5.2　BRST量子化

1970年法捷耶夫在狄拉克約束理論的基礎上考慮物理系統在相空間的固有約束得到含有第一類約束系統的路徑積分量子化。1976年，Senjanovic找到了含有第一類約束和第二類約束的路徑積分量子化的方法，叫作F-S路徑積分量子化。這是比法捷耶夫-波波夫量子化方法更嚴格的庫侖規范的量子化方法。用F-P和F-S處理非阿貝爾規范場能得到相應的結果。非阿貝爾規范場經過量子化處理之后，在拉格朗日作用量中新增了規范固定項和規范補償項（我們將后者稱為幽靈場），從而保證了系統的幺正性。但是幽靈的引入也帶來了新的問題，即拉氏量中的幽靈是不是物理量。1974年，Beechi、Rouet和Stora發現原始拉氏量不具有規范不變性，但有效拉氏量有了新的規范不變性，即BRS規范不變性。現在這一不變性已經被BRST規范不變性代替。這一規范不變性將對易量與反對易量關聯起來構成一種新的、范圍更廣的超對稱變換，即將費米子和玻色子組合起來構成可以互換的超對稱變換。BRST量子化包括F-P量子化和規范理論量子化。

幽靈的合并給我們提供了沒有異常的維拉宿生成子，它們遵守初等代數關系，即[Lm,Ln]=(m-n)Lm+n。異常的缺位意指我們可以用更加簡單的方法施加約束方程，使得對所有的n，態|x>遵守Ln|x>=0。然而幽靈的合并也帶來了新的難題。現在我們工作在一個包含幽靈和反幽靈的、激發的更大的福克空間中，就像坐標的激發一樣。如何鑒定物態呢？這一問題的答案已由BRST量子化給出了。

BRST量子化首先在楊-米爾斯理論量子化中引入。人們發現，在楊-米爾斯規范確定之后，存在費米總體對稱性，這個沒有破缺的對稱性在分析可能的抗衡項的結構時很有用。迫在眉睫的一個技術問題是，如何在既包含又包含幽靈和反幽靈的大福克空間中鑒別物態，BRST量子化給出了這一問題的答案。

5.2.1　BRST荷的構建

考慮任何具有對稱算符Ki的物理系統，Ki組成一個閉李代數G：

式中，是G的結構常數。BRST量子化涉及反幽靈bi的引入，bi在G的伴隨表示和幽靈ci中變換，它們遵守正則反對易關系：

定義幽靈數U為

在無限維李代數的情況中，需要減去一個規范序常數。為了與數學文獻一致，我們暫時回避這個步驟。注意，U的本征值是從0到n的整數，而n是李代數G的維數。引入算符：

對物理學家來說，Q是眾所周知的BRST算符；對數學家來說，Q是計算李代數上同調的算符，具有Ki定義的表達式中的值。是G的結構常數。Q的基本性質是

Q2=0

（5.2.5）

證明式（5.2.5）必須使用對易關系式（5.2.1）及等式

式（5.2.6）可由通過雅可比等式產生的式（5.2.1）得到。

令Ck為幽靈數U=k的態的赫爾伯特空間。Ck中的態稱為BRST不變量，如果

則有一個由式（5.2.5）尋找BRST不變量態的方法，即任何形如的態都不變。λ要求具有幽靈數k-1，因為Q的形式表明，它改變了任何態的幽靈數，其作用量是+1。式（5.2.7）有趣的解是那些不能寫成形式的解。給定式（5.2.7）的兩個解和，如果在

意義上對某個λ，是式（5.2.7）的平凡解，則認為兩個解等價。幽靈數k的式（5.2.7）解的等價類在剛剛敘述的條件下具有數學文獻中的形式并且等效的兩個解，叫作李代數G的第k個上同調群，通常記作。等價類稱為上同調類。

特別有趣的是幽靈數為零的BRST不變量態。幽靈數U的形式表明，幽靈數為零的態χ必須被所有的廢止，故作用在這類態上，Q中的第二項消失。事實上，對這類態有

一個由廢止的態不能被任何的廢止，故條件Qχ=0與

Kiχ=0，i=1,2,…,n

（5.2.10）

等效。于是，幽靈數為零的態χ是BRST不變量，僅當它是G不變量。此外，幽靈數為零的態χ不可能寫成χ=Qλ的形式，因為不存在幽靈數為-1的態。所以幽靈數為零的態遵守式（5.2.10），是與幽靈數為零的上同調類同樣的東西。故上同調群與幽靈數為零的G-不變量態空間相同。當然，幽靈數為零的態是被幽靈廢止算符bi廢止的態，因此不包含任何幽靈。

上文中說過的大多數問題能在無窮維李代數（如維拉宿代數）中求出來。不過，有幾點區別。方程Q2=0可能會受到異常的影響，所以必須仔細檢查。此外，幽靈數U包含一個規范序常數。鑒于此，有理由期望弦的物態是某個限定幽靈數的BRST上同調類χ（模規范變換χ→χ+Qλ），假設這個限定的幽靈數為零。物態的幽靈數是規范序常數，該常數依賴于人們選擇的物理系統。

現在選擇G為維拉宿代數，并執行BRST程序。對應于維拉宿生成子Lm，其中m是任意整數，我們需要引入幽靈cm和反幽靈bn，這恰是早先幽靈量子化過程中考慮的傅里葉模。BRST算符是

式（5.2.11）中使用了維拉宿結構常數的顯式。比較Lm的兩種形式，即物質和幽靈場，得

若m=-n，則式（5.2.12）變形為

式中，

類似地，幽靈數算符是

式（5.2.15）中需要規范序。當然對于閉弦，這些公式要加上第二組左-動幽靈和振子的貢獻。

物理系統中有一個重要性質，BRST算符Q和幽靈數U能夠作為守恒荷的積分得到（一般的介紹性討論不能保證這一點）。BRST流定義為

而通過-←→+轉化得到。已經在式（5.1.44）中得到，也已經在4.1.3節中得到。幽靈數流定義為

而J-通過-←→+轉化得到。由b和c的運動方程及能量-動量張量在世界片上的守恒定律易知，這些流是守恒的，即

對應的守恒荷確實是BRST荷，即

而幽靈數為

更準確地說，這些公式在開弦情況下相對于前面的公式減少了；在閉弦的情況中，我們已經在式（5.2.19）、式（5.2.20）中加上了左-動模和右-動模。

從經典觀點來看，先前的討論確保了Q2=0。但是在量子水平上這是否是真的呢？為了調查這一問題，我們注意：

式中，Lm由式（5.1.53）給出。因此，對于D=26、a=1，Q2=0，這時式（5.1.54）中異常項消失。

由最后的結果反過來推，得到Q2=0，這意味著我們能夠證明維拉宿代數沒有異常項。為驗證這一結論，我們首先注意，式（5.1.53）維拉宿生成子由

給出，作為Q2=0的一個推論。用類似的方法，完整的維拉宿生成子代數閉合而沒有一項異常：

定義任意物理量Y的BRST變換為

式中，λ是恒量格拉斯曼參數。我們能證明坐標滿足：

類似地，有+←→-轉化公式。是完整的能量-動量張量。顯然，這一變換的平方為零，且對應于洛倫茲規范作用量的不變量。

現在研究幽靈數的規范序：

因為沒有明顯、自然的處理規范序的方法，我們將幽靈和反幽靈的零模c0和b0分開。

事實上，c0和b0都與哈密頓量對易，所以基態具有由下述事實引起的簡并：必須提供這些算符的表示。c0和b0存在反對易關系，。這些對易關系的不可約表示需要兩個態，即。可以分別選c0和b0為消滅算符，它們遵守：

何謂的幽靈數呢？顯然由式（5.2.31）可得，但是這并不能確定的單獨值，即使在U的定義中它們的確依賴于正則序常數。最對稱的選擇是。這種選擇對應于式（5.2.28）中嚴格的規范序慣例。這意味著幽靈數的本征值是半整數。

我們希望物態能夠描述為BRST上同調類的某確切的幽靈數。因為我們期望物態不需要包含幽靈激發態，經過一個可能的變換之后應該有可能將物態放到某種形式中，在這個形式中幽靈波函數正比于兩個基態中的一個。因此，物態幽靈數的可能選擇是。做出選擇不是簡單的慣例問題，因為幽靈場和反幽靈場在超弦理論中并不對稱。例如，它們具有共形維數-1和2。正確的選擇是物態具有幽靈數-1/2。實際上，令χ為被幽靈和反幽靈廢止算符，即

廢止的態。我們可以認為這樣一類態不包含幽靈和反幽靈。此外，我們假定χ具有幽靈數-1/2，并且被b0湮滅。作用在這種形式的態上，BRST不變性條件簡化為

于是單一條件再生了所有更古老的協變量子化物態條件。如果我們反而選擇具有幽靈數+1/2（所以是被c0湮滅而不是被b0湮滅），式（5.2.33）等號右邊的第一項將退出，我們就不能得到所有的物態條件。

總之，玻色弦理論中的物態是幽靈數為-1/2的BRST上同調類。事實上，完成這一陳述的證明，必須建立其逆命題。給定一個幽靈數為-1/2的態χ，它是BRST不變量，證明這個態可以寫作的形式，這里χ'遵從式（5.2.32）。因此對應于舊語言的物態，用我們剛才描述的語言嵌入擴展的福克空間。雖然這個過程十分清晰，但是一個完整而經濟的證明似乎沒有出現。

5.2.2　維拉宿異常的協變計算

本節我們介紹維拉宿異常的協變計算。維拉宿對易關系的一般形式是

式中，兩個異常系數a和b中，僅a具有不變性，b可以被吸收到中出現的規范序常數中。若，則有，這時。

考慮世界片上共形不變的自由弦理論，自由玻色場正是整個復平面，為

?的傳播子是

式中，μ是紅外截斷。引入，|?>遵守自由波函數方程：

這意味著?可按照

分開。式（5.2.38）的分離有些模糊，我們可以在上加一個常數，同時從上減去同樣的常數。在當前的討論中，我們在復平面上用式（5.2.35）表示量子場理論。在無限體積極限中，式（5.2.38）中零模的含糊不清并不重要，但當在有限體積中討論玻色化時，它立刻變得很重要。容易給出和的顯式：

式（5.2.39）顯然遵守式（5.2.38），這時。式（5.2.39）中的兩個等式利用運動方程很容易驗證。

當僅是關于的函數時，也僅是關于的函數，兩-點函數<>必須消失。這時<>必須僅是關于的函數，而<>僅是關于的函數。將式（5.2.36）寫為

我們有足夠的信息解出分立的部分：

當然，式（5.2.41）也能用式（5.2.39）驗證。

下面介紹世界片能量-動量張量：

也有類似的公式。能量-動量張量遵守：

在評估維拉宿代數時，借用眾所周知的流代數中的技巧。考慮時間序兩-點函數，它并不守恒，而是遵守類-瓦德恒等式：

在流代數中式（5.2.44）像往常一樣出現。因為在將拉進T-積的過程中會得到一個等時交換子。

在式（5.2.44）的等號右邊，交換子的期望值提取該交換子的c-數片，它就是維拉宿異常。因此，我們可以通過評估式（5.2.44）的等號左邊的式子來評估維拉宿異常。在自由場理論中能量-動量張量的兩-點函數由簡單的單圈圖給出，如圖5.1所示。不需要任何積分，在坐標空間中評估圖5.1，僅取各種傳播子的積。由式（5.2.41）、式（5.2.42）可得

式（5.2.44）的等號左邊包括

乍一看，這似乎消失，但是事實上：

由此可得

于是，式（5.2.44）和式（5.2.45）對應于一個能量-動量交換子在相等τ點的異常部分：

式中，下標A表示僅評估交換子c-數部分的異常。

在本評估中，我們已經在平面上將自由場理論公式化，但是異常部分，即式（5.2.49）僅由自由場理論的短距離行為所決定，故式（5.2.49）仍然有效，如果在閉弦的一個世界片上將理論公式化，則式（5.2.49）同樣有效。這時我們定義維拉宿生成子為T++的傅里葉動量距為：

式中，T++為能量-動量張量，而式（5.2.49）給出了式（5.2.34）中至關重要的系數a的公式，即

這與以前的評估一致。

這種計算方法的優點是，在某種意義上證明了維拉宿異常的必然性。對式（5.2.45）的依賴完全決定于尺度不變性，并且約束了任何(1+1)-維時空中的共形不變理論。僅的系數在另一個共形不變理論中可能是不同的。對于物理自由度，這個系數在任何場理論中都必須為正，因為兩-點函數的厄米共軛算符T++必須為正。在維拉宿異常中僅幽靈可以消除。

要明白這是怎么回事，需要考慮描述幽靈的共形不變場理論。回顧式（3.1.15），我們聚焦于幽靈左-動模的作用量：

關于～的兩-點函數是

其能量-動量張量不能由平直世界片作用量，即式（5.2.52）單獨地決定，因為事實上

對任意的k都守恒。由于式（5.2.54）中的k依賴項是總導數，故由T++構造的能量和動量算符獨立于k。關于彎曲世界片上幽靈作用量的研究表明，k=3是正確值，但是留下k作為自由參數，以備后續工作中我們將遇到k具有其他值的系統。式（5.2.54）的傅里葉模與式（5.1.50）一致，若取

J=(k+1)/2

（5.2.55）

對稱地處理b和c，將求得k=0。這時b和c在標度和共形變換下作為共形維數為1/2的常規費米場進行變換。引入非零k，通過k中的線性量用T++轉移任意場Z的交換子。計算知，對k=3，b++具有共形維數2，而c具有共形維數-1。從線性化的視角看，k中b和c的共形維數分別是(1+k)/2和(1-k)/2。我們稱這時的幽靈數流是J+=c+b++。式（5.2.54）中的k依賴恰是幽靈數流的導數，并且任何物理場Z的共形維數的k依賴部分僅依賴于Z的幽靈數。于是，令dZ為k=0時Z的共形維數，再令g(Z)為Z的幽靈數。Z在一般k處的共形維數是

利用共形維數的定義，不難驗證這一判斷，而式（5.2.54）中的k依賴項是幽靈流的導數。

注意，式（5.2.54）中的b++和c+顯然是反對易變量。若取b++=c+，則根據費米統計學可知，k依賴項將消失。再回到式（5.2.54），直接利用生成子的形式計算兩-點函數的能量-動量張量，包括評估單圈圖（見圖5.1），可得

若使k=3，且將式（5.2.57）與式（5.2.45）進行比較，我們可看到幽靈能消除26-維玻色子的維拉宿異常。這就是維尼齊亞諾模型至關重要的維數為26的原因。若使k=2J-1，我們可看到式（5.2.57）的k依賴項與式（5.1.52）中的相同。

5.2.3　維拉宿、共形和引力異常

在5.1.1節的結尾，分析式（5.1.14）中的D?積分時，我們有一個判斷：在D=26時，這個積分可以丟棄。本節我們將建立這一命題，證明在D=26的條件下，當維拉宿異常消除時，度規的外爾重新調節恰是有效的。這里關鍵的思想為二維共形不變理論的普遍性質。為此，我們考慮自由費米子理論。

考慮一個真正的右-動馬約拉納費米，其作用量為

能量-動量張量的兩-點函數由式（5.2.57）給出，令式（5.2.57）中的k=0，且除以2（因為我們僅有單模，而沒有b和c），有

這里我們考慮動量空間。在動量空間中，，的傅里葉變換是1。因此，式（5.2.59）的動量空間對應的是

在平直世界片上優先考慮式（5.2.59），把它解釋為T++對它自身的對易子c-數異常的證據。現在考慮式（5.2.59）的意義和式（5.2.60）關于費米子在彎曲世界片上的傳播。由平直世界片度規求一階偏差，得

式中，是度規中的擾動，我們將處理到最低階次。物質與引力場的相互作用由式（5.2.62）給出：

對于由式（5.2.58）所描述的簡單系統，僅的非零分量是T++，所以與的耦合是

我們在引力場中計算誘導費米子的能量-動量張量的期望值。觀察式（5.2.63），從式（5.2.60）可以讀出誘導費米子的能量-動量張量的期望值為

現在驗證能量-動量守恒這一物理原理。在引力場背景中，我們期望：

當前，由于僅T的非零分量是T++，并且對引力場的最低階可以用普通導數替代協變導數，所以式（5.2.65）可簡化為。由式（5.2.64）可得有關于異常的公式為

式（5.2.66）中第一個等號左邊的式子應該消失，除非<T++>=0。這意味著在所有引力中不存在耦合。在手征費米子與引力的耦合中，能量-動量守恒的崩潰稱為引力異常，意指二維時空中手征費米子與引力的耦合是不可能的，除非有額外自由度增加從而使異常消除。

式（5.2.66）中第二個等號右邊是關于動量的多項式，所以將展示為f--的局域函數。這是異常的普遍性質。異常可以理解為紫外效應，它必須由局域函數給出。雖然式（5.2.66）是局域的，但式（5.2.64）不是由它推導出來的，故不能通過對式（5.2.64）增加局域項來消除式（5.2.66）中的異常。

考慮一個像右-動費米子理論一樣的左-動費米子理論。的作用量是

與式（5.2.64）類似的公式是

由于式（5.2.66）變為

式（5.2.69）可看作式（5.2.68）的另一種表示形式。然而，式（5.2.69）和式（5.2.66）之間存在顯著差異。在式（5.2.69）的情況中，能量-動量守恒的異常違背能夠通過對式（5.2.68）增加局域抵消項而被消除，寫出：

現在終于實現了能量-動量守恒：

結果，由式（5.2.58）和式（5.2.67）之和描述的理論中既有左-動費米子又有右-動的費米子，其始終能夠與引力耦合。在度規的外爾重新標度下，盡管形式上表明式（5.2.58）和式（5.2.67）是不變量，但式（5.2.70）的形式有一個致命的后果。事實上，在我們設法尊重能量-動量守恒的時候，我們發現能量-動量張量不是無跡的，而是通過式（5.2.70）的第二個方程對f中的最低階有一個給定的跡，該方程是對下式的近似：

式中，是弦世界片的標量曲率。

考慮一般的二維理論，其在平直世界片上是標量不變的，故，并且對于某些恒量c和d有

根據以上幾節的討論，這里的c和d可分別解釋為左-動模和右-動模的維拉宿異常。在將這個理論與彎曲世界片耦合時，能量-動量守恒崩潰，除非c=d。如果c=d，則外爾不變量丟失，具有式（5.2.72）形式的異常，除非c=d=0。

將這些考慮應用于維尼齊亞諾模型，在任何維數D的時空中，該模型具有（包括幽靈）c=d=(D-26)，故對任何D，甚至在彎曲世界片上，世界片能量-動量張量守恒。然而，在c=d=0時，D=26的世界片的能量-動量是無跡的，并且正是在這種情況下，用來消除式（5.1.14）中的?積分的外爾不變性是有效的。

由式（5.2.52）推導的幽靈運動方程是

仿照式（5.2.74）的推導過程，我們發現?+遵守同樣規律的方程：

式（5.2.75）出現的問題是，是否可以由右-動玻色子來表達反對易不變量，如b++和c+。

引入兩-點函數：

式（5.2.76）其描述費米子場理論，與式（3.2.53）類似。我們能夠在再生這種兩-點函數的玻色理論中找到這種再現兩-點函數的算符嗎？令

式中，μ是式（5.2.41）中的紅外截止。利用式（5.2.41）中用到的推理方法來計算超光子頂點算符乘積的期望值，Dt的兩-點函數是

式（5.2.78）因紅外截止μ而為0。將式（5.2.78）與式（5.2.76）進行比較，得到的初始結論為

對此，后面我們將給出進一步的證明。因為幽靈遵守，這一陳述的對應點是。如果我們把Dt的共形維數記作dt，則由式（5.2.78），我們能夠讀出下列事實：

在后面的章節中，我們需要將式（5.2.78）推廣為

當μ→0時，式（5.2.81）為零，除非。這表明一個事實：僅當時，式（5.2.81）的等號左邊在→+常數的情況下是不變量；當→+常數是連續對稱的自由玻色場理論，且這種連續對稱性在(1+1)-維量子場理論中不能自發破缺時，對稱性預示著式（5.2.81）消失，除非。直到目前，我們都保留了公式中的紅外截止μ，以解釋為什么在對增加一個常數的情況下并非不變的可觀測值全部消失。紅外截止μ總是能刪除這類可觀察量，這時其他的可觀察量在μ→0時全部消失。

為了最后建立式（5.2.79），我們要確定它表示的玻色算符遵守正確的費米反對易關系。我們要建立的典型關系是等τ反對易算符：

為了建立式（5.2.82），我們要研究的乘積為

這里我們使用了式（5.2.39）給出的關于的顯式表達。利用公式，重新安排式（5.2.83），將移到等號左邊，將移到等號右邊。當[A,B]是c-數時這是容許的，利用和的正則對易關系，得

式中，對正x和0，θ(x)是+1。反對易子為零，因為式（5.2.84）等號右邊的相因子是σ-σ'的奇函數。

現在尋找關于幽靈數流的玻色子公式。幽靈數流是J+=c+b++，，或者更精確地表示為

在玻色語言中，式（5.2.85）變為

取極限，展開得

將式（5.2.87）嵌入式（5.2.86），式（5.2.87）等號右邊的首項給出了c-數，它丟棄了規范序。式（5.2.87）等號右邊的第二項乍一看在時消失了，但是這恰是被具有正比于的短程奇異性這一事實所消除的。事實上式（5.2.86）的極限為

這是關于幽靈數流的玻色表達。利用正則變換關系，可得

這就確認了早先的判斷，即在中常數移動下的對稱性對應于幽靈數。

現在，我們轉向在玻色語言中對能量-動量張量進行研究。幽靈理論具有（僅在平直世界片上）幽靈共軛對稱性b←→c。幽靈流J+=c+b++在幽靈共軛之下是奇數。以式（5.2.88）的視角［或者以式（5.2.79）的視角］看，我們必須解釋?→-?時的幽靈換位。在之前的章節中，我們論證了單參數族的能量-動量張量，即式（5.2.54），該式通過增加幽靈數流的導數來區別彼此。在玻色語言中，對應的單參數族能量-動量張量是

特別地，當k=0時，是獨一無二的選擇，這種選擇在幽靈共軛時不變。利用5.2.2節中的公式容易驗證的維拉宿異常正比于1-3k2，恰如在費米語言中一樣。

在k=0時算符Dt和D-互為幽靈共軛算符，并且一定具有同樣的共形維數。于是，使用式（5.2.80）我們能夠看到Dt的共形維數在k=0時是dt=t2/2。當k≠0時，Dt是幽靈數t的一個算符。考慮到就玻色子而言我們已經證實了幽靈數，所以Dt的共形維數在一般k值時是由k=0的值按照式（5.2.56）決定的：

該式在為超弦理論構建費米子頂點算符時扮演著十分重要的角色。

正如在費米子的描述中一樣，應該存在單參數族的能量-動量張量，邏輯上對應于彎曲世界片上與自由場?耦合的單參數族。相關的族是

式中，R(2)是弦世界片的標量曲率。在平直世界片上，式（5.2.92）獨立于k。然而，由相對于世界片度規變化的式（5.2.92）推導出能量-動量張量，置度規為ηαβ，可導出依賴于k的能量-動量張量，即式（5.2.90）。

我們正在討論關于式（5.2.92）闡述的(1+1)-維世界無窮體積上費米子的玻色化。然而，對許多應用來說，主要是研究在圓環上傳播的費米子的玻色化。如果在有限的一維世界上，具有限定范圍0≤σ≤2π及我們熟悉的周期性邊界條件（在本書中，對于閉弦，周期條件取作π；對于開弦，間隔2倍之后周期為2π），研究自由理論式（5.2.92），則具有傳統的、我們已經廣泛討論過的正則模表達式：

式中，[p0,]=-i；[，]=nδn+m。注意到p0是幽靈數算符，它將移動一個常數。或許有人要問，費米子在無限體積中或者在圓環上的玻色化是否有什么依據？答案是，寧可要精細和完整的結果。在無限體積中，我們試圖定義：

我們必須事先確定，假定的規范序意味著什么。正確的處理方式是

式中，p0具有半整數本征值有一個有趣的“物理”解釋，因為p0對零模坐標是正則共軛（于是）的，故p0僅有半整數本征值意味著是角變量，和+2π在物理上是等價的，其具有量子波函數ψ，ψ遵守ψ(+2π)=-ψ()。事實上，模表達式［式（5.2.93）］表明，當我們給增加一個常數時，整個量子場被這個常數改變，所以我們能夠用量子波函數表示而不需任何模展開。

這里至關重要的一點是p0取分立值，這比這些值是半整數而不是整數的事實更重要。在有限體積中，可以玻色化一個費米理論，最終得到的玻色場是角變量，以上面的慣例定位在周長為2π的圓周上。事實上，在進行玻色化時不是僅有一對反對易場b++和c+而是有n對這類反對易場，故必須引入n個玻色場?a，其中a=1,2,…,n，并且可以將上述情況推廣到一般情況下，如同第6章我們將要討論的。

盡管無關緊要，但是條件中的負號仍然值得評論。負號源于p0要求半整數本征值，可使b++(σ)和c+(σ)遵守幽靈坐標的適當邊界條件，即。對于費米場，遵守相反的邊界條件，即，在式（5.2.95）和式（5.2.96）中需要p0的整數本征值，這時玻色子的波函數將遵守相反的邊界條件，即ψ[?(σ)+2π)=+ψ[?(σ)]。

使圓環上的費米子玻色化會產生一些有趣的結果。按照?+自由場理論，其哈密頓是

式（5.2.97）中已經包括了規范序常數，它是我們研究弦量子化的成果之一。幽靈數是

根據量子統計力學寫出這種自由場理論的配分函數：

式（5.2.99）不僅可以計算，而且對計算一般的跡也是很有用的。令q=e-β，則式（5.2.99）可以表達為

若把H和U表達為費米形式而非玻色形式，會發生什么呢？在費米形式中，有

式中，x是未知的正則序常數。如同在式（5.2.30）中，U為

用量子統計的標準方法，由式（5.2.101）和式（5.2.102）可得

對于x的任何值，式（5.2.100）等于式（5.2.103）。若x=1/12，則由于雅可比的一個定理，這些相同的東西就重合了。實際上，雅可比三重積公式為

對于x=1/12，相當于式（5.2.100）等價于式（5.2.103）。

由這項調查得到的另一項有趣的結果如下：如果p0是半整數本征值，則玻色子的哈密頓［式（5.2.97）］等價于關于兩個反對易自由度b和c的哈密頓，它們分別遵守周期性邊界條件，即。具有半整數本征值p0的式（5.2.97）的基態能量是。于是，兩個反對易費米子的規范序常數是1/12。所以，具有周期性邊界條件的單一反對易自由度的規范序常數必須是

此外，如果式（5.2.97）中的p0是整數本征值，則式（5.2.97）等價于兩個反對易場b和c的理論，二者遵守反周期邊界條件，即和。具有整數本征值p0的式（5.2.97）的基態能量是-1/24。所以費米子的規范序常數遵守反周期性邊界條件，對每個馬約拉納場是

至于玻色子，由第4章我們知道，規范序常數具有周期性邊界條件，即

更一般的邊界條件也可以考慮，但是上述這些是本書最需要的情況。