序

數學家就是一臺把咖啡轉化為定理的機器。

——奧爾弗雷德·雷尼（保羅·埃爾德什多次引用）

大四那年春天，我跟一個熟人說我即將從秋天開始攻讀數學博士學位。他問我：“你在研究生階段要干什么呢？研究非常大的數？還是計算出圓周率的小數點后更多位？”

這段親身經歷告訴我，一般大眾對于數學是什么知之甚少，對于數學家所研究的內容也沒什么概念。他們為新的數學還在被創造而震驚。他們認為數學只是數的科學，或者是一系列以微積分為盡頭的課程。

然而，我其實從未沉迷于數本身。心算不是我的強項。我可以不用計算器就算出每個人該分攤多少晚餐錢或者該付多少小費，但是花的時間和其他人一樣長。微積分也是我最不喜歡的大學數學課。

我享受尋找模式——越可視的越好——和拆解錯綜復雜的邏輯論證的過程。我辦公室的書架上擺滿了解謎類和腦筋急轉彎類的書籍，書頁的邊緣有很多我童年時用鉛筆做的記號。這些題目包括移動三根火柴棍來構造另一種形式，在滿足某些規則的條件下找到一條網格通道，切開某個圖形把它重新拼成正方形，在某張圖中添加三條線從而把它分成九個三角形，以及其他類似的智力題。對我來說，這就是數學。

正因為喜歡空間的、可視的和邏輯的謎題，我總是被幾何學吸引。但在大四時，我發現了拓撲學這個迷人的領域。它通常被理解為對非剛性形狀的研究。它把優美的抽象理論和具體的空間變換結合在一起，完美契合了我的數學偏好。拓撲學寬松而靈活的觀念讓人感覺舒適。相比之下，幾何學就顯得有些刻板和保守了。如果說幾何學是西裝革履，那么拓撲學就是牛仔褲配T恤衫。

這本書既講拓撲學的歷史，又是拓撲學的贊歌。故事從拓撲學的萌芽時期開始——古希臘人的幾何學、文藝復興時期的數學家和他們對多面體的研究。隨后，它講到了十八、十九世紀的學者們對形狀的仔細思考，以及他們是如何對那些不滿足幾何學的剛性限制的形狀進行分類的。最后，故事結束于二十世紀早期發展起來的現代拓撲學。

學生時代，我們是從課本中學習數學的。課本所呈現的數學嚴密而有邏輯：定義、定理、證明、例子。但數學并不是這樣被發現的。人們要經歷許多年才能充分理解一個數學主題，然后寫出一本結構緊湊的教材。縱觀數學被創造的過程，有緩慢的小進展，有大飛躍，有錯誤，有改正，也有不同領域間建立起的聯系。本書便展示了激動人心的數學發現過程——眾多聰明的頭腦思考、懷疑、提煉、推動，并且改變了前人的成果。

我沒有直接簡述拓撲學的歷史，而是選擇用歐拉多面體公式（簡稱歐拉公式）來當導游。1750年，歐拉公式被發現，標志著幾何學開始向拓撲學轉型。本書將以歐拉公式為線索，看它是怎樣從一個新奇的結果“進化”為一個深刻而實用的定理的。

歐拉公式是一個理想的導游，因為它能帶你游覽那些一般人無法進入的奇妙場所。追隨歐拉公式的腳步，我們可以看見數學中最有趣的一些領域——幾何學、組合數學、圖論、紐結理論、微分幾何、動力系統和拓撲學。這些美妙的主題是一名典型的學生——甚至數學專業的本科生——未必會接觸到的東西。

在這趟旅程中，我也能愉快地向讀者介紹一些歷史上最偉大的數學家：畢達哥拉斯、歐幾里得、開普勒、笛卡兒、歐拉、柯西、高斯、黎曼、龐加萊和其他很多人——他們都對拓撲學乃至整個數學做出了重要貢獻。

閱讀本書不需要什么正式的預備知識，一名學生能在一般的高中數學課里學到的東西——代數學、三角學、幾何學——就夠了，但其實它們大都跟書中討論的內容無關。本書在理論上是自給自足的，但在少數情況下需要用到高中數學知識，講到時我會提醒讀者。

不過，可別被我的話給誤導了——書中提到的有些想法是相當復雜的，既抽象又難以可視化。讀者必須樂于仔細閱讀邏輯論證，并調動抽象思維。讀數學書和讀小說不同，讀者應該準備好時不時地停下來，思索每一句話，重讀證明過程，努力想出其他例子，認真查看文本間的插圖，尋找整體框架。

當然，本書的結尾沒有作業和期末考試題。跳過困難的部分沒什么好感到羞恥的。如果某個麻煩的證明太難以理解，翻看下一個話題就好。這并不會使本書的剩余部分變得無法閱讀。讀者也許想要把疑難頁的頁角折起來，以便日后回顧，這也是可行的。

我認為，本書的讀者自主地選擇了這本書。任何一個想閱讀它的人都應該能讀到它。它的受眾不是所有人，因為那些不能理解和欣賞數學之美的人根本就不會拿起它。

我的寶貴優勢在于，我不是在寫一本教材。我竭盡全力用誠實而嚴密的方式講解數學，但我也省略了一些惱人的細節，因為它們給人帶來的困惑比它們所闡釋的東西要多得多。通過這種方式，我就可以在維持理論高度的同時更著墨于思想、直覺和整體框架。對于本書中很多迷人的數學思想，我不得不只粗淺地談及。但任何一個對缺失的細節感興趣的讀者都可以去查詢附錄B中的推薦閱讀材料。

盡管這本書的讀者范圍很廣，但本書也是為數學家而寫的。它的部分內容和其他書有重合，但那些書中沒有哪一本能完全涵蓋本書的內容。本書的末尾列出了很多結果的原始出處。它應該可以幫助學者們更深入地挖掘相關主題。

本書的結構如下。第二章到第六章講述了歐拉之前的時代看待多面體的方式。這幾章的重點是一類最著名的多面體，也就是正多面體。第七章、第九章、第十章、第十二章和第十五章介紹了歐拉公式及其在其他剛性多面形狀上的推廣形式。這段討論會一直把我們帶到十九世紀中期。第十六章、第十七章、第二十二章和第二十三章重點介紹了人們從十九世紀末起是怎樣從拓撲學角度理解歐拉公式的。這些章會探討曲面和更高維的拓撲對象。

本書也涉及歐拉公式的多種應用。第八章談到了歐拉公式的一些簡單應用。第十一章、第十三章和第十四章的重點是圖論。第十八章到第二十一章主要講述曲面、曲面和歐拉公式的關系，以及它們在紐結理論、動力系統和幾何學方面的應用。

我希望讀者們能享受閱讀本書的過程，就像我享受寫作的過程一樣。它對我來說是一個巨大的解謎游戲——一個學術版的尋寶游戲。找到散落的碎片，再把它們拼成一個統一的故事，這在我眼中既是挑戰也是樂趣。我熱愛我的工作。

大衛·里奇森

迪金森學院

2007年7月6日