。又或許，最偉大的是他發明的那些優雅而實用的符號：歐拉引入了e來代表自然對數的底數；他讓符號π的使用變得流行；在生命的最后階段，他用i來代表（這一符號后來因為高斯而流行了起來）；他用a、b、c來代表一個典型三角形的三邊，又用A、B、C來代表它們所對的角；他用∑代表求和；他用Δx代表有限差分；他還是最先用f(x)來表示函數的人。

然而，要挑出歐拉不計其數的定理中最重要的一條也不容易。有些人認為該是那個聯系起0、1、π、e和i的簡潔公式：

eπi+1=0

或者，該是他那些精妙的無窮級數中的一個，它們無不展現出微積分的力量。又或者，該是他的某個數論定理，例如那些為著名的費馬大定理（又譯為費馬猜想）提供了證明思路的定理。

當然，我們將會關注那個將多面體的頂點數、棱數和面數聯系起來的簡單公式：

V-E+F=2

近期的一個調查顯示，在數學家們眼中，歐拉多面體公式（簡稱歐拉公式）是所有數學領域中第二優美的定理，被票選為最美定理的則是eπi+1=0。

為了理解歐拉公式，我們必須先對多面體有更多的了解。什么是多面體呢？