四、無窮思想在伊斯蘭世界的發展

和數學的其他分支一樣，羅馬帝國興起后，西方數學的重心就從希臘化世界逐漸轉移到西亞了。相隔幾百年后，在古希臘先賢們留下的宏偉遺跡上，無窮觀念在伊斯蘭世界的數學研究中大放異彩。其中影響最為深遠的古希臘遺產是歐幾里德《幾何原本》的第10卷，該卷記載了由歐多克索斯嚴密化的窮竭法原則。此外，阿基米德的兩種著作《圓的測量》和《論球與圓柱》也于9世紀被翻譯成阿拉伯語（其他著作則很可能不為伊斯蘭學者所知）。這些著述成為隨后幾百年里伊斯蘭世界無窮小思想的基礎。

伊斯蘭數學中的無窮小思想主要是由活躍于公元9世紀，生活在巴格達的穆薩（Banū Mūsā）兄弟及其后學發展起來的。他們的著作《論平面和立體的量度》（Kitāb ma?rifat masāh?at al-ashkāl）不僅開辟了阿拉伯學者研究面積和體積的道路，還是12世紀阿拉伯數學的拉丁化進程所依據的基本典籍之一。該書分為三部分，第一部分涉及圓的量度，第二部分是球，第三部分則試圖解決經典的三等分角問題，其所涉問題基本沒有超出古希臘學者感興趣的范疇，但在方法上做出了一些改進。比如在求圓周率時，穆薩兄弟把幾何上的計算圓內接和外切正n邊形邊長轉換為三角函數問題，即把，轉換為nsin（π/n）<π<ntan（π/n），由于三角函數值可以通過很多已有公式進行計算，因此這比阿基米德的方法更為便捷。(47)

與穆薩兄弟同時代的塔比·伊本·庫拉（Thābit Ibn Qurra）也對無窮觀念的發展做出了巨大貢獻。他在此領域的主要貢獻是三篇論文，分別闡述求拋物線分段面積、求拋物形體體積和求圓柱截面面積的方法。在第一篇論文里，庫拉提出“拋物線是無限的，但其任何一部分都等于與其底和高相同的平行四邊形面積的2/3”，其證明過程實際復活并推廣了阿基米德的積分方法，并用它來計算幾何級數之和。到這時阿拉伯數學對積分算法已有相當程度的發展。(48)

塔比的探索啟迪了一大批伊斯蘭數學家。其最杰出的后學當屬海什木（Ibn al-Haytham，拉丁名為Alhazen），他在無窮小方面寫有12篇論文（現存7篇）。其中前3篇主要討論半月形和圓形的積分問題，這是對前述古希臘數學家希波克拉底對弓形面積研究的發展。海什木指出，半月形面積與扇形或三角形不同面積的積分有關。他還運用積分方法計算球體面積，并推廣了《幾何原本》中的定理。此外，在一篇論文中，海什木對源于古希臘的等周問題（及進一步的等表面積問題），即求一已知長度的曲線所圍成的最大面積發表了看法。憑借直覺，容易猜測答案是圓（類似的等表面積問題答案應為球），但要作出嚴格證明卻頗有難度。在海什木之前，呼羅珊人哈津（Al-Khāzin）已在這一問題上做了很好的工作，但海什木對之前學者的證明都不滿意。他論證了圓是一切周長相等的正多邊形面積的極限，而球也應當是一切內接正多面體體積的極限。盡管對后一問題的證明海什木并未最終完成，但他的失敗仍是富有啟發性的，這被認為是中世紀阿拉伯數學的最重要的成就之一。(49)

最后，對于圓周率，伊斯蘭學者主要還是繼承了阿基米德的算法。12世紀活動于西班牙的猶太數學家邁蒙尼德（Maimonides）指出，圓周率也是無理數。(50)14世紀服務于中亞兀魯伯天文臺的卡西（Al-Kāshī）計算了圓內接和外切6×227邊形時圓周率的近似值為3.14159265358979325，即精確到小數點后17位，這是古代世界里對圓周率計算最精確的值。(51)