引言

哲學(xué)被寫在這部鴻篇巨制——我指的是宇宙——中，我們隨時都能翻閱它。但如果不首先學(xué)著解讀書中的語言和文字，就沒有人能夠讀懂。這語言是數(shù)學(xué)，這文字則是三角形、圓及其他幾何圖形。若是沒有它們，人們甚至不可能理解書中的一絲一毫；若是沒有它們，讀者將在幽暗的迷宮里一直徘徊。

——伽利略

他們都錯過了它。古希臘人——諸如畢達(dá)哥拉斯、特埃特圖斯、柏拉圖、歐幾里得和阿基米德這些癡迷于多面體的數(shù)學(xué)大家——錯過了它。杰出的天文學(xué)家約翰內(nèi)斯·開普勒對多面體的美如此敬畏，以至于基于它們構(gòu)造了一個太陽系模型，但他也錯過了它。數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家勒內(nèi)·笛卡兒在研究多面體時只要從邏輯上再往前邁幾步就能發(fā)現(xiàn)它了，可他也還是錯過了它。上述數(shù)學(xué)家和他們的許多同行都錯過了這個關(guān)系式。它簡單到可以被解釋給任何一個小學(xué)生聽，但也重要到成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)體系里的一部分。

偉大的瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉（1707—1783）——他的姓氏讀音聽起來像是“涂油工”——卻沒有錯過它。1750年11月14日，在一封給自己的朋友——數(shù)論學(xué)家克里斯蒂安·哥德巴赫（1690—1764）——的信中，歐拉寫道：“據(jù)我所知，這些立體測量學(xué)（立體幾何）中的一般性質(zhì)還沒有被任何人注意到，這令我感到震驚。”歐拉在信中描述了他的觀察結(jié)果，又在一年后給出了一個證明。這個結(jié)果是如此地基本和重要，以至于人們現(xiàn)在稱它為“歐拉多面體公式”（簡稱歐拉公式）。

多面體是一種如圖I.1所示的三維對象。它由一些平坦的多邊形面構(gòu)成。每一對相鄰的面相交于一條叫作棱的線段，而每一組相鄰的棱則交于一個拐角，或者說一個頂點。歐拉注意到頂點數(shù)、棱數(shù)和面數(shù)（分別用V、E和F表示）總是滿足一個簡單而優(yōu)雅的算術(shù)關(guān)系（即歐拉公式）：

V-E+F=2

圖I.1 立方體和足球（截角二十面體）都滿足歐拉公式

立方體大概是最廣為人知的多面體了。快速數(shù)一數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)它有6個面：頂端的正方形、底部的正方形和側(cè)面的4個正方形。這些正方形的邊界構(gòu)成了棱。我們總共能數(shù)出12條棱：頂端的4條、底部的4條和側(cè)面沿垂直方向的4條。頂端的4個拐角和底部的4個拐角則是立方體的8個頂點。因此，立方體的V=8，E=12，F=6，并且顯然有

8-12+6=2

對于圖I.1中的足球狀多面體來說，要數(shù)清這3個數(shù)值更困難一些，但我們還是可以得知它有32個面（12個正五邊形和20個正六邊形）、90條棱和60個頂點。同樣，

60-90+32=2

除了研究多面體，歐拉還開創(chuàng)了“位置幾何學(xué)”這一領(lǐng)域，也就是今天的拓?fù)鋵W(xué)。幾何學(xué)是對剛性對象的研究，著重測量面積、角度、體積和長度這樣的量。拓?fù)鋵W(xué)——俗稱“橡皮膜幾何學(xué)”——研究的則是可塑的形狀。一位拓?fù)鋵W(xué)家的研究對象不一定得是剛性的或幾何的。拓?fù)鋵W(xué)家的興趣在于確定連通性、檢測孔洞和調(diào)查扭曲程度。當(dāng)狂歡節(jié)里的小丑把一個氣球擰成小狗的形狀時，氣球仍然是原來的那個拓?fù)鋵嶓w，但在幾何學(xué)上它已經(jīng)變得極為不同。然而，當(dāng)一個孩子用鉛筆扎破氣球，在上面留下一個洞之后，氣球從拓?fù)鋵W(xué)上來講就改變了。從圖I.2中我們能看到三個拓?fù)淝娴睦印蛎妗⑻鹛鹑畹沫h(huán)面和扭曲的默比烏斯帶。

圖I.2 拓?fù)淝妫呵蛎妗h(huán)面和默比烏斯帶

在拓?fù)鋵W(xué)這個年輕的領(lǐng)域中，學(xué)者們被歐拉公式所吸引，并且想把它應(yīng)用到拓?fù)淝嫔稀Ｒ粋€明顯的問題隨之而來：拓?fù)淝嫔系捻旤c、棱和面在哪里呢？為此，拓?fù)鋵W(xué)家舍棄了幾何學(xué)家所設(shè)的剛性規(guī)則，允許面和棱變得彎曲。在圖I.3(a)中，我們看到一個球面被分成了“矩形”和“三角形”區(qū)域。這種劃分是通過畫出12條交匯于兩極的經(jīng)線和7條緯線來實現(xiàn)的。整個球體上有72個彎曲的矩形面和24個彎曲的三角形面（三角形面在北極和南極附近），共計96個面。與此同時，棱有180條，頂點有86個。因此，如同多面體的情形那樣，我們發(fā)現(xiàn)

V-E+F=86-180+96=2

(a)?????????????????????? (b)

圖I.3 球面的兩種劃分

類似地，2006年世界杯的用球由六塊四條邊的沙漏形球皮和八塊畸形的六邊形球皮組成，如圖I.3(b)所示。它同樣滿足歐拉公式（V=24，E=36，F=14）。

現(xiàn)在，我們不禁會猜想歐拉公式適用于所有的拓?fù)淝妗Ｈ欢鐖DI.4所示，如果把一張環(huán)面分成彎曲的矩形面，我們會得到一個驚人的結(jié)果。這種劃分方式是，繞著環(huán)面的中心空洞畫2個圓，并繞著它的管狀部分畫4個圓。由此，我們有了8個4條邊的面、16條棱和8個頂點。仿照歐拉公式，我們算出

V-E+F=8-16+8=0

圖I.4 環(huán)面的劃分

而不是等于預(yù)料中的2。

假如對環(huán)面做一種不同的劃分，我們會發(fā)現(xiàn)上述交錯和仍然等于0。這就給了我們一個環(huán)面版的新歐拉公式：

V-E+F=0

我們可以證明，每一種拓?fù)淝娑加兴白约旱摹睔W拉公式。不管我們把一張球面分成6個面還是1006個面，只要運用歐拉公式，我們總會得到2。類似地，如果我們把歐拉公式應(yīng)用到環(huán)面的任何一種劃分上，我們就會得到0。這些特殊的數(shù)值可以用來區(qū)分不同的曲面，就像輪子的個數(shù)可以用來區(qū)分公路上的不同車輛一樣。每一輛小轎車都有四個輪子，每一輛牽引掛車都有十八個輪子，而每一輛摩托車都有兩個輪子。如果一輛車的車輪數(shù)不是四，那么它就不是小轎車；如果一輛車的車輪數(shù)不是二，那么它就不是摩托車。同樣的道理，如果一張曲面的V-E+F不等于0，那么以拓?fù)鋵W(xué)的觀點來看，它就不是環(huán)面。

V-E+F這個量是形狀的一個固有特征。用拓?fù)鋵W(xué)家的語言來說，它是曲面的一個不變量。由于不變性是一個強(qiáng)大的性質(zhì)，我們把V-E+F叫作曲面的歐拉數(shù)。球面的歐拉數(shù)是2，環(huán)面的歐拉數(shù)則是0。

此時看來，每張曲面都有自己的歐拉數(shù)這一事實似乎只是個數(shù)學(xué)奇聞而已。當(dāng)你手拿足球或遠(yuǎn)眺短程線穹頂時，即使想到它也不會覺得有多么酷。但事情并非如此。我們將會看到，歐拉數(shù)在多面體的研究中是一種不可或缺的工具，更不用說對拓?fù)鋵W(xué)、幾何學(xué)、圖論和動力系統(tǒng)而言了。而且，它還有一些非常優(yōu)雅且出人意料的應(yīng)用。

一個數(shù)學(xué)中的紐結(jié)看起來像是一根纏成一團(tuán)的繩子，如圖I.5所示。如果一個紐結(jié)能在不被切斷或重新粘連的情況下變成另一個紐結(jié)，那它們本質(zhì)上就是相同的。就像歐拉數(shù)可以用來分辨曲面那樣，稍稍再調(diào)動一點聰明才智，我們就能用它來分辨紐結(jié)。利用歐拉數(shù)，我們可以證明圖I.5中的兩個紐結(jié)是不同的。

圖I.5 這兩個紐結(jié)相同嗎

從圖I.6中我們可以看到一張地球表面在某個時刻的風(fēng)向模式圖。在這個例子中，有一個離智利海岸不遠(yuǎn)的無風(fēng)點。它位于那個沿順時針旋轉(zhuǎn)的風(fēng)暴的中心平靜處。我們可以證明，無論何時，地球表面總有至少一個點是無風(fēng)的。這不是基于對氣象學(xué)的理解，而是基于對拓?fù)鋵W(xué)的理解。這個點的存在性是用一個被數(shù)學(xué)家們稱為“毛球定理”的結(jié)果推導(dǎo)出來的。如果我們把風(fēng)想象成地球表面的一縷縷毛發(fā)，那么地球表面總有一個點的頭發(fā)是翹起來的。更通俗的說法是“你不能幫椰子梳好頭”。到了第十九章，我們會看到歐拉數(shù)是怎樣讓我們建立起這個大膽的論斷的。

圖I.6 地球上總有一點無風(fēng)嗎

在圖I.7中，我們看到一個點陣中的多邊形。這個點陣中相鄰兩點的間距為單位長度，多邊形的頂點則正好位于某些格點處。令人驚奇的是，我們可以通過數(shù)點來精確計算出這個多邊形的面積。我們會在第十三章借助歐拉數(shù)推導(dǎo)出一個優(yōu)雅的公式，它用多邊形邊界上的點數(shù)（B）和多邊形內(nèi)部的點數(shù)（I）算出了多邊形的面積：

面積= I+B/2-1

利用這個公式，我們得知圖中多邊形的面積為5+10/2-1=9。

圖I.7 可以用數(shù)點的方式計算陰影多邊形的面積嗎

曾有一個古老而有趣的問題，問的是用多少種顏色來給地圖上色才能使每一對共享邊界的相鄰區(qū)域有不同的顏色。讓我們拿一張無色的地圖，然后用盡可能少的蠟筆給它涂色。你很快就會發(fā)現(xiàn)，其中大多數(shù)區(qū)域都可以只用三種顏色的蠟筆就涂好色，但要真正地完成任務(wù)還是需要第四種顏色。例如，由于內(nèi)華達(dá)州被奇數(shù)個州所環(huán)繞，你需要三種顏色的蠟筆來給后者上色——接著你會需要第四種顏色來給內(nèi)華達(dá)州本身上色（見圖I.8）。如果我們夠聰明，那我們就不需要第五種顏色——四種顏色就足以給整個地圖上色了。長久以來，人們一直猜測所有的地圖都可以用四種或更少的顏色涂好色。這個“臭名昭著”又異常棘手的問題如今以“四色問題”的名字被人們所熟知。我們將在第十四章中回顧它的迷人歷史，并看看它最后是如何在1976年被人們用一種有爭議的方式證明的——歐拉數(shù)在其中發(fā)揮了重要作用。

圖I.8 我們能只用四種顏色給地圖上色嗎

石墨和鉆石是兩種完全由碳原子構(gòu)成的物質(zhì)。1985年，三位科學(xué)家——羅伯特·柯爾，理查德·斯莫利和哈羅德·克羅托——震驚了科學(xué)界，因為他們發(fā)現(xiàn)了一類新的全碳分子。他們把這些新分子稱為富勒烯，借用了設(shè)計出短程線穹頂?shù)慕ㄖ煱涂嗣羲固亍じ焕盏拿帧Ｖ赃@樣命名，是因為富勒烯是一種結(jié)構(gòu)類似于短程線穹頂?shù)亩嗝骟w狀分子。憑借對富勒烯的發(fā)現(xiàn)，他們?nèi)吮皇谟枇?996年的諾貝爾化學(xué)獎。在一個富勒烯中，每個碳原子恰好和三個碳原子相鄰，而碳原子的環(huán)則構(gòu)成了五邊形和六邊形。一開始，柯爾、斯莫利和克羅托只找到了由60個和70個碳原子構(gòu)成的富勒烯，但其他富勒烯也在后來被發(fā)現(xiàn)。最常見的富勒烯是被他們稱作“巴克敏斯特·富勒烯”的足球形分子C₆₀（見圖I.9）。出人意料的是，就算不懂任何化學(xué)知識，只掌握了歐拉公式，我們也能斷言某些構(gòu)型在富勒烯中絕對不可能存在。例如，不管分子大小如何，每個富勒烯一定恰好包含12個五邊形的碳原子環(huán)，雖然六邊形碳環(huán)的個數(shù)可以有所不同。

圖I.9 C₆₀，即巴克敏斯特·富勒烯

數(shù)千年來，人們一直被美麗而誘人的正多面體所吸引——它們的每個面都是完全相同的正多邊形（見圖I.10）。古希臘人發(fā)現(xiàn)了這些對象，柏拉圖把它們吸收進(jìn)了自己的原子論，而開普勒則基于它們構(gòu)造了一個太陽系模型。這些多面體的一個神秘之處是它們的種類太少了——除了圖中的五種外，再沒有別的多面體滿足正則性的嚴(yán)格限制了。歐拉公式最優(yōu)雅的應(yīng)用之一便是可以快速證明有且僅有五種正多面體。

圖I.10 五種正多面體

盡管歐拉公式既重要又優(yōu)美，它卻基本上不被普通大眾所知。學(xué)校的標(biāo)準(zhǔn)課程中沒有它。一些高中生也許知道歐拉公式，但很多學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)生直到本科階段才會遇到它。

數(shù)學(xué)聲譽是一種奇特的東西。有些數(shù)學(xué)成果之所以著名是因為它們被刻進(jìn)了年輕學(xué)生的腦海中：畢達(dá)哥拉斯定理（即勾股定理）、一元二次方程求根公式、微積分基本定理。另外一些數(shù)學(xué)成果出現(xiàn)在聚光燈下是因為它們解決了一個懸而未決的著名問題。費馬大定理困擾了人們?nèi)俣嗄辏钡桨驳卖敗褷査?993年用他的證明震驚世界。四色問題在1852年被提出，但到1976年才被肯尼思·阿佩爾和沃爾夫?qū)す献C明。大名鼎鼎的龐加萊猜想于1904年被提出，是克萊數(shù)學(xué)研究所的千禧年大獎難題之一——那七個問題是如此重要，以至于任何能解決其中之一的數(shù)學(xué)家都將獲得一百萬美元。格里沙·佩雷爾曼在2002年給出了一個龐加萊猜想的證明，因此他可能會被授予這筆獎金。除此之外，還有一些數(shù)學(xué)事實是由于它們的跨學(xué)科魅力（例如自然界中的斐波那契數(shù)列）或歷史重要性（例如素數(shù)有無窮多個，π是無理數(shù)）而被人們所熟知的。

歐拉公式也應(yīng)該像上述數(shù)學(xué)成果一樣聲名遠(yuǎn)揚。它有繽紛多彩的歷史，它的相關(guān)理論也凝聚了眾多世界上最偉大的數(shù)學(xué)家的貢獻(xiàn)。它是一個深刻的定理。一個人的數(shù)學(xué)素養(yǎng)越高，他就越能領(lǐng)略到歐拉公式的深刻之處。

這是歐拉的美麗定理的故事。我們將追溯它的歷史，展示它是如何在古希臘人的多面體和現(xiàn)代的拓?fù)鋵W(xué)之間架起一座橋梁的。我們會羅列它在幾何學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)和動力系統(tǒng)中的許多驚人而有欺騙性的形式。我們也會給出一些需要用歐拉公式來證明的定理。我們將會明白，這個長期不被關(guān)注的公式為何能成為數(shù)學(xué)中最受喜愛的定理之一。