1.4 Lebesgue積分理論

本節將在測度空間（R，M，μ）上建立積分并討論這種積分的性質.首先，我們引入非負簡單函數的Lebesgue積分理論.

定義1.4.1 設E∈M，f為E上的非負簡單函數，即

其中，a_i≥0，，且當i≠j時，E_i∩E_j=?.如果＜∞，則稱f在E上的Lebesgue積分為.如果=∞，則稱f在E上不可積.

例1.4.1 由定義知=0×1+1×0=0，即Dirichlet函數在［0，1］上的Lebesgue積分為0.但由數學分析知，Dirichlet函數在［0，1］上的Riemann（黎曼）積分不存在.

下面介紹一般非負函數的Lebesgue積分理論.

定義1.4.2 設E∈M，f為E上的非負函數，令

如果supY（E，f）＜∞，則稱f在E上的Lebesgue積分為supY（E，f），記為.

如果supY（E，f）=∞，則稱f在E上不可積.

注：如果E=[a，b]，則記為，或.規定

定理1.4.1 設E∈M，f為E上的非負函數，則.

定理1.4.2 設E∈M，f，g為E上的非負函數.

（1）若m（E）=0，則=0；

（2）對任意非負常數α，有；

（3）對任意A，B∈M，若A∩B=?，則；

（4）若f（x）≤g（x）在E上幾乎處處成立，則；

（5）；

（6）若A?B，則；

（7）若m（E）＞0，則=0?f（x）=0（a.e.inE）.

定理1.4.3 設為一列單調遞增的可測集，且，f為E上的非負可積函數，則.

定理1.4.4（Levi定理） 設，f（x）均為可測集E上的非負可測函數，且=f（x）（a.e.inE）.

（1）如果單調遞增，則有；

（2）如果單調遞減，且，則有.

定理1.4.5（Fatou引理） 設為可測集E上的非負可測函數列，則有

定理1.4.6 設為可測集E上的非負可測函數列，則有

最后引入任一可測函數的Lebesgue積分理論.

一般可測函數的Lebesgue積分有多種定義方式，下面介紹幾種常用的定義.

定義1.4.3 設f（x）為可測集E上的可測函數，如果與均為有限數，則稱f（x）在E上可積，且.

為了給出等價定義，下面引入大和、小和的概念.

對E的任一劃分，令S（T，f）=，其中，稱S（T，f）與s（T，f）分別為劃分T對應的大和與小和.與微積分中達布大和與達布小和類似，大和與小和有下列性質：

（1）s（T，f）≤S（T，f）；

（2）對T進行細分時，大和不增，小和不減.

定義1.4.3′ 設f（x）為可測集E上的可測函數，如果，則稱f（x）在E上可積，且.

定義1.4.3″ 設f（x）為可測集E上的有界可測函數，且m≤f（x）≤M，在［m，M］中取一組分點m=l₀<l₁<l₂<…<l_n-1<l_n=M，記該劃分為T.再記

則E_k∈M.對任取的ζ_k∈[l_k-1，l_k]，作和，如果極限存在，且極限與劃分T及ζ_k的取法無關，則稱f（x）在E上可積，且.

記E上Lebesgue可積的函數全體為L1（E）.

一般可測函數的Lebesgue積分有下列性質：

定理1.4.7 設E為可測集.

（1）若μ（E）<∞，則E上任一有界可測函數必可積.

（2）若f（x）∈L1（E），則f（x）必在E上幾乎處處有限.

（3）若f（x）∈L1（E），則∈L1（E），且.

（4）若f（x）=0（a.e.inE），則.

（5）若f（x）∈L1（E），則對任意常數α，有.

（6）若f（x）∈L1（A），f（x）∈L1（B），且A∩B=?，則

（7）若f（x），g（x）∈L1（E），且f（x）≤g（x）在E上幾乎處處成立，則

（8）若f（x），g（x）∈L1（E），則.

（9）若g（x）∈L1（E），f（x）在E上可測，且|f（x）|≤|g（x）|（a.e.inE），則f（x）∈L1（E）.

（10）若f（x）∈L1（E），則.

（11）若f（x），g（x）∈L1（R），且對任意E∈M，均有，則有f（x）≤g（x）（a.e.in R）.特別地，對任意E∈M，均有，則有f（x）=g（x）（a.e.in R）.

（12）設f（x）為R上的非負可測函數，任給E∈M，則對應［0，+∞］上的一個數，令，則ν為M上的一個測度.

定理1.4.8（Lebesgue控制收斂定理） 設為可測集E上的可測函數列，g（x）∈L1（E），且對一切n均有|f_n（x）|≤g（x）（a.e.inE），=f（x）（a.e.inE）.則有f（x）∈L1（E），且.

定理1.4.9 設f（x）為R上的可積函數，g_n（x）=f（x）I_[-n,n]（x），h_n（x）=min{f（x），n}，則

（1）=0.

（2）=0.

定理1.4.10（Lebesgue積分的絕對連續性） 設f（x）為可測集E上的可積函數，則對A∈E，有.

定理1.4.11（Beppo-Levi定理） 設為可測集E上的可測函數列，如果，則和函數在E上幾乎處處收斂，且和函數為可積函數，并有

定理1.4.12（Riemann積分與Lebesgue積分的關系） 設f（x）為［a，b］上的有界函數，則有

（1）f（x）在[a，b]上Riemann可積?f（x）在[a，b]上幾乎處處連續.

（2）f（x）在[a，b]上Riemann可積?f（x）在[a，b]上Lebesgue可積，且