無輸入問題和巴比倫的零

沒有足夠多的小數字來滿足由它們產生的眾多需求。15

——蓋伊（Richard K. Guy）

這些進展并不是沒有問題。巴比倫的計數系統實際上是一個位值系統和加法計數系統的混合物，因為標記 60 的各個冪的數符仍以加法形式表示。如果 60 的一個階和下一個階之間沒有留下足夠間隔，就會產生模棱兩可的情形。例如，表示 610[ = [10; 10] = (10 × 60) + 10] 的符號容易錯讀成表示 10 + 10 的符號，見圖 1-13。

圖 1-13　表示 610 和 20 的巴比倫形式容易混淆

這通常以明顯地分開 60 的不同階來處置。最終，分隔符的引入使這些間隔變得明確。它由兩個楔形符號組成，其中一個在另一個之上，如圖 1-14 所示。

圖 1-14　巴比倫人首先引入一個分隔符來標記數字表示式中的間隔。它們形如兩個重疊的楔形，傾斜擺放。此例在一塊記錄天文觀測的刻寫板上找到，其日期在公元前 3 世紀末和公元前 2 世紀初之間

如果在一個數位上根本沒有輸入字符，那么解釋起來會更困難。留間隔會顯得更復雜且不易說明。請想象一下，假如我們的計數系統沒有零符號而僅依據小心地留間隔來區別 72（七十二）和 7 2（七百零二）。由于要與不同書寫式樣做斗爭，所以如果人們必須區分 7 2（七千零二）以及 72 和 7 2，便會有許多令人煩惱的問題產生。需要留的間隔越多，判斷就變得越困難。16這便是為什么位置計數系統最終需要創造一個零符號，用位置表示法來表示數中的一個空隙。巴比倫人的商業系統越是復雜，這樣做的迫切性就越大。差不多有 1500 年，巴比倫人在自己的 10 或 60 的不同冪次的記錄中不使用符號表示“沒有輸入”，而只是留下一個間隔。成功的發展需要他們正確體會自己正在處理的天文學和數學問題的數量級，以便能容易地發覺結果與預期答案的大差異。

巴比倫人解決無輸入問題的辦法是使用舊分隔標識符號的一個變種來標記“在某一特定位置上沒有輸入”。這出現在公元前 4 世紀的文字中，但由于缺乏更早的文獻，而某些確實存在的文獻可能是更早原著的復制品，所以這種方法也許再早一個世紀便已存在了。使用巴比倫的零符號的一個典型例子如圖 1-15 所示，其中，數 3612 = 1 × (60 × 60) + (0 × 60) + (1 × 10) + 2。

圖 1-15　使用巴比倫的零符號的一個例子。公元前二三世紀，人們在書寫數 3612=(1×60×60)+(0×60)+(1×10)+2 時使用了零符號

巴比倫天文學家17還在一個字符串的末端大量使用零符號，而且我們找到了把 60 寫成如圖 1-16 所示，以將它與 1 區別開來的一些例子。

圖 1-16　如這里所示，一個天文記錄中數 60 還被用于數字串的末端

我們開始了解巴比倫的零如何以類似于我們的計數方式起作用。猶如位置符號，它一開始被巴比倫數學家用于速記，因此它也被巴比倫天文學家廣泛使用。而且，正是由于巴比倫天文學的極端重要性和持久性，他們的計數系統在許多個世紀以后仍保持了很大的影響力。

這便是巴比倫文明發展的頂點：人類文化中第一個表示零的符號。回想起來，對他們的計數系統來說，這是一個如此直截了當的附加物，因而令人迷惑不解的是，巴比倫人為什么要花費超過 15 個世紀才從一種位置記數法的關鍵一步過渡到具有一個顯式零符號的計數系統？

然而，不應把巴比倫的零與我們的零完全等同起來。對把重疊楔形符號銘刻在黏土制刻寫板上的書寫者來說，這些符號在賬目記載中只不過意味著一個“間隔”而已。沒有一點點涉及巴比倫“無”的意思。他們的零符號從來不作為 6 - 6 之類的算術題的答案。它也從來不用于表示一次什么都沒留下的運算的終點。這樣的終點總是用文字說明。我們也沒有發現巴比倫的零本身同形而上學的“虛無”概念糾纏在一起。數字里完全沒有抽象地夾雜著任何神秘的東西。18他們是非常好的會計。