5.4　弦的背景場(chǎng)

5.4.1　背景時(shí)空度規(guī)引論

直到現(xiàn)在，我們已經(jīng)討論了平直26-維閔氏空間中弦的傳播，作用量為

式中，是世界片度規(guī)，可視作動(dòng)力學(xué)變量；是閔氏度規(guī)。這里我們不考慮弦在平直閔氏空間中的傳播，而考慮弦在更一般的具有度規(guī)張量gμν的26-維流形Μ中的傳播。式（5.4.1）的明顯推廣就是用度規(guī)gμν取代閔氏度規(guī)，即

式（5.4.2）是式（5.4.1）的自然推廣，表示26-維時(shí)空中弦的作用量。有人認(rèn)為不需要導(dǎo)出式（5.4.1），但是對(duì)下面的問題式（5.4.1）具有啟發(fā)性。假設(shè)時(shí)空度規(guī)是

式中，表示該時(shí)空與閔氏空間的偏差。由式（5.4.1）導(dǎo)出的世界片的路徑積分是

而由式（5.4.2）導(dǎo)出的結(jié)果是

式中，

是波函數(shù)為的引力子發(fā)射的頂點(diǎn)算符V。我們通?？紤]的引力子波函數(shù)是平面波的波函數(shù)，即，但是沒有理由認(rèn)為其不是疊加的平面波。在式（5.4.4）中插入頂點(diǎn)算符V將適應(yīng)弦與外部引力子波函數(shù)的相互作用，并且精確對(duì)應(yīng)于弦在度規(guī)中的傳播。

現(xiàn)在討論式（5.4.2）的某些簡(jiǎn)單性質(zhì)。式（5.4.1）和式（5.4.2）都是兩維量子場(chǎng)理論，但是二者有本質(zhì)的區(qū)別。式（5.4.1）在共形規(guī)范

中變成自由場(chǎng)理論，而式（5.4.2）則不然，它在該規(guī)范中簡(jiǎn)化為

這是式（5.4.2）在共形規(guī)范中的作用量，是非平凡量子場(chǎng)理論，稱為非線性西格瑪模。我們恢復(fù)了對(duì)的依賴，以前的公式對(duì)應(yīng)于通常的選擇，即=1/2。

當(dāng)然，正如弦在平直閔氏空間中傳播，式（5.4.8）必須由維拉宿條件

補(bǔ)充，式（5.4.9）與規(guī)范選擇式（5.4.7）共軛。在形式上，在σ的重新標(biāo)度或者共形映射下式（5.4.8）不變，所以在經(jīng)典水平上有

恰如弦在平直空間中的傳播。式（5.4.10）保留了兩組維拉宿條件，即

這些條件在臨界維中足以消除負(fù)-正則模而給我們留下了具有物理意義的思考。若式（5.4.10）中存在異常，則式（5.4.11）不得不增補(bǔ)額外的維拉宿條件。這個(gè)條件在平直空間中沒有對(duì)應(yīng)的公式，一定會(huì)導(dǎo)致不自洽。在閔氏空間中，式（5.4.8）簡(jiǎn)化了自由場(chǎng)理論，我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)在T+-=0中可以存在異常，如果世界片是彎曲的。這個(gè)異常出現(xiàn)在26-維時(shí)空中，具有T+-～R(2)的形式，R(2)是世界片的標(biāo)量曲率。這是一種相對(duì)溫和的異常。若式（5.4.8）是給定幾何條件的世界片上的公式，則R(2)是世界片坐標(biāo)σ和τ的c-數(shù)的函數(shù)。在時(shí)，用式（5.4.8）描述相互作用的非線性理論，將在T+-中遇到更強(qiáng)烈的q-數(shù)異常。

5.4.2　外爾不變量

根據(jù)的形式，式（5.4.8）中的尺度不變性崩潰，因?yàn)椴淮嬖诩饶芤?guī)范式（5.4.8）又能保留共形不變性的方法。泡利-維拉斯正則化當(dāng)然會(huì)違反尺度不變性。式（5.4.8）能夠通過維度的正則化實(shí)現(xiàn)規(guī)范化，但這違反了尺度不變性，因?yàn)槭剑?.4.8）僅在兩維中尺度不變。

在量子場(chǎng)理論中，尺度不變性的崩潰通常由貝塔函數(shù)描述。依賴于貝塔函數(shù)定義中使用的形式體系，非零貝塔函數(shù)產(chǎn)生于費(fèi)曼圖中的紫外發(fā)散。在弦理論中，基本問題不是貝塔函數(shù)和紫外發(fā)散，而是在彎曲空間中式（5.4.8）是不是外爾不變量。外爾不變量意指整體尺度不變性，反過來(lái)又指貝塔函數(shù)的消失和紫外收斂。歷史上，Callan-Symanzik方程曾通過與能量-動(dòng)量張量相關(guān)聯(lián)的瓦德恒等式推導(dǎo)出來(lái)，換言之，瓦德恒等式與外爾變換相聯(lián)系。

兩種計(jì)算，即有限性和外爾不變量本質(zhì)上是等價(jià)的。我們將看到，在彎曲的世界片上要求外爾不變性必然意味著重新正則化群貝塔函數(shù)的消失及由此帶來(lái)的有限性。

首先討論展開式參數(shù)在單圈計(jì)算中是什么。式（5.4.8）表明在很小的的極限中，作用量巨大，量子修正很小。量子微擾理論是一個(gè)冪為的展開式。重新標(biāo)度式（5.4.8）中的時(shí)空度規(guī)，即將式（5.4.8）中的代之以

表明大t等價(jià)于小。因?yàn)榱餍?span id="q2peosx" class="emphasis_italic">M上的所有長(zhǎng)度在式（5.4.12）變換下都被因子t重新標(biāo)度，大t被限制，其中M的尺寸在的單位中非常大。無(wú)量綱展開式參數(shù)是，其中r是特征長(zhǎng)度或者M的“半徑”。選擇一種新的規(guī)范

外爾對(duì)稱性的可能破缺需要正則化，這通過在(2+ε)-維時(shí)空中的工作可以實(shí)現(xiàn)。將式（5.4.13）代入式（5.4.2），有

我們將調(diào)查?依賴在極限ε→0時(shí)是否消失的問題。在這個(gè)過程中，我們將看到該條件與紫外有限的條件相聯(lián)系。

如同量子場(chǎng)理論對(duì)式（5.4.8）式的處理，其中的量子場(chǎng)為Xμ(σ,τ)，第一步是挑選真空期望值，記作，并且圍繞該值展開量子場(chǎng)，得

式中，xμ是量子漲落。在這種背景場(chǎng)方法的更一般的應(yīng)用中，經(jīng)典背景取作任意σ和τ的任意函數(shù)，σ和τ滿足經(jīng)典場(chǎng)方程而不是我們選擇的常數(shù)解。我們將以Xμ=為展開中心展開度規(guī)。若式（5.4.8）是一個(gè)“幾何”展開，在場(chǎng)變量

重新定義下的不變量伴隨著合適的時(shí)空度規(guī)張量的變換，則上述展開容易處理并且實(shí)用。如果需要的話，重新定義這樣的場(chǎng)變量，我們可以假定在時(shí)空流形M上坐標(biāo)Xμ是在點(diǎn)的局域慣性坐標(biāo)。這一變換的雅可比不影響后面的結(jié)果。在這類坐標(biāo)中，有一個(gè)展開式：

式中，是時(shí)空流形M在點(diǎn)處的黎曼張量。用場(chǎng)變量的這一選擇及展開式eεφ=1+εφ+…進(jìn)行整理，式（5.4.14）取形式

如圖5.7（a）所示，在核查有效作用量的外爾不變量的過程中，也存在著形如圖5.7（b）的貢獻(xiàn)，其中“×”表示把一個(gè)帶有系數(shù)εφ的動(dòng)力學(xué)項(xiàng)插入。

顯然，將式（5.4.18）與式（5.4.14）進(jìn)行比較，積分符號(hào)前面的“-1/2π”和積分變量沒變，被積函數(shù)中的。的冪展開式等價(jià)于式（5.4.18）中x的冪展開式。例如，M的曲率張量具有1/r2階，于是最低階計(jì)數(shù)項(xiàng)恰由收縮兩個(gè)得到，出現(xiàn)在式（5.4.18）的x的四次項(xiàng)中。有關(guān)費(fèi)曼圖如圖5.7（a）所示。在維度正則化中，極點(diǎn)僅產(chǎn)生于對(duì)數(shù)發(fā)散積分。收縮式<>給出了對(duì)數(shù)發(fā)散積分，而收縮式<>給出了二次發(fā)散積分，它在一維正則化中被丟棄。這類二次發(fā)散積分具有物理意義。內(nèi)積等于一個(gè)二次發(fā)散積分，即

因此，在式（5.4.18）的定義中，存在單圈有效作用量的極點(diǎn)。和引起的非零貝塔函數(shù)一樣，這類極點(diǎn)能導(dǎo)致在極限→0時(shí)幸存的依賴。例如，矩陣元的生成子為

由式（5.4.18）推導(dǎo)出來(lái)的單圈有效作用量中的極點(diǎn)，可能導(dǎo)致φ依賴關(guān)系在→0時(shí)幸存下來(lái)。式（5.4.20）就是一個(gè)例子。當(dāng)→0有一個(gè)極點(diǎn)時(shí)，極點(diǎn)來(lái)自式（5.4.19）的<>收縮，當(dāng)→0時(shí)有

式中，是M流形的里奇張量，用的黎曼張量來(lái)定義。將式（5.4.21）代入式（5.4.18），給出一個(gè)有限的依賴項(xiàng)，在→0時(shí)有

然而當(dāng)極限ε→0時(shí)在單圈有效作用量中，式（5.4.18）中的動(dòng)力學(xué)項(xiàng)也會(huì)產(chǎn)生其他的?依賴項(xiàng)。例如，對(duì)x的二次方的有效作用量存在另一個(gè)單圈貢獻(xiàn)，如圖5.7（b）所示。由于1/ε極點(diǎn)恰好抵消，隨著ε因子在?依賴動(dòng)力學(xué)項(xiàng)中的插入，再次導(dǎo)致了有限的?依賴。圖5.7中兩項(xiàng)貢獻(xiàn)之和的?依賴項(xiàng)消失。

分部積分之后，這些項(xiàng)導(dǎo)致非重整化有效作用量的凈?依賴，而這種有效作用量再次正比于式（5.4.22）。為了得到正確的ε→0時(shí)的極限，我們?nèi)孕枰卣?span id="ia94yva" class="emphasis_italic">?依賴的ε極點(diǎn)項(xiàng)。這樣的極點(diǎn)項(xiàng)在圖5.7（a）的一個(gè)單圈中產(chǎn)生，但是具有4個(gè)外部的場(chǎng)。后者有助于在式（5.4.18）中對(duì)耦合的重整化。這是非線性西格瑪模型的重要特征：這兩個(gè)無(wú)窮大可以被吸收到波函數(shù)的重整化

以及時(shí)空度規(guī)的重整化

中。將式（5.4.23）、式（5.4.24）代入式（5.4.18），以恢復(fù)由于ε因子的取消具有系數(shù)εφ的項(xiàng)。此外，應(yīng)該增加局域計(jì)算項(xiàng)以消除任何產(chǎn)生于單圈的引力異常。計(jì)算這樣的異常，要考慮對(duì)<hμνhρσ>的單圈修正。它們產(chǎn)生了背景獨(dú)立的項(xiàng)，這些項(xiàng)在26-維時(shí)空中被幽靈的貢獻(xiàn)抵消。綜合所有?依賴項(xiàng)的貢獻(xiàn)，給出一個(gè)有效作用量，當(dāng)D=26時(shí)有

式中，Xμ由式（5.4.23）給出。當(dāng)

時(shí)，達(dá)到這個(gè)階數(shù)，式（5.4.24）會(huì)導(dǎo)致一個(gè)?獨(dú)立的外爾不變的量子理論。式（5.4.24）中度規(guī)的重整化意味著，存在一個(gè)由式（5.4.27）給出的單圈貝塔函數(shù)：

我們知道，在具有n個(gè)耦合常數(shù)的理論中，存在n個(gè)貝塔函數(shù)，它們互相耦合。類似地，在存在耦合函數(shù)的理論（該理論是一個(gè)連續(xù)的無(wú)限數(shù)目的耦合）中存在一個(gè)依賴于相同自由度的貝塔函數(shù)。由式（5.4.27）可知，單圈貝塔函數(shù)消失的條件或者等價(jià)條件為。所謂等價(jià)條件，是指有效作用量中單圈?依賴項(xiàng)，即式（5.4.23）和式（5.4.24）消失的條件。這與外爾不變量的有效作用量條件相同。這兩種闡述由下列事實(shí)相聯(lián)系：貝塔函數(shù)是能量-動(dòng)量張量之跡。

5.4.3　共形不變量和運(yùn)動(dòng)方程

我們發(fā)現(xiàn)的方程，即是大家熟悉的愛因斯坦真空?qǐng)龇匠?。以這種方式產(chǎn)生的愛因斯坦場(chǎng)方程僅是意外嗎？

一方面，在研究物理理論時(shí)，我們有資格強(qiáng)加的唯一方程是運(yùn)動(dòng)方程，在量子水平上為最小量子有效勢(shì)方程。另一方面，如果式（5.4.2）在弦理論中有意義，則要求外爾為不變量或者貝塔函數(shù)消失。貝塔函數(shù)消失的條件一定是弦理論需要的，該條件必須與運(yùn)動(dòng)方程一致，如果它具有任何合理的物理解釋。因此，在事后看來(lái)，我們可以松一口氣了，式（5.4.26）為最低階貝塔函數(shù)的消失提供了合理的解釋，解釋為對(duì)引力場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)方程的長(zhǎng)波近似。若弦理論是有物理意義的，則式（5.4.26）必須如此解釋。

貝塔函數(shù)及外爾不變性的崩潰，是我們已經(jīng)計(jì)算過的，其僅取決于量子場(chǎng)［式（5.4.2）］的短距離行為。同樣的短距離行為發(fā)生在任何拓?fù)涞睦杪嫔?。?dāng)外爾不變量約束式（5.4.2）時(shí)，我們能夠在黎曼面上計(jì)算來(lái)自式（5.4.2）的路徑積分，這對(duì)應(yīng)于樹圖或者弦理論的經(jīng)典近似，也可以在更高的屬面上，對(duì)應(yīng)于量子修正。這建議，式（5.4.2）的外爾不變量可以解釋為尋找弦理論經(jīng)典解的條件（外爾不變的黎曼面上的路徑積分），從這里出發(fā)我們擴(kuò)展到計(jì)算量子修正。

現(xiàn)在我們嘗試更直接地證明式（5.4.2）的外爾不變性對(duì)應(yīng)于尋找經(jīng)典解。考慮具有場(chǎng)的任一物理理論。我們通過選擇真空期望值

并且寫出：

在攝動(dòng)理論中來(lái)描述真空態(tài)。式中，是量子漲落。所以人們計(jì)算之積的真空期望值，以描述散射振幅：

在弦理論中，存在頂點(diǎn)算符對(duì)應(yīng)于每個(gè)場(chǎng)。這些算符的性質(zhì)已經(jīng)在第1章和第4章中討論過。在弦理論中，式（5.4.30）類于：

盡管試（5.4.30）和式（5.4.31）的形式相似，但是它們之間存在著明顯的區(qū)別：式（5.4.30）的期望值是在時(shí)空中計(jì)算的，而式（5.4.31）的期望值是在弦世界片上計(jì)算的。

對(duì)于n≥4，式（5.4.30）和式（5.4.31）都描述散射振幅；對(duì)于n=3，它們都描述頂點(diǎn)修正；對(duì)于n=2，它們都描述質(zhì)量轉(zhuǎn)移。那么當(dāng)n=1時(shí)呢？在場(chǎng)理論中，期望值An對(duì)于n=1具有基本的重要性。它的消失，即

是候選的真空態(tài)。以真空態(tài)為展開中心，量子場(chǎng)的期望值是經(jīng)典場(chǎng)方程的一個(gè)解，或者說是量子水平上有效勢(shì)的極值。式（5.4.30）和式（5.4.31）的對(duì)比表明，對(duì)應(yīng)的陳述必須采用弦理論。弦理論中經(jīng)典解的條件（或量子水平上有效勢(shì)的極值）必須是

<V>=0

（5.4.33）

式中，V是對(duì)應(yīng)于任何物態(tài)的頂點(diǎn)算符。

現(xiàn)在我們?cè)噲D解釋，為什么愛因斯坦場(chǎng)方程會(huì)出現(xiàn)在式（5.4.26）中，為什么世界片共形不變性聯(lián)系著運(yùn)動(dòng)方程。特別是，我們將證明，在弦理論中的樹水平上式（5.4.33）是世界片共形不變的一個(gè)結(jié)果。想法是非常簡(jiǎn)單的。例如，考慮閉弦，經(jīng)典水平上的世界片是一個(gè)球，它能被立體地投影到x-y平面上。在評(píng)估式（5.4.33）時(shí)，我們可以假定頂點(diǎn)算符V被嵌入x=y=0平面。式（5.4.8）的共形不變性特別意味著，在尺度變換

下的不變性。一個(gè)物理閉弦頂點(diǎn)算符V具有維數(shù)2，而且這類變換在式（5.4.34）的情況下為

V→V/λ2

（5.4.35）

式（5.4.34）的不變性意味著

<V>=<V/λ2>

（5.4.36）

式（5.4.36）表明，<V>=0。

該論點(diǎn)中有幾個(gè)問題需要評(píng)論。首先，式（5.4.31）中的頂點(diǎn)算符都是殼上物態(tài)的頂點(diǎn)算符?？雌饋?lái)，弦理論中不存在式（5.4.31）真正的自然脫殼連續(xù)性，也就是說，它們具有與殼上公式相似的優(yōu)雅和簡(jiǎn)單。式（5.4.32）中及類似式（5.4.33）的假定的弦理論（離殼）中，算符和V當(dāng)然要在零動(dòng)量處進(jìn)行評(píng)估。零動(dòng)量?jī)H是殼上無(wú)質(zhì)量粒子的動(dòng)量。于是看起來(lái)我們已經(jīng)在式（5.4.33）中發(fā)現(xiàn)了明智的方法，僅在無(wú)質(zhì)量外部態(tài)的情況中核查弦理論中的運(yùn)動(dòng)方程。

這個(gè)問題的解答是有啟發(fā)性的。如果我們嘗試在量子場(chǎng)理論中圍繞被錯(cuò)誤辨識(shí)的某個(gè)問題展開討論，那么其中不遵守式（5.4.32）的情況會(huì)發(fā)生嗎？在這種情況中，“蝌蚪”被插入到費(fèi)曼圖中，如圖5.8（a）所示。“蝌蚪”表示場(chǎng)的期望值的改變，如果在有效的真空態(tài)附近存在轉(zhuǎn)移，那么“蝌蚪”的總和將無(wú)效的真空態(tài)轉(zhuǎn)移到有效的真空態(tài)。質(zhì)量為M的粒子?的一個(gè)“蝌蚪”正比于：

g/M2

（5.4.37）

式中，g是?粒子發(fā)射的耦合常數(shù)；因子1/M2來(lái)自?的傳播子1/(k2+M2)，已經(jīng)在kμ=0處評(píng)估了“蝌蚪”的適宜值。若耦合十分微弱（對(duì)于強(qiáng)耦合，圍繞著經(jīng)典解擴(kuò)張，用途不大），對(duì)于任何非零M，“蝌蚪”很小?！膀蝌健敝灰苄【褪菬o(wú)害的討厭，僅會(huì)帶來(lái)對(duì)有效真空態(tài)的微小移動(dòng)。

在弦理論中會(huì)發(fā)生什么呢？在弦理論中，“蝌蚪”自動(dòng)包含在任意計(jì)算中，如圖5.8（b）所示，因?yàn)樵黾拥摹膀蝌健鼻度氲絺鞑サ南抑胁⒉桓淖兿业耐負(fù)浣Y(jié)構(gòu)。正如我們已經(jīng)看到的，大質(zhì)量粒子的“蝌蚪”很?。ㄔ谌躐詈象w制中，攝動(dòng)展開有意義），在弦理論中真的不需要核查巨量態(tài)的運(yùn)動(dòng)方程，因?yàn)檫@些方程若不被滿足，導(dǎo)致的結(jié)果很小。由于“蝌蚪”在真空中的無(wú)害移動(dòng)，這些“蝌蚪”在任何情形下都自動(dòng)地包含在計(jì)算中。弦理論在S矩陣中有其根源，為了與此一致，沒有簡(jiǎn)單的方法來(lái)回答“誰(shuí)的答案是不需要的”這一問題，就像“是否大量粒子遵守其運(yùn)動(dòng)方程”一樣。另外，無(wú)質(zhì)量粒子的“蝌蚪”總是危險(xiǎn)的，相應(yīng)地存在一個(gè)好方法去探測(cè)這類“蝌蚪”，即式（5.4.33）。

為什么上述論證僅限于樹水平的弦理論呢？論點(diǎn)中必不可少的是，在黎曼面上或者x-y平面上式（5.4.34）存在，這是一個(gè)共形變換（它在世界片度規(guī)上引起的變化由外爾尺度重新標(biāo)度吸收），但不是等距同構(gòu)變換。對(duì)于非球面的閉弦圖，沒有這種類似物。例如，在圓環(huán)上，或者RP2僅共形變換是剛體運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)并不給出這個(gè)論點(diǎn)中使用的非平凡的比例定律，即式（5.4.33）。

當(dāng)包含開弦時(shí)，會(huì)發(fā)生什么呢？開弦的樹水平世界片是一個(gè)圓盤，它能被共形地映射到上半平面。在x=y=0處，將開弦頂點(diǎn)算符嵌入上半平面的邊界。在開弦理論中，基于式（5.4.34）的尺度討論表明，恰如閉弦中的情況，共形不變意味著“蝌蚪”的消失，在論證中唯一的變化就是，因?yàn)殚_弦頂點(diǎn)算符具有共形維數(shù)1，所以式（5.4.35）和式（5.4.36）中的λ-2被λ-1替代。

如果是一對(duì)開弦和閉弦，那么情況是不同的。例如，閉弦頂點(diǎn)算符被嵌入到上半平面上的一個(gè)內(nèi)點(diǎn)x=0且y≠0處。為了將一個(gè)閉弦的頂點(diǎn)算符耦合為開弦（上半平面），而不是閉弦（整個(gè)平面），式（5.4.36）被

<V(λy)>=<λ-2V(y)>

（5.4.38）

替代。這并不意味著“蝌蚪”的消失，僅意味著<V(y)>正比于y-2。于是，閉弦“蝌蚪”在上半平面是非零的、環(huán)面RP2，在任何世界片，除了平面（或者黎曼球）。我們將在第8～10章廣泛地遇到這類“蝌蚪”。

下面進(jìn)行進(jìn)一步的討論。引力子和伸縮子頂點(diǎn)算符都具有的形式為

k2=0。極化張量對(duì)稱且滿足：

以便使式（5.4.39）具有正確的共形維數(shù)。在引力子的情況中，是無(wú)跡的，因?yàn)檑E描述自旋為零的粒子。注意到極化張量被定義為

式中，εμ是任意矢量，滿足ε·κ=0，保持式（3.4.40）的性質(zhì)。該改變對(duì)應(yīng)于縱向極化引力子，它是從物理過程中解耦出來(lái)的，作為殼上規(guī)范不變量的結(jié)果。

在伸縮子的情況中，可以假定～，但是這并不滿足式（5.4.40）。這可以通過選擇式（5.4.42）來(lái)克服。

式中，是任意矢量，滿足和。式（5.4.42）中的后兩項(xiàng)對(duì)應(yīng)于從物理過程中解耦的縱向部分。除了在處，引力子和伸縮子明顯地對(duì)應(yīng)于頂點(diǎn)算符。然而，在式（5.4.33）中，我們恰恰工作在處，式（5.4.40）和式（5.4.42）是兼容的，于是我們沒有足夠的頂點(diǎn)算符以獨(dú)立地探測(cè)引力子和伸縮子場(chǎng)的所有分量的運(yùn)動(dòng)方程。作為結(jié)果，我們本質(zhì)上已經(jīng)核查了所有無(wú)質(zhì)量場(chǎng)的“蝌蚪”，除了1。利用比安基恒等式可以證明，一個(gè)“丟失的”方程等價(jià)于必要條件，即維拉宿異常c應(yīng)該具有修正值。

5.4.4　弦理論對(duì)于廣義相對(duì)論的修正

直截了當(dāng)?shù)兀辽購(gòu)母拍钌衔覀儗?dǎo)出對(duì)應(yīng)于廣義相對(duì)論的弦理論。愛因斯坦真空?qǐng)龇匠?span id="v2k7uyw" class="emphasis_bold">Rμν=0對(duì)應(yīng)于單圈貝塔函數(shù)，即式（5.4.27）的消失。顯然，，而愛因斯坦場(chǎng)方程的修正也能通過對(duì)單圈貝塔函數(shù)的修正計(jì)算而發(fā)現(xiàn)。包括單圈和雙圈的貢獻(xiàn)，貝塔函數(shù)是

式（5.4.43）中第二項(xiàng)的計(jì)算是非平凡的。然而，明顯的是，由于式（5.4.8）中的耦合常數(shù)（在黎曼標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)中）正比于黎曼張量及其導(dǎo)數(shù)，雙圈貝塔函數(shù)通過式（5.4.43）中的第二項(xiàng)給出。于是，第二項(xiàng)是對(duì)廣義相對(duì)論的弦的修正，該項(xiàng)在，或者M的半徑變得非常大而正比于的方根時(shí)消失。

5.4.5　其他模式

現(xiàn)在我們對(duì)背景場(chǎng)中的玻色弦進(jìn)行更系統(tǒng)的處理，其作為背景的一部分，包括閉弦的全部無(wú)質(zhì)量態(tài)（不僅是引力子）。相關(guān)的閉弦場(chǎng)是反對(duì)稱張量和伸縮子，以及引力場(chǎng)。

我們寫下關(guān)于場(chǎng)的最一般的作用量，這個(gè)場(chǎng)在弦世界片再參量化時(shí)不變，也可以通過功率計(jì)數(shù)重整化。后者的條件意味著在作用量的每一項(xiàng)中必然嚴(yán)格地存在兩個(gè)世界片的導(dǎo)數(shù)。一個(gè)可能的項(xiàng)是我們已經(jīng)研究過的作用量，即

它包含26-維引力的效應(yīng)。該式與式（5.4.2）、式（3.4.8）相仿，只是，是最一般化的作用量，在弦世界片的再參數(shù)化之下不變。第二個(gè)作用量是

該式使用了世界片反對(duì)稱張量，給出了一個(gè)包括反對(duì)稱張量場(chǎng)的方法。因子α’通常取值1/2，以便使式（5.4.44）和式（5.4.45）無(wú)量綱。的取值為；實(shí)際上是張量密度，因?yàn)?img alt="img" class="picture_formula_line" height="21" src="https://epubservercos.yuewen.com/3B6B02/23020634201633406/epubprivate/OEBPS/Images/txt006_534.jpg?sign=1755331962-TPqJiCTfwBv3hq0Ngqrm9MuANgmNBTCG-0-1d54f080c994db93ef7a07f75757af1e" width="56">像張量那樣變換。注意，在規(guī)范變換

下，式（5.4.45）中的被積函數(shù)通過總散度變化。我們?nèi)孕枰獙ふ乙环N方法，在西格瑪模型中合并伸縮子場(chǎng)Φ。

世界片李奇標(biāo)量R(2)包含世界片度量h的兩個(gè)導(dǎo)數(shù)，所以乍一看兩維愛因斯坦-赫爾伯特作用量

是在世界片理論中能夠考慮的可重整化和再參量化的不變量項(xiàng)。然而，這是一種錯(cuò)覺。因?yàn)閷?duì)h，式（5.4.47）實(shí)為拓?fù)洳蛔兞?，它沒有給二維度規(guī)h提供動(dòng)力?？吹绞剑?.4.47）是拓?fù)洳蛔兞浚紫茸⒁馊魏尉S度的黎曼張量遵守：

在兩維時(shí)空中，二階反對(duì)稱張量必須正比于，于是正比于R(2)，它遵守：

利用縮約式（5.4.49），可得

此外，式（5.4.47）在任何維度的變化中，度規(guī)張量的無(wú)窮小變化為

從式（5.4.50）的觀點(diǎn)看，它在兩維時(shí)空中為零。這并不意味著式（5.4.47）在兩維時(shí)空中為零，只是意味著式（5.4.47）在世界片度規(guī)中在任意變化下不變，僅依賴于弦世界片的拓?fù)洹?/p>

我們得到的標(biāo)準(zhǔn)結(jié)果表明，若弦世界片是屬g的緊致黎曼曲面，則屬g與數(shù)量χ的關(guān)系是

數(shù)量χ稱為二維流形的歐拉特性數(shù)，也是兩維愛因斯坦-赫爾伯特作用量；g是緊致黎曼曲面的屬。

作為世界片的拓?fù)洳蛔兞浚剑?.4.47）并非真的對(duì)西格瑪模型做出了貢獻(xiàn)。然而，標(biāo)量是無(wú)量綱的，在兩維中我們可以將式（5.4.47）推廣為更一般的可重整化的相互作用量：

在西格瑪模型中對(duì)26-維的伸縮子場(chǎng)，這證明是一個(gè)正確的方法。

現(xiàn)在考慮具有作用量S=S1+S2+S3的西格瑪模型，并探測(cè)共形不變量。于是我們?nèi)∈澜缙亩纫?guī)的形式為

工作在(2+ε)-維時(shí)空中，我們要計(jì)算有效作用量的?依賴，要回答在極限ε→0時(shí)該項(xiàng)是否消失。在的最低非平凡近似中，外爾不變性保持在二維的條件變?yōu)?/p>

式中，

是一個(gè)三階反對(duì)稱張量場(chǎng)強(qiáng)度，該強(qiáng)度在規(guī)范變換下不變（D-維中協(xié)變導(dǎo)數(shù)記作Dμ，在世界片上記作）。如果時(shí)空維數(shù)不限于26維，則式（5.4.55）中的第三個(gè)方程具有一個(gè)附加項(xiàng)，即(D-26)/3。

對(duì)這一切的關(guān)鍵考驗(yàn)是，式（5.4.55）必須有合理的物理解釋。事實(shí)上，容易看到它們是來(lái)自26-維作用量的歐拉-拉格朗日方程：

因此，式（5.4.56）描述了玻色閉弦無(wú)質(zhì)量模的相互作用量的長(zhǎng)波極限。如果需要，式（5.4.56）中的引力作用量可放到中，而非中，通過吸收時(shí)空度規(guī)定義中合適的方冪實(shí)現(xiàn)。弦理論對(duì)式（5.4.56）的修正可以通過計(jì)算西格瑪模型攝動(dòng)理論的高階修正進(jìn)行計(jì)算，恰如純引力情況。

我們已經(jīng)討論了具有兩個(gè)世界片導(dǎo)數(shù)的西格瑪相互作用項(xiàng)，對(duì)應(yīng)于無(wú)質(zhì)量場(chǎng)的頂點(diǎn)算符。在西格瑪模型的拉格朗日中，也有可能包括其他算符。一個(gè)特別簡(jiǎn)單的可能性是，在拉格朗日中包括一個(gè)非導(dǎo)數(shù)的相互作用項(xiàng)，S是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)。鑒于超光子頂點(diǎn)算符是非衍生物，包含的相互作用對(duì)應(yīng)于給出一個(gè)超光子場(chǎng)的期望值。在玻色西格瑪模型中，這樣做是很自然的，而如果不這樣做的話可能是不自然的。在計(jì)算單圈西格瑪模型的貝塔函數(shù)時(shí)，甚至在純引力情況中，由于它們?cè)诰S度正則化中的不相關(guān)，我們忽略了遇到的二次發(fā)散。二次發(fā)散確實(shí)反映出下列事實(shí)：在西格瑪模型中，可能包括一個(gè)零維非衍生物相互作用量。

5.4.6　伸縮子期望值和弦耦合常數(shù)

本節(jié)主要研究弦在背景場(chǎng)中的傳播，并給出了許多深刻見解。下面舉例說明這些深刻見解，這些見解能夠通過考慮西格瑪模型得到。

若我們?cè)诓Ｉ]弦理論中考慮引力子散射（或者考慮任何閉弦模型的散射），則需要在每個(gè)相互作用頂點(diǎn)引入一個(gè)引力子耦合常數(shù)κ。具有M個(gè)外部引力子的樹圖有M-2個(gè)相互作用頂點(diǎn)，如圖5.9（a）所示，這時(shí)每個(gè)圈圖又增加了兩個(gè)頂點(diǎn)，如圖5.9（b）所示。于是，一個(gè)通常的圈圖正比于：

式中，M是外頂點(diǎn)算符的數(shù)目；g是屬的黎曼面，也是回路的數(shù)目；因子可被正則化的外頂點(diǎn)算符吸收。我們簡(jiǎn)單地使用而不是V作為弦態(tài)發(fā)射的頂點(diǎn)算符?，F(xiàn)在我們專注于對(duì)循環(huán)依賴因子進(jìn)行解釋。

除了，在26-維時(shí)空中它還有(長(zhǎng)度)12的維數(shù)。因此，乍一看閉玻色弦理論中包含一個(gè)任意的基本無(wú)維參數(shù)。但令人失望的是，若協(xié)調(diào)量子力學(xué)與引力，則涉及新的基本無(wú)維常數(shù)。幸運(yùn)的不是這種情況。我們回到前面的西格瑪模，它具有作用量S=S1+ S 2+ S 3。屬g表面的路徑積分包括配分函數(shù)：

這里需要強(qiáng)調(diào)的是，因子好像是式（5.4.57）需要的。要理解為什么玻色弦理論中不存在基本無(wú)維參數(shù)，關(guān)鍵是式（5.4.58）相對(duì)簡(jiǎn)單地依賴于伸縮子場(chǎng)Φ。回顧式（5.4.47）、式（5.4.52）和式（5.4.53），我們看到，在變換

之下，西格瑪模作用量隨

變化。式中，a為任意常數(shù)。式（5.4.58）的效果等價(jià)于重新定義的引力子耦合的

的效果。于是，的值能被吸收到真空希望值Φ的移動(dòng)中，不是理論的基本參數(shù)。

上面給出的結(jié)果也能夠在低能有效的作用下進(jìn)行核查。式（5.4.57）中包含引力耦合常數(shù)，是自由參數(shù)。實(shí)際上的值可在Φ值的移動(dòng)中被吸收（沒有改變的值，因?yàn)?img alt="img" class="picture_formula_line" height="13" src="https://epubservercos.yuewen.com/3B6B02/23020634201633406/epubprivate/OEBPS/Images/txt006_578.jpg?sign=1755331962-qzqBufWdHLfLwh0w4Dnu3wIeC745YUHr-0-fb6d3c934320b0d6b0c0b51d8d724e57" width="16">沒有出現(xiàn)在S3中）。這不是由一個(gè)基本無(wú)維參數(shù)標(biāo)記的單參數(shù)的理論族。玻色弦理論是一個(gè)單一的理論，在樹水平上具有單參數(shù)族的真空態(tài)，該真空態(tài)由無(wú)質(zhì)量標(biāo)量場(chǎng)Φ的任意期望值描述。