1.3.4 Kalman濾波

經典的維納濾波算法在當時的防空火力控制、電子工程等領域獲得較為廣泛的應用。它是線性最小方差濾波方法，對于平穩序列與過程的譜密度導出了線性最優預測和濾波的明顯表達式，從而能對含有噪聲的信息進行濾波。Wiener 濾波和柯爾莫哥洛夫濾波方法開創了一個應用統計估計方法研究隨機控制問題的新領域。但是Wiener濾波采用頻域設計法，維納方程計算量過大，解析求解困難，整批數據處理要求存儲空間大，造成適用范圍極其有限，僅適用于一維平穩隨機過程的信號濾波，在非平穩過程和多維系統的應用場合，濾波計算受到很大限制。

Wiener 濾波的缺陷促使人們尋求在時域內直接設計最優濾波器的新方法。經過20多年的不懈努力，終于在19世紀60年代由匈牙利裔美國數學家魯道夫·卡爾曼（Rudolf Emil Kalman，1930—2016年，見圖1.3）提出最具有代表性的成果，后來被稱為Kalman濾波（Kalman Filtering，KF）。提起Kalman濾波，不得不提Kalman在美國宇航局NASA的項目經驗。Kalman在NASA埃姆斯研究中心訪問時，發現斯密特的方法對于解決阿波羅計劃的軌道預測很有用，后來他將該方法用在阿波羅飛船的導航計算機上。這些歷史成績源自Kalman當初乘火車從普林斯頓大學返回 Baltimore 途中的一個突發奇想：為什么不把狀態變量的概念應用到Wiener-Kolmogorov濾波問題中呢？下面就是兩步重要的過程，標志著一項偉大實踐的開始。

圖1.3 Rudolf Emil Kalman，匈牙利裔美國電氣工程師、數學家、發明家（資料來自維基百科）

（1）Wiener-Kolmogorov 模型采用頻域 PSD 來表征動態過程的動態和統計特性。最優Wiener-Kolmogorov估計子是可以從PSD中導出來的，而PSD可以利用測量系統的輸出估計出來。這要求假設動態系統過程模型是時不變的。

（2）控制論的學者采用線性微分方程作為動態系統的模型，導致發展混合模型的出現。其中動態系統起到由白噪聲作為激勵的“成型濾波器”的作用。線性微分方程的系數決定輸出PSD的形狀，PSD的形狀定義Wiener-Kolmogorov估計子。這種方法允許動態系統模型是時變的。這些線性微分方程的模型可以通過所謂的狀態空間表示為一階微分方程組。

順著以上兩個發展歷程，下一步是根據時變狀態空間模型得到等效的估計方法。這正是 Kalman 所完成的工作。在此期間的另一個成就就是 Kalman 和布西（R.S.Bucy）證明，即使動態系統不穩定，Raccati方程也具有穩定的（穩態）解，只要該系統是可觀測、可控的。加上有限維的假設，Kalman 推導出了 Wiener-Kolmogorov濾波器（即現在所謂的Kalman濾波）。在引入狀態空間的理論以后，推導過程中所需要的數學基礎就變得簡單多了，其證明所用的數學知識也在許多本科生的數學知識范圍內。

1960 年，Kalman 提出了離散系統 Kalman 濾波。1961 年，他又與布西（R.S.Bucy）合作，把這一濾波方法推廣到連續時間系統中，從而形成 Kalman 濾波設計理論。這種濾波方法采用與Wiener濾波相同的估計準則。二者的基本原理是一致的。但是，Kalman濾波是一種時域濾波方法，采用狀態空間方法描述系統，算法采用遞推形式，數據存儲量小，不僅可以處理平穩隨機過程，也可以處理多維和非平穩隨機過程。

正是由于Kalman濾波具有以上其他濾波方法所不具備的優點，因此Kalman濾波理論一經提出即被立即應用到工程實際當中。Kalman濾波是動態過程模型和相關最優估計方法發展的巔峰，已被廣泛應用。例如，阿波羅登月計劃和C-5A飛機導航系統，就是Kalman濾波早期應用中最成功的實例。隨著電子計算機的迅速發展和廣泛應用，Kalman濾波在工程實踐中特別是在航天空間技術中迅速得到應用。目前Kalman濾波理論作為一種最重要的最優估計理論被廣泛應用于各領域，如慣性導航、制導系統、全球定位系統、目標跟蹤系統、通信與信號處理、金融等。