1.3.5 Kalman濾波衍生算法

Kalman最初提出的濾波基本理論只適用于線性系統，并且要求觀測方程也必須是線性的。在此后的多年間，Bucy 等人致力于研究 Kalman 濾波理論在非線性系統和非線性觀測下的擴展Kalman濾波（Extended Kalman Filter，EKF），擴展了Kalman濾波的適用范圍。擴展Kalman濾波是一種應用廣泛的非線性系統濾波方法。這種濾波的思想是將非線性系統一階線性化后，利用標準Kalman濾波解決問題，存在的問題是線性化過程會帶來近似誤差。

1999年，S.Julier提出無跡Kalman濾波（Unscented Kalman Filter，UKF），中文釋義還有無損Kalman濾波或去芳香Kalman濾波。它是以UT變換為基礎，采用Kalman線性濾波的框架，摒棄了對非線性函數進行線性化的傳統做法。對于一步預測方程，使用UT變換來處理均值和協方差的非線性傳遞，就成為UKF算法。UKF無須像EKF那樣要計算Jacobian矩陣，無須忽略高階項，因而計算精度較高。

Kalman濾波雖然應用范圍廣泛，設計方法也簡單易行，但必須在計算機上執行。隨著微型計算機的普及應用，人們對Kalman濾波的數值穩定性、計算效率、實用性和有效性的要求越來越高。由于計算機的字長有限，計算中的舍入誤差和截斷誤差累積、傳遞會造成誤差方差陣失去對稱正定性，造成數值不穩定。在Kalman濾波理論的發展過程中，為改善Kalman濾波算法的數值穩定性并提高計算效率，人們提出平方根濾波、UD分解濾波等一系列數值魯棒的濾波算法。

傳統的 Kalman 濾波是建立在模型精確和隨機干擾信號統計特性已知基礎上的。對于一個實際系統，往往存在模型不確定性或干擾信號統計特性不完全已知等因素。這些不確定因素使得傳統的Kalman濾波算法失去最優性，估計精度大大降低，嚴重時會引起濾波發散。近些年，人們將魯棒控制的思想引入濾波中，形成了魯棒濾波理論，比較有代表性的是H_∞濾波。

信息融合和神經網絡也有其他的許多優點，與Kalman濾波的結合在控制和估計領域內也同樣是一個重要的發展方向。

以上介紹了Kalman濾波的發展過程，相信隨著科技的不斷發展進步，其理論將不斷完善，應用領域也將更加廣泛。