巴比倫：寫在墻上的手跡

當時，忽然出現人的手指，在與燈臺相對的宮墻上寫字。……所寫的文字是，彌尼，彌尼，提客勒，烏法珥新。講解是這樣：彌尼，就是神已經數算你國的年日到此完畢；提客勒，就是你被稱在天平里，顯出你的虧欠；毗勒斯（與烏法珥新同義），就是你的國分裂。10

——《圣經·但以理書》第5章

最早的蘇美爾計數系統也在大約公元前 3000 年使用，它比古埃及人的計數系統復雜，并且似乎是獨立發展起來的。后來蘇美爾人的計數系統為巴比倫人所采用，因此這兩個文明通常被視為同一種文化發展的不同部分。他們的書寫和計數系統首先源自行政管理和經濟上的需求。他們保存了交易、貯藏和工資的各種詳細記錄和賬目，常常會在刻寫板的一面寫下一張詳細的價目表，在反面寫下總數。

早期蘇美爾人的計數系統不完全是十進制的。它有效地使用基數 10 標記數量，但也引入 60 作為第二個基數。11

正是從這個古老的計數系統，我們繼承了 60 秒為 1 分鐘和 60 分鐘為 1 小時的計時方式。把 10 小時 10 分 10 秒用秒數表示出來——這一道換算題展示了如何去闡明一個以 60 為基數的計數系統。我們這樣得到總秒數：(10 × 60 × 60) + (10 × 60) + 10 = 36 000 + 600 + 10 = 36 610。

蘇美爾人有了表示數量 1、60、60 × 60、60 × 60 × 60 等的數字。他們也有了表示 2、3、4、5、6、7、8、9 和 10，以及小于 60 且為 10 的倍數的數字。他們用了一個獨特的字表示 20（與表示 2 和 10 的字無關），可是表示 30 的是一個復合詞，其意為“3 個 10”，表示 40 的復合詞的意思是“2 個 20”，而表示 50 的，其意為“40 加 10”。于是，表示基數 10 和基數 20 的單元被交替使用，以便很容易地從 1 計數到 60。

古埃及人把他們的符號用錘和鑿子雕刻在石頭上，或者用蘆稈畫在莎草紙上，而蘇美爾人的記錄卻是通過在濕黏土制成的刻寫板上做記號保存下來的。石頭在蘇美爾并不常見，紙莎草或木材等其他媒介物則會迅速枯萎或腐爛，倒是黏土容易得到。用形狀像粗細不等的鉛筆的兩種蘆稈或象牙制筆在濕黏土上銘刻，便做成了記錄。它們那圓形、無尖鋒的末端能刻出凹口或圓形，而尖端則能畫出線條。尖端用于書寫，而鈍端用于表現數字。這些原始的符號如圖 1-5 所示，被稱為曲線符號。

圖 1-5　黏土制刻寫板上所刻的表示蘇美爾數字的各種形狀，令人印象深刻

數字符號12通常出現在被計數的事物的圖像上方，這是一個在古埃及不存在的新特點。表示 600 的符號是把表示 60 的大凹口與表示 10 的小圓結合起來。同樣，表示 36 000 的符號是把表示 3600 的大圓與表示 10 的小圓結合起來。這種節省的方案創造了一個乘法記號。要記住的符號更少，而且表示大數的符號具有一種內部邏輯，所以人們能用較小的數生成較大的數而不需要發明新符號。然而，要注意的是：每次想要讀一個大數時，都必須做一點兒心算。這個系統是“加”性的，當符號被刻寫在黏土制的刻寫板上時，它們的位置沒有意義。猶如在古埃及的情形一樣，類似的符號聚集在一起只是為了保持體例和易于計算而已。早期的體例是把符號成對聚集。例如，十進制數 4980 被分解為：

于是它應寫為圖 1-6 所示，因為刻寫板是從右到左和從上向下讀的。

圖 1-6　公元前 2700 年以前早期蘇美爾人對數 4980 的表示

這個計數系統所具有的一個冗長乏味的特點是，為了表示不恰好是 60 的倍數的大數，必須使用大量的符號。為了克服這個問題，書寫者通過引入一個起著如今的減號作用的“翼形”符號，發展了一個速記的減法符號，于是他們可用 3 個符號把 59 這樣的一個數寫為 60 - 1（圖 1-73），以取代用別的方法原本所需要的 14 個符號。13

3 此圖有誤，左邊的符號代表 10，應為代表 1 的小凹口符號。

圖 1-7　數 59 寫成 60 減 1

到了公元前 2600 年，在蘇美爾，數字符號的書寫方面發生了重大變化。這是因為出現了新技術——新的書寫工具。人們引入了一種楔形尖筆，它能畫出較窄的線條和不同大小的楔形。這些被稱為“楔形”14（cuneiform）符號，它只使用了兩個記號：一個垂直的楔表示 1，一個 V 形記號表示 10（圖 1-8）。

圖 1-8　用書寫者的尖筆兩端所刻寫的表示 1 和 10 兩個數的楔形筆跡

符號的聯合又一次可用于由較小的數逐步建立大數。當表示 60 和 10 的兩個符號靠在一起時，它們表示兩個數值的乘積（600）；而當它們分開時，它們表示相加（70）。然而，必須小心，以保證這樣的符號毗連不會引起混淆。由于每個記號是很不同的，所以蘇美爾人的符號組合法避免了這個問題。

另一個問題是，表示 1 和表示 60 的兩個符號之間的區別。它們的形狀是完全相同的楔形，起先只是簡單地把表示 60 的楔形刻寫得大一些以區別它們，后來則把表示 60 的楔形同表示小于 9 的數的那些楔形寫得分開一些。數 63 的寫法如圖 1-9 所示。

圖 1-9　書寫數 63 的兩種方法：(a) 用一個較大的符號表示 60，用較小的符號表示 3；(b) 在表示 60 的符號和表示 3 的符號之間留下間隔

在古代的世界各處可發現許多其他的計數系統，它們使用與這些一樣的一般原理。阿茲特克人4（公元 1200 年）曾有一個以 20 為基數的加法計數系統，它具有表示 1、20、400（= 20 × 20）以及 8000（= 20 × 20 × 20）的符號。希臘人（公元前 500 年）則使用一個以 10 為基數的計數系統，它具有表示 1、10、100、1000、10000 的不同符號，還有另外一個表示 5 的符號，用來對它們作補充，他們把這個符號加到其他的符號上，生成表示 50、500、5000 等的新符號（圖 1-10）。

4 墨西哥的原始居民。

圖 1-10　希臘數字，最初出現在公元前 500 年前后，使用符號的組合來生成大數。作為一個例子，我們寫出了數 6668

如果想要做涉及乘法或除法的計算，那么所有這些數字書寫系統用起來都是麻煩和費力的。符號并不能為你做任何工作，它完全就像數字的速記。下一步的改進在于引入一個位置或位值系統（positional or place value system），在該系統中符號的位置確定了它們的數值，而這一步最終引發了創造一個零符號的需求。人們這下只需使用更少的符號，因為相同符號在不同的位置或在不同的上下文里使用時，能具有不同的含義。

一個位置計數系統首先出現在公元前 2000 年前后的巴比倫。它只不過在楔形符號和以 60 為基數的舊加法計數系統的基礎上，擴充了位置信息。由于舊系統使讀者能更容易地看出數字的相對大小，所以這個位置計數系統更多地被數學家和天文學家使用，而不是用于日常的記賬。許多書寫者因此必須對這兩種系統都加以練習。然而，新系統用于記載王室的法令，所以它必然要被巴比倫的廣大民眾所理解。這樣，例如 10 292，在我們的符號中應表示為 [2; 51; 32]，即 (2 × 60 × 60) + (51 × 60) + 32，以楔形符號書寫時，如圖 1-11 所示。

圖 1-11　以楔形符號書寫的數 10 292

這正如我們把數 123 表示為 (1 × 10 × 10) + (2 × 10) + 3，按照我們的記數符號讀出的便是這些表示基值的數乘以各自的 10 的冪所得的數。我們在量度時間上仍沿用巴比倫計數系統，7 小時 5 分 6 秒就是 (7 × 60 × 60) + (5 × 60) + 6 = 25 506 秒。

最早的像我們現在所用的十進制位置計數系統直到公元前 200 年前后才出現，當時中國人在其以 10 為基數的數符系統里引入了位值系統。他們的棒狀數字符號5及位置符號的一個例子如圖 1-12 所示。

5 在中國被稱為“算籌”。

圖 1-12　(a) 為中國的棒狀數字符號。它們是竹制或骨制的計算棒。當這些符號用于十位或千位時，它們被旋轉了，即如 (b) 所示，因此數 6666 便如 (c) 所示