序（普林斯頓科學文庫版）

“要么我瘋了，要么這里就是地獄。”

“都不是，”球體平靜地回答，“這是知識，這是三維空間：再次睜開你的眼睛，試著仔細看看吧。”

于是我又看了看。瞧，一個新世界！

——埃德溫·阿博特，《平面國》，1884年

在我小時候，孩子們的普遍共識是世界上有一批擅長數學的人和一批擅長寫作的人——這兩個群體不但沒有交集，而且彼此間橫亙著巨大的鴻溝。我數學學得不錯，也樂在其中；因此，我的寫作水平欠佳——我就是這么告訴自己的。雖然我在寫作課上表現不俗，但這個信念還是伴隨了我許多年。

后來，當我成為研究生并開始寫關于數學的內容時，我意識到我其實善于寫作，而且——咝！——也喜歡寫作。我把雜亂無章的事實用符合邏輯的方式組織起來，從細節中提取出整體框架，并把它們用既合理又便于理解的文字呈現給讀者。這為我帶來了巨大的快樂。而且我發現，仔細檢查我寫的東西，重讀它并使它變得更簡練，也會讓我生出滿足感。

在研究生階段，我多次因萊昂哈德·歐拉的多面體公式和歐拉示性數而感到驚訝。V-E+F這個表達式似乎無處不在。它既是基礎的，又是深奧的；既富理論趣味，又有實際用途。它成了一直陪伴我的朋友。我意識到，由于這顆寶石常常出現在數學的前沿領域，不僅一般人，甚至很多數學專業的學生都對它感到陌生。于是我想到，應該有一本關于歐拉公式的書，而我就該是那個寫書的人。之前我從未產生過寫書的想法——這件事不在我的人生計劃清單上，但我突然就興奮了起來。我開始發動一場頭腦風暴——羅列所有我知道的跟歐拉多面體公式（簡稱歐拉公式）相關的話題。我也去學校圖書館翻遍了每一本記載著這個公式的雜志和圖書。

很快我就發現，有趣的不僅是這部分數學知識，還有它背后的歷史。歐拉做了什么呢？為什么這個公式有時和笛卡兒或龐加萊的名字聯系在一起？為什么古希臘人沒有發現這個公式？它是如何從一個幾何學定理轉化成一個拓撲學定理的？有哪些有趣的人物為它的發展做出過貢獻？我雖然讀過一些關于數學史的書，但沒有受過這方面的專業訓練。因此，我一頭扎進了文獻的海洋中。讀得越多，我對這個領域的喜愛就越深。我甚至還在我的大學里設計并教授了幾門數學史課程。

我面臨的奇怪挑戰之一就是確定歐拉對這個公式的貢獻到底是什么。我只能找到其他數學家對歐拉公式的證明，外加一些模糊的敘述，說歐拉本人的證明是有瑕疵的。歐拉寫文章時用的是拉丁文，所以我找到了我在迪金森學院的同事兼朋友——古典學者克里斯·弗蘭切塞——來幫我進行逐句翻譯。于我而言，閱讀歐拉原文的經歷是一種驚喜，也讓我眼界大開。他的證明的確有一個瑕疵，但很容易修正。

這時候，我只是把寫書當作一項副業。我的大部分時間仍然花在教學，以及和我的長期合作者吉姆·懷斯曼一起研究拓撲學和動力系統上。但是，漸漸地，我在寫書上也有了進展。考慮良久之后，我才確定了這本書面向的讀者群體是誰。一開始，我幾乎是以寫教材的方式來寫它的——每一章的結尾甚至有習題。但我一直很喜歡普林斯頓大學出版社所出版的那些數學書。它們針對的是普通大眾，卻沒有削減數學內容。其中很多書的作者也是數學家，而不是那些在專業知識深度方面無法與他們匹敵的新聞記者。所以，我最終決定仿照普林斯頓大學出版社的書目來創作我自己的書。

當然，我的書涵蓋了一些非常前沿的主題——拓撲學、動力系統、微分幾何、圖論等。是什么讓我認為我可以把它寫得能讓一般人讀懂呢？畢竟，在《時間簡史》（1988）的前言中，斯蒂芬·霍金寫道，“有人告訴我，我放進書里的每一個公式都會讓書的銷量減半。”而我的整本書都是關于一個方程的！

最終，我沒有采納那條來自霍金的編輯的建議。我認為展示真正的數學是沒有問題的。我相信自己的判斷，也相信讀者們的水平。我不會居高臨下地和他們說話。我不會僅僅因為那些美妙而有趣的數學知識難以可視化或涉及方程就對它們避而不談。在我看來，一名學生直到本科生或研究生階段才接觸到的數學知識并沒有那么復雜——至少它背后的思想沒那么復雜。我把尋找多種途徑以便讀者理解這些數學知識視作一種挑戰。我花了很多時間來繪制一些可能會對讀者有幫助的圖。我向不同的聽眾群體講解了書中的內容，還把其中的一些段落搬進了我的數學史課程。人們給出的即時反應是不可替代的。你可以清楚地看到，在你解釋完某個東西后，你的聽眾是點頭表示聽懂了還是兩眼茫然地望著你。

但我還是沒有真的指望有人會來讀這本書。多年來，我都在寫那種只有少數同領域的專家才會閱讀的研究性文章，所以當我得知這本書引發的反響時，不禁目瞪口呆——它收到了非常正面的評價；它還獲得了美國數學協會頒發的歐拉圖書獎，并被授予了“一本杰出的數學書”的稱號；它被翻譯成了其他語言；而且最重要的是，人們真的在讀它！我很享受讀者的反饋——不管他們是數學家、學生，還是熱愛數學但沒有從事數學研究的人。寫書的過程如同一種自私的追尋，我只是去調查那些激起我興趣的話題。但這本書的成功說明其他人也對書中的觀點產生了興趣。

事后看來，我本應該料到讀者會喜歡這本書——因為我的題材是絕佳的。人們喜愛拓撲學——橡皮膜幾何學、單側曲面、高維空間等。他們熱愛多面體，也熱愛歐拉公式。而且，近些年來，拓撲學經歷了復興——它是一門“很酷”的學科。2003年，格里戈里·佩雷爾曼證明了龐加萊猜想（也稱龐加萊猜測），即數學中最著名的問題之一。隨后，他拒絕了菲爾茲獎和一百萬美元的克萊數學研究所千禧年大獎。和其他很多數學分支一樣，拓撲學也從一門純學術、純理論的學科變成了一門實用且可計算的學科。如今，很多圖書、雜志和會議都在探討如何將拓撲學應用到各個領域，例如網絡、數據分析、某些問題的定性解、機器人科學、蛋白質折疊和數字成像等。

除此之外，當時也是以歐拉為主題進行寫作的完美時機。我們在2007年慶祝了他的三百周年誕辰，因此人們已經開始談論這位堪比艾薩克·牛頓、卡爾·高斯和阿基米德卻名氣稍遜的天才了。最后，現存的文獻中有一個空白：雖然很多人都寫過與歐拉多面體公式有關的內容，但是沒人寫過這樣一本書——一本將古希臘至今的2500年相關歷史鋪陳開來的書。

對于《歐拉的寶石》為我打開的種種大門，我一直心懷感激。我被邀請就我的書發表演講，遇到了很多有吸引力的人，也收獲了從事新職業的機會。例如，我被選為美國數學協會的大學生雜志《數學地平線》——一本源源不斷地把有趣的數學和引人入勝的數學家故事輸送給大眾的雜志——的編輯。這可謂是我對數學的愛和說理寫作之間的一段美好姻緣。

我想感謝我在普林斯頓大學出版社的編輯薇姬·卡恩，她始終相信我和我的計劃。當一位讀者在報告里直言不諱地指出我的書應該以1750年歐拉的證明來收尾，并且應該刪掉所有的拓撲學內容時，她對我十分體貼。討論了這條批評后，我們意識到問題出在期望上：我應該在一開始就更好地讓讀者了解這本書的主題。這需要兩個小的改動——加上一個副標題（從多面體公式到拓撲學的誕生），以及寫一篇介紹全書內容的序。這似乎奏效了——后續的讀者評價里再也沒有出現同樣的批評了。

《歐拉的寶石》與阿爾伯特·愛因斯坦、理查德·費曼、喬治·波利亞、赫爾曼·外爾、斯蒂芬·霍金、羅杰·彭羅斯等杰出科學家和數學家的著作一起入選了“普林斯頓科學文庫”系列書目，這是我莫大的榮幸。我真希望回到過去，對童年的自己說：“別相信那句謊話，一個人是可以同時成為數學家和作家的。”

大衛·里奇森

美國賓夕法尼亞州 卡萊爾

2018年12月