5.3　弦世界片的整體情況

在關(guān)于玻色弦的所有討論中，我們使用了這樣一個事實：綜合運用再參量化不變性和外爾不變性，能夠?qū)⑹澜缙纫?guī)局域地放進(jìn)預(yù)定的格式。實際上，世界片度規(guī)的再參量化依賴于兩個任意函數(shù)，以及世界片度規(guī)的外爾尺度，它們合起來足以衡量世界片度規(guī)的3個獨立分量。至此，足以對自由度進(jìn)行簡單計算，但是還不足以整體理解弦世界片所扮演的重要角色。

我們專注于有閉合弦的情況。關(guān)于閉合、定向弦理論的世界片圖如圖5.2所示。樹圖對應(yīng)于沒有手柄的世界片，邏輯上是一個普通的球，如圖5.2（a）所示；單圈圖對應(yīng)于圓環(huán)面，如圖5.2（b）所示；多環(huán)圖對應(yīng)于具有幾個手柄的面，如圖5.2（c）所示。有幾個手柄的球是黎曼面。

在零屬樹水平的情況下，黎曼定理指出，度量可以通過微分同胚映射加外爾尺度重新調(diào)節(jié)，以標(biāo)準(zhǔn)形式全局化。給定球面S2上的圓度規(guī)h0，任何度規(guī)h相當(dāng)于形如的微分同胚映射。根據(jù)黎曼定理，S2上的任意兩個度規(guī)共形等效。

我們繼續(xù)研究屬1的單-循環(huán)圖。屬1表面是一個普通圓環(huán)面。圓環(huán)面上的任意兩個度規(guī)在整體上都等價于微分同胚映射加外爾尺度重新調(diào)節(jié)。這已不再是事實，圖5.3中的兩個圓環(huán)面不能以這種方法相聯(lián)系。用分析的方法來描述差異，圓環(huán)面的構(gòu)建過程如下。由復(fù)平面Z開始，挑選兩個復(fù)數(shù)λ1和λ2，構(gòu)建的

τ=λ2/λ1

（5.3.1）

不是實數(shù)。由式（5.3.1）定義的參數(shù)τ不要和弦世界片上的τ坐標(biāo)混淆。如果需要，可互換λ1和λ2，假設(shè)Imτ>0，相當(dāng)于τ在上半復(fù)平面上定義了一個點，故對任意整數(shù)n和m，可以定義一個圓環(huán)面。

z≈z+nλ1+mλ2

（5.3.2）

如圖5.4所示，該圓環(huán)面從復(fù)平面Z上繼承了平直度規(guī)，那么在微分同胚映射加外爾尺度重新定位的情況下，由不同λ1和λ2值定義的圓環(huán)面是否等價？

很明顯，只有比值τ=λ2/λ1可以是一個微分同胚映射加外爾不變量（通常稱為保角不變量）。事實上，重新調(diào)節(jié)z，有

式中，k是非零復(fù)數(shù)，由常數(shù)改變圓環(huán)面的度規(guī)，該常數(shù)可以被共形重新標(biāo)度吸收。變換式（5.3.3），重新標(biāo)度λ1和λ2，留下了固定比值τ，故僅τ共形不變。

τ是共形不變量，不能隨著微分同胚映射加外爾尺度重新調(diào)節(jié)而變化。令a,b,c,d為4個整數(shù)，ad-bc=1，則矩陣

的行列式為1。行列式為1的整數(shù)值矩陣構(gòu)成一個模群SL(2,z)。式（5.3.4）的逆矩陣是

假設(shè)我們用模群SL(2,z)的元素對λ1和λ2進(jìn)行變換，即

則由

定義的圓環(huán)面的確與由式（5.3.2）定義的圓環(huán)面相同。式（5.3.2）和式（5.3.7）等價地定義了圓環(huán)面意指，圓環(huán)面的共形結(jié)構(gòu)在τ的作用下不變。比較式（5.3.2）和式（5.3.7）可知，這個作用量是

在式（5.3.8）的約束下，復(fù)數(shù)τ是圓環(huán)面度量的唯一特征，圓環(huán)面不能被微分同胚加外爾變換吸收。這一論斷的完整證明超出了本書的范圍。

現(xiàn)在簡要討論屬g>1的情況。考慮在屬g的Σ表面添加一個手柄，制造出g+1的表面。首先在Σ表面做兩個小孔，如圖5.5（a）所示，然后用一個管道連接這兩個小孔，如圖5.5（b）所示，管道可以為任意長度的，還可以沿任意角度扭曲，如圖5.5（c）所示。要指定兩個孔中任何一個的位置，需要兩個實參數(shù)或一個復(fù)參數(shù)。總之，在從屬g到屬g+1的過程中，我們引入了6個新的實參數(shù)（其中4個來自兩個穿刺點的位置，1個長度、1個角度）或3個復(fù)參數(shù)，以便刻畫屬g作為Bg的面Σ。所以有

式（5.3.9）僅對g≥2有效，因為在圖5.5中選擇小孔位置時屬1和屬2的表面具有連續(xù)對稱性，而對g=0或者g=1不存在不變性。Bg的實際值對于g≥2是3g-3，即。

下面討論弦世界片整體幾何的另一個方面。在執(zhí)行包括幽靈的庫侖規(guī)范的路徑積分［式（5.1.13）］時，我們遇到一個問題：b++和c+是否具有弦世界片上可規(guī)范化的零模。b++、b--、c+和c-的微分協(xié)變方程分別是

在討論這些方程的意義時，重在考慮在無窮小坐標(biāo)重新參數(shù)化時度規(guī)的變換，這在式（5.1.6）中已經(jīng)給出，即

這是在無窮小坐標(biāo)的再參量化之下和的變化規(guī)律。比較式（5.3.11）與式（5.3.10）發(fā)現(xiàn)，c的零模是共形對稱生成子，世界片的再參量化僅以自身的倍數(shù)改變了度規(guī)。在外爾尺度再標(biāo)定中，這種改變能被吸收。

在樹水平上，世界片作為一個球，可在復(fù)平面上做立體投影。令z=τ+iσ，它的共軛為=τ-iσ，則有

于是c+必須是z的解析函數(shù)。為了得到由生成的共形對稱性而在無窮遠(yuǎn)處沒有極點，必須在無窮遠(yuǎn)處像z2那樣生長。所以式（5.3.12）有3個可以接受的解：。

為了分析高屬曲面的幽靈零模，注意式（5.3.10）中關(guān)于c+方程意指：

式中，是曲面的標(biāo)量曲率，而。由于，兩邊再以算符作用，當(dāng)然為零。式（5.3.13）右邊，不計系數(shù)1/2，左乘，然后遍及世界片Σ求積分，意味著：

在圓環(huán)面的情況中，具有平直度規(guī)，將式（5.3.13）中的最后一項從式（5.3.14）中丟棄，這意味著c+是協(xié)變常數(shù)。于是，在屬1的表面，即c+=1，有一個可正則化的幽靈零模。對應(yīng)地，圓環(huán)面唯一的共形對稱是剛性變換z→z+a，其中a是復(fù)數(shù)。

現(xiàn)在轉(zhuǎn)到反幽靈零模。我們已經(jīng)定性地討論了上述關(guān)于屬g（g>0）表面上的事實：當(dāng)g>0時，存在共形而不相等的度規(guī)。現(xiàn)在做定量分析。挑選一個背景度規(guī)hαβ，通常h的微擾δhαβ能否被再參量化和外爾尺度重新標(biāo)度吸收？在世界片Σ上，工作在局域坐標(biāo)系中，其中h++=h--=0，h+-=e?；顯然δh+-能夠被外爾重新標(biāo)度吸收。問題是δh++和δh--能否被微分同胚映射吸收？當(dāng)δh--是δh++的復(fù)共軛時，我們不妨研究后者。審查式（5.3.11）證明，當(dāng)且僅當(dāng)存在整體定義的ξ+具有等式δh++=2ξ+時，δh++能夠被微分同胚映射所吸收。否則

對所有ξ+非零，式（5.3.15）關(guān)于ξ+的變分方程是

與b++=δh++-2ξ+一起，能夠確認(rèn)式（5.3.16）中的反幽靈零模式（5.3.10）。事實上，反幽靈零模與δh++的選擇一一對應(yīng)，式（5.3.15）不能消失，換言之，Σ度規(guī)的變形不能被再參量化和外爾尺度重新調(diào)節(jié)吸收。故在屬g表面，反幽靈零模的數(shù)目正是先前稱為Bg的數(shù)目，即B0=0，B1=1，Bg=3g-3（g≥2）。若g=2，則Bg=3×2-3=3。對于g=0和g=1能夠核查。對于g=0，將赤道平面立體投影到平面上，式（5.3.11）變?yōu)?/p>

該式類似于式（5.3.12）這時Bg和Cg的行為像g的函數(shù)一樣，對小g有些不規(guī)則，其差

表現(xiàn)得更平滑。這個差是由已知的經(jīng)典理論，如Riemann-Roch定理，給定的。

G類黎曼面度規(guī)指定輸入的共形不變參數(shù)，稱為黎曼面的模數(shù)。這些參數(shù)空間叫作模空間。遍及弦世界片的循環(huán)積分（包括遍及模空間的積分）究竟以哪種方式進(jìn)入取決于其形式。在獲得正確積分方法的過程中，零模扮演著重要的角色，b零模和c零模分別與模的無窮小形變和庫侖規(guī)范程序留下的完整對稱性相聯(lián)系。

不考慮離散的SL(2,z)等價性，屬1表面的共形結(jié)構(gòu)將由上半復(fù)平面的點τ指定。上半復(fù)平面叫作屬1表面的Teichmuller空間，而它被SL(2,z)除得的商就是實際的模空間。這類似于多圈面。存在一個比較簡單的Teichmuller空間，該空間刻畫了表面的共形結(jié)構(gòu)，直至某些分立相等的情況。在處理循環(huán)圖的許多方法中，出現(xiàn)遍及Teichmuller空間的積分是很自然的，而模的不變性并非不言而喻。對一個可接受的理論，需要模數(shù)不變，因為是由τ刻畫的表面，而τ是由SL(2,z)關(guān)聯(lián)的，的確是相同表面上的再參量化，而模數(shù)不變是再參量化不變性的一個方面。

考慮類似于開弦和具有邊界的世界片。例如，對開弦，在單圈水平上我們遇到一個為拓?fù)鋱A柱體的世界片，如圖5.6（a）所示。根據(jù)經(jīng)典理論，圓柱體上的任何圖形都映射為復(fù)平面上的一個圓環(huán)面，如圖5.6（b）所示。其他的單圈弦世界片是扭曲的圓柱面，或者莫比烏斯帶，如圖5.6（c）所示。