瑪雅的零

我無話可說，
但又在說無，
而那是詩。19

——約翰·凱奇

位置計數(shù)系統(tǒng)的第三次發(fā)展發(fā)生在存在于約公元 500 年直到 925 年的引人注目的瑪雅文化里。反常的是，盡管瑪雅人在建筑、雕刻、藝術、道路建設、寫作、數(shù)值計算、歷法體系以及預測天文學方面取得了巨大成就，但他們卻從未發(fā)明車輪，從未發(fā)現(xiàn)金屬或玻璃，沒有可測量小于 1 天的時間間隔的鐘，也從未使用過馱載的牲畜。石器時代的經(jīng)驗與非凡的先進算術技術結合在了一起。為什么他們的文化如此突然地終結了？答案至今仍是個謎。遺留下來的只是在現(xiàn)今墨西哥、伯利茲、洪都拉斯和危地馬拉的叢林和草原中被廢棄的城市。人們曾提出過各種各樣的災難，以解釋全體居民的離去，也曾把一切歸咎于瘟疫、內(nèi)戰(zhàn)或地震。一個更為可靠的見解則是由于他們的土壤在持久地精耕細作和過度使用之后所引起的農(nóng)業(yè)資源枯竭。

瑪雅計數(shù)系統(tǒng)建立在以 20 為基數(shù)的基礎之上，且其數(shù)字由點（每一點表示 1）和棒（每條棒表示 5）組合而成。前 19 個數(shù)字用點和線以簡單的加法形式組成，這很可能是從一個更早的手指和腳趾計數(shù)系統(tǒng)派生出來的。20用點（有時為一個小圓）的符號表示 1 的現(xiàn)象在古代中美洲整個地區(qū)都能發(fā)現(xiàn)，而且很可能與當時使用可可豆作為貨幣單位有聯(lián)系。與在巴比倫文化里一樣，日常計算和數(shù)學家、天文學家的較高深計算有區(qū)別（圖 1-17）。

圖 1-17　神職人員和天文學家所使用的瑪雅計數(shù)系統(tǒng)里從 1 到 20 的數(shù)

當書寫大于 20 的數(shù)時，人們就創(chuàng)造了一個由符號組成的塔：其底層表示 1 的倍數(shù)，第二層是 20 的倍數(shù)。然而，第三層并不解釋成 20 × 20 的倍數(shù)。它包含著 360 的倍數(shù)！但此后，這種模式不斷繼續(xù)下去。因此，往上一層記 7200（= 20 × 360），再上一層記 144 000（= 20 × 7200），并且隨后接續(xù)的每一層是前一層的 20 倍。數(shù)字是從上往下讀的。數(shù) 4032[ = (11 × 360) + (3 × 20) + 12] 的寫法如圖 1-18 所示。

圖 1-18　數(shù) 4032 的瑪雅表示法

因此我們看到瑪雅人擁有一個位置或位值系統(tǒng)，而且他們把一個表示零的符號加在其上，以表示數(shù)字塔的某一層無輸入。他們所使用的符號是很奇妙的。它像一枚貝殼，甚至像一只眼睛，以許多稍微不同的形態(tài)出現(xiàn)，而且似乎傳達了填空的想法，反映了它在表示數(shù)字中的審美作用。某些零的形狀如圖 1-19 所示。

圖 1-19　表示瑪雅人的零的各種不同符號形態(tài)。9它們看上去好像蝸牛和海洋生物的殼或人的眼睛

于是數(shù) 400 = (1 × 360) + (2 × 20) + 0 應寫成如圖 1-20 所示。

圖 1-20　400 的瑪雅表示法

瑪雅人不但在數(shù)符串的中間位置使用他們的零符號，而且在最后位置上也使用，正如我們所做的一樣。

瑪雅計數(shù)系統(tǒng)里奇妙的步驟在于第三層以 360 而不是 400 表示，后者本是一個純粹以 20 為基數(shù)的計數(shù)系統(tǒng)的特征。這意味著在一個非常重要的方面，瑪雅人的零符號不同于我們的。要是我們把一個零符號加到任何數(shù)的右端，那么就是把這個數(shù)值乘上了 10——我們的計數(shù)系統(tǒng)的基數(shù)，因此 170 = 17 × 10。要是一個具有任意基數(shù)的計數(shù)系統(tǒng)，其每個級位與前一個級位以基數(shù)的一次冪相關聯(lián)，而無論這個基數(shù)的數(shù)值是多少，那么把一個零加到數(shù)符串，則始終會產(chǎn)生該數(shù)被基數(shù)值相乘的效應。瑪雅計數(shù)系統(tǒng)缺乏這種優(yōu)良特性，因為其數(shù)符塔各層的基數(shù)并不完全相同。它阻礙了瑪雅人充分地利用他們的計數(shù)系統(tǒng)。

瑪雅人之所以沒有引入一個均勻一致的數(shù)符層序列，是由于他們的計數(shù)系統(tǒng)還有別的功能。它有一個特殊作用，即記錄他們精心制定的周期循環(huán)的歷法。他們有 3 種歷法：第一種以 260 天的宗教周期為基礎，叫作卓爾金（tzolkin），它分成 20 個 13 天的周期；第二種歷法是一個 365 天的民用“年”，叫作太陽歷（haab），它分成 18 個 20 天的周期再加上一個 5 天的過渡期；第三種歷法則以 360 天一個周期為基礎，這個周期叫作頓（tun），它分成 18 個 20 天的周期。20 頓等于 1 卡頓（katun，ka 是表示 20 的詞）；20 卡頓等于 1 白克頓（baktun，bak 是表示 20 × 20 的詞）；1 烏納爾（uinal）等于 20 天。21這些周期用特殊的象形文字表示。于是表示一個時間周期的完整圖像便是把表示時間間隔的這些符號與那些表示是它們的多少倍的符號組合在一起。圖 1-21 中的象形文字應從左到右和從上向下讀，它記載了下列時間：9 白克頓、14 卡頓、12 頓、4 烏納爾和 17 金（kin，即天）。

圖 1-21　表示一段時間的瑪雅象形文字。每一個時間單位——白克頓、卡頓、烏納爾和天——用一個特殊的圖像表示，通常是具有明確特征或裝束的頭像。在每個圖像的旁邊是一個數(shù)，由點和棒組成，表明應取多少個這些單位。有時表示的是較小的數(shù)，只需兩點或兩根棒，此時便另加別的裝飾品以使所占空間保持勻稱。在此，從左到右和從上向下讀，我們得到 9 白克頓 14 卡頓 12 頓 4 烏納爾 17 金的表示圖。它總計給出 3892 頓 97 金，即 1 401 217 金（天）

在這些象形文字里，零用許多奇異的圖像表示22，其中一些如圖 1-22 所示。

圖 1-22　在瑪雅的圓柱和雕像上發(fā)現(xiàn)的表示零的各種象形文字

在這一方案里，零符號對記載日期而言并不是必需的。瑪雅的零的新奇性在于，它的引進只是出于審美的原因。假如沒有零的圖像，表示日期的象形文字就會有空白的斑點，因而看上去便不勻稱了。精心制作的零的圖像填充了空隙，從而創(chuàng)造了一種引人注目的表現(xiàn)日期的手法。它強化了所表示的那些數(shù)的宗教意義。