1.3 可測函數的極限理論

本節介紹可測函數的極限理論，包括幾乎處處極限、依測度極限等.

定義1.3.1 某一結論如果在可測集E上除一個零集外處處成立（在零集上可能不成立），則稱該結論在E上幾乎處處成立.

例1.3.1 設

則D（x）在R上幾乎處處為0，記為D（x）=0，a.e.（almost everywhere，幾乎處處）.

例1.3.2 設f_n（x）=xn，x∈［0，1］，則f_n（x）→0（a.e.in［0，1］）.

定理1.3.1 設f（x），g（x）均為可測集E上的函數，f（x）是可測的，且f（x）=g（x）（a.e.inE），則g（x）也是E上的可測函數.

推論1.3.1 設為可測集E上的一列可測函數，且=f（x）（a.e.inE），則f（x）也為E上的可測函數.

定義1.3.2 設E∈M，f為E上的實值函數，如果

其中，，且當i≠j時E_i∩E_j=?，則稱f為E上的簡單函數.

例1.3.3 Dirichlet函數為R上的簡單函數.

例1.3.4 符號函數為R上的簡單函數.

如果f為E上的簡單函數，由知，f為E上的可測函數.

定理1.3.2 設E∈M，f為E上的非負可測函數，則存在單調遞增的簡單函數列，使?x∈E，有=f（x）.

對E上的任意可測函數，由f=f+－f－，其中f+與f－均為E上的非負可測函數知，存在單調遞增的簡單函數列與，使得

結合可測函數的極限仍為可測函數，得到以下推論.

推論1.3.2 設E∈M，f為E上的可測函數的充分必要條件是存在簡單函數列，使?x∈E，有=f（x）.

定義1.3.3 設E為R上的點集（不一定是區間），f為E上的函數，如果x₀∈E，且?ε＞0，?δ＞0，當x∈E，|x-x₀|＜δ時，有|f（x）-f（x₀）|＜ε，則稱f在x₀點連續.

例1.3.5 Dirichlet函數D（x）在R上處處不連續.但D（x）在［0，1］∩Q及［0，1］/Q上均連續，其中，Q表示有理數集.

例1.3.6 設E={x₁，x₂，x₃}，則為E上的連續函數.

定理1.3.3 設E∈M，f為E上的可測函數，則?δ＞0，存在E的閉子集E_δ，使得m（E-E_δ）＜δ，且f在E_δ上連續.

定義1.3.4 設E∈M，f₁（x），f₂（x），…，f_n（x），…為E上幾乎處處有限的可測函數，如果?ε＞0，均有，則稱{f_n（x）}在E上依測度收斂于f（x），記為）.

由定義知，，?η＞0，?自然數N，當n＞N時，有m（{x|x∈E，|f_n（x）-f（x）|≥ε}）＜η.

下一定理描述了幾乎處處收斂與依測度收斂之間的關系.

定理1.3.4 設{f_n（x）}是E上幾乎處處有限的可測函數列，且m（E）<∞.如果{f_n（x）}在E上幾乎處處收斂于可測函數f（x），則{f_n（x）}在E上依測度收斂于f（x）.

值得注意的是此定理的逆命題不成立，即依測度收斂推不出幾乎處處收斂.但有下列結論：

定理1.3.5 （Riesz定理）若{f_n（x）}在E上依測度收斂于可測函數f（x），則必存在子列在E上幾乎處處收斂于f（x）.

測度空間中幾種常用的極限理論概括如下.

定義1.3.5 設E為Rn中的Borel可測集，M（E）表示E上Lebesgue可測函數全體，μ表示Rn上的Lebesgue測度.對{f_n（x）}，f（x）∈M（E），則

（1）如果?ε＞0，?自然數N，當n≥N時，有，則稱{f_n（x）}在E上一致收斂于f（x）；

（2）如果?ε＞0，x∈E，?自然數N，當n≥N時，有＜ε，則稱{f_n（x）}在E上處處收斂于f（x），記為f_n（x）→f（x）（?x∈E）；

（3）如果存在E上的零集F使得

f_n（x）→f（x）（?x∈E/F）

則稱{f_n（x）}在E上幾乎處處收斂于f（x），記為f_n（x）→f（x）（a.e.inE）；

（4）如果?ε＞0，?自然數N，當n＞N時，有

μ（{x∈E||f_n（x）-f（x）|≥δ}）<ε

對任意δ>0均成立，則稱{f_n（x）}在E上依測度μ收斂于f（x），記為

（注意，依測度收斂等價于=0）；

（5）如果?ε＞0，?自然數N，當n＞N時，有

則稱{f_n（x）}依p-方收斂于f（x），記為.

定理1.3.6 設{f_n（x）}，f（x）∈M（E），則

（1）{f_n（x）}在E上一致收斂于f（x）?{f_n（x）}在E上處處收斂于f（x）?{f_n（x）}在E上幾乎處處收斂于f（x）；

（2）當m（E）＜∞時，{f_n（x）}在E上幾乎處處收斂于f（x）?{f_n（x）}在E上依測度收斂于f（x），反之不成立；

（3）{f_n（x）}依p-方收斂于f（x）?{f_n（x）}在E上依測度收斂于f（x），反之不成立；

（4）當m（E）＜∞時，{f_n（x）}在E上一致收斂于f（x）?{f_n（x）}依p-方收斂于f（x），反之不成立.