0　概述

數學的實用目的便是測量。最古老的例證之一是三角測量，還有一個便是微分方程。后者是干什么的？其實它所做的不過是一系列三角測量的總和。因此，認識三角測量，便能認識微分方程，即所謂溫故知新。不過，兩者的復雜性稍有區別：前者只做一次測量，后者要做一系列測量。

微分方程被牛頓、萊布尼茨兩人（圖0.1）創造以來，就被許多科學家所繼承使用，甚至每一門學科都對應著一個微分方程。

圖0.1

例如，電磁學對應麥克斯韋方程，量子力學對應薛定諤方程，即使人口理論也對應馬爾薩斯方程。

2002 年暑期，西方幾位專家來華訪問和演講，不約而同的是，他們的講題要么是電磁波中的微分方程，要么是量子力學中的微分方程。這是為什么？他們回答：無論是手機制造公司，還是納米研究公司，都要他們解出這些微分方程。

微分方程對大眾的生活也有切身的影響，比如手機或納米，相關研究中都有微分方程的身影。

一些關系國計民生的大事，例如人口的預測，可以由微分方程在幾分鐘內解決。即使人文科學，例如托爾斯泰的小說《戰爭與和平》中，對歷史觀的闡釋也體現了微積的思想 1。可以說，自然科學、工程技術、社會科學、人文科學，都用得上微積分或微分方程。

1只有采取無限小的觀察單位——歷史的微分，并且運用積分的方法（得到這些無限小的總和，或微分的積分），我們才有希望了解歷史的規律。

中學只講代數方程和三角函數，那么什么是微分方程呢？雖然大學都講了，但一般公眾對微分方程多是一知半解，覺得它“深不見底”。直到有一天，當我聽到關于“如何測量樹高”的議論時，才恍然大悟，對微分方程的一種新理解也隨之浮出水面。下面就請讀者和我共同體驗這個領悟的過程（圖0.2）。

圖0.2

牛頓、萊布尼茨或巴羅的微積分早已寫在了教科書中，但寫的不等于想的，他們怎么想只有他們自己知道，后人只能憑自己的經歷談心得。

—天，我在一棵老樹下散步，聽到了下面的議論。

導游：這棵老樹年年都在長高，每年都有測繪人員來測樹高。

游客：一棵樹怎么測高呀？要砍倒樹或爬上去嗎？

我想：中學生都知道，如果有了三角學，便無須砍樹或爬樹，可只憑一個虛擬斜邊的斜率來測量樹高呀（圖0.3）！

圖0.3

但同時我也頓悟：這也是一個微分方程所要做的事情。

事實上，如果我們面臨一座山，它也對應一個“直角三角形”，不過它有著彎曲的斜邊，或者說是山坡（圖0.4）。

圖0.4

我們處在山坡上的一點，因為視野受限，看不見遠方。

這時，它的斜率不再是固定不變的。如果假設每個點的斜率（這只涉及彎曲山坡在這一點附近的局部性質）都是已知的，那么這里也會出現同樣的測量問題：測量山高能不能不必穿山，而只憑這些斜率呢？

這屬于曲斜邊三角學（因為基于曲斜邊三角形），實際上是解一個最簡單的微分方程 2：已知山坡上各點的斜率（或斜率曲線），求山高（或高度曲線，圖0.5）。

2最簡單的最重要，它標志著新數學的誕生。

圖0.5

斜率曲線與高度曲線合二圖為一圖（由于斜率在三角測量中是最重要的量，將它一一記錄下來，便成為斜率曲線）。

圖0.6

令圖0.6 的左圖收縮成一段，在一段曲線上，各點的斜率差不多相同。若將起點斜率作為這一段的斜率，然后用它來測量，給出這一段的高度增量 ≈ 起點斜率 × 底長 ≈ 縮短后斜率曲線所圍面積。各段測量的總和便是

總山高 = 斜率曲線所圍面積。

這就是牛頓 - 萊布尼茨公式。

所以將微分方程比作曲斜邊三角測量，其復雜性便可跟初等三角測量相比較：它們都是三角測量，只是測量的次數有所不同。

這個微分方程雖然簡單（有時稱之為最簡單的微分方程），但極其有用。例如，測量一些曲邊形的面積，只要解一個微分方程，花幾分鐘。否則，如果沒有微分方程或牛頓 - 萊布尼茨公式，就需要做無數個算術，怎么也算不完，效率有天壤之別。這就是發明微分方程的必要性。

簡言之，樹高的測量導致三角學的出現，山高的測量導致一個微分方程的出現?？梢?，現實（測量）會推動數學由初等進化到高等。

現實中類似的例子很多，例如 2000 年我國的人口普查，發動全民挨家挨戶地直接數，花了一年多數出 12.66 億。用微分方程來計算預測值，一個大學生只花幾分鐘，算出的是 13.45 億，相差不多。這就是證明發明微分方程的必要性的實際例子（圖0.7）。

圖0.7

數學就是這樣，另辟途徑，（例如利用斜率或增長率）獲取效率。

大學生解微分方程（）計算人口普查的預測值。

現在，我們可以向公眾解答微分方程的所作所為，它本由中學三角測量開發出來，但已不限于測量樹高，且能測量許多曲邊形的面積、算出人口預測值，等等。處理這些問題均無須直接做無數個算術，用微分方程花幾分鐘就可以算出。所以要想有效率，就要學微積分或微分方程。

本書分為兩部分，第一部分為看圖識字，第二部分為看圖求證。

本書的素材取自參考文獻[9] 和參考文獻[10]。