5.1　協變路徑積分量子化

自由場理論的作用量為

當約束存在時，它描述自由弦的傳播，其庫侖規范形式的作用量是

我們以在其他規范不變理論的量子化過程中使用過的方法對式（5.1.2）進行量子化，以下面的歐氏路徑積分開始：

5.1.1　法捷耶夫-波波夫幽靈

法捷耶夫-波波夫幽靈記作F-P幽靈。符號表示遍及3個獨立分量、的積分，需要為這個積分定義一個精確的測度，并且異常可能出現。為了維持式（5.1.3）的對稱性，尚無令人滿意的方法來定義測度。由于存在3個規范不變量，即兩個再參量化參數和一個外爾標度，所以需要選取一個規范切片，為的3個函數中的每一個做一個特殊選擇。通常的規范選擇為

在光錐規范中式（5.1.2）意味著：

在世界片再參量化之下，，規范條件式（5.1.3）變換為

證明：設有窮小坐標變換為，其中是協變導數，包括克里斯托菲算符。故。當α=β=“++”時得

同理可得

在路徑積分中，設定規范條件的程序，如式（5.1.3）。令G是弦世界片的再參量化群，Dg表示遍及群流形的積分，表示h被再參量化g轉換了的度規。路徑積分中的基本工具是

式中，因子是通常庫侖規范的行列式，因此積分需要等于1。庫侖規范路徑積分的下一步是在式（5.1.7）形式的路徑積分式（5.1.3）中嵌入1。這給出：

因為S是再參量化不變量，S[h,X]=S[hg,X]，所以式（5.1.8）中的被積函數在組合中僅依賴于h和g。因此，我們制造一個積分變量g和h與g和關聯的機會，并丟棄積分。現在該積分僅貢獻一個無限乘法因子。于是得

式中，δ函數容易處理，它們意味著積分約簡為上的一個積分，或者在式（5.1.4）中定義的?上等價。處理式（5.1.9）中的行列式更棘手。通常的方法是將行列式表示為反對易“幽靈”和“反幽靈”的積分。需要的公式可由來決定。顯然有

對于+→-也一樣。式（5.1.10）中的δ函數恰是坐標空間中的等量算符，、的行列式正是處理式（5.1.9）中的行列式所需要的。因此，為了表示式（5.1.9）的第一個行列式，引入一個反對易“幽靈”和一個“反幽靈”，其對易關系是

并且寫出（在標準化中吸收因子2）：

式（5.1.9）的第二個行列式表達為遍及“幽靈”和“反幽靈”的積分，即

用式（5.1.9）中的δ函數求解h，h是由式（5.1.4）中保形因子?定義的，而庫侖規范路徑積分變為

式中，作用量S包括式（5.1.12）、式（5.1.13）中定義的和式（5.1.1）自由場中有關的幽靈項。

接下來，討論式（5.1.14）中的D?積分。式（5.1.14）中的被積函數獨立于?，故D?積分僅給出了一個無關緊要的覆蓋全體的無限因子。事實上，由于正則化問題，?的去耦只適用于26-維時空。這里共形異常消除。然而，驗證這種結論需要某些工具，我們還沒有發展出來。我們暫時簡單地假定D?積分可以丟棄，而研究包括“鬼魂”在內的相關理論。首先證明，如果包括“鬼魂”的貢獻，在26-維時空中維拉宿代數中的c-數異常消失。然后在5.2.3中我們證明，對于?在26-維時空中的解耦，這是等價的。式（5.1.14）中的積分在物理上可能是合乎情理的，即使?依賴不能抵消。這種可能性激發了一些非常巧妙的建議，但是保留了不確定性。在任何情況下，對于超弦的統一，?依賴在其中消失的臨界維數都是首選。本書中，我們不糾纏臨界維數之外的超弦理論分析。

5.1.2　復世界片張量計算

在試圖理解幽靈之前，在共形形式的二維度規中，理解黎曼幾何的基本公式很有用。使用歐幾里得幾何語言討論歐氏度規的弦世界片，雖非至關重要，卻會帶來很多方便。根據歐氏化的公式可以直接得達閔可夫斯基化的公式，反之亦然。這對以后發展歐幾里得繪景好像是至關重要的，因為這將導致黎曼幾何和復分析。世界片的度規至少局域放到了形式中，自然引入復坐標及其復共軛。當使用閔可夫斯基的世界片時，我們已經參考了早先的z和，如同。在z和坐標系中，矢量的分量是

進而，偏導的分量是

度規分量是和。不變線元是

證明：因為前面引入的復坐標是，其復共軛是，所以有，。因此線元為

指標的升降規則為

坐標的變化為z→，其中是z的全純函數，保持了度規的共形平直形式。它簡單地派生出：

式中，。一般地，一個張量有全純指標上、下，以及反全純指標上、下，其變換按照

進行，參考了全純（反全純）張量t的共形維。全純（反全純）張量通常可以丟棄而不會引起混淆。全純函數是復分析研究的主要課題。在復平面C中取值的函數，在每點復可微，表示函數無窮可微并可以用它的泰勒級數描述。解析函數經常可以和全純函數互相交換使用。一個在整個復平面上全純的函數稱為整函數。在一點a全純表示在a點可微，也表示某個中心為a的復平面的開鄰域可微。雙全純表示一個有全純逆函數的全純函數。當且僅當一個復函數全純時，滿足柯西-黎曼方程。z的所有復系數多項式函數、三角函數、指數函數也是全純函數。若一個張量的元素都是全純函數，則該張量稱為全純張量。

在通常的方法中，我們用克里斯托菲聯絡定義張量的協變導數：

黎曼曲率張量按照慣例定義為

關于共形平直度規的克里斯托菲聯絡的非零分量僅有

因此，具有n下或者上“+”指標的張量有

它們遵守：

由此可讀出關于共形平直度規的二維曲率標量為

現在，我們重新考慮關于幽靈c和反幽靈b的法捷耶夫-波波夫幽靈作用量。我們以對任何世界片度規有意義的方法寫出這個作用量，它不一定遵守保形規范。幽靈場可解釋為矢量場的分量。反幽靈場可以解釋為無跡對稱張量的分量。反過來說，通常對稱張量具有分量和，但是對無跡對稱張量消失。幽靈作用量現在可以寫作：

式中，幽靈場是逆變矢量場；反幽靈場是協變無跡對稱張量。幽靈場b和c是反對易量，即格羅茲曼值。

如同3.3.3節所討論的，世界片的能量-動量張量定義為

在利用式（5.1.27）推斷幽靈的貢獻時，必須包括式（5.1.29）中克里斯托菲聯絡的貢獻。此外，無跡的必須計算在內。考慮到這些因素，幽靈對能量-動量張量的貢獻為

式中，圓括號表示封閉的下標的對稱性，如(αβ)=(βα)；上標(c)表示幽靈的能量-動量張量。

作為無跡對稱張量，在上面描述的復合基中僅有的分量是。同樣適用于。例如：

我們也要注意在共形規范中式（5.1.29）簡化為

這與之前定義的法捷耶夫-波波夫幽靈作用量完全一致。

5.1.3　幽靈的量子化

式（5.1.33）意指b和c具有規范反對易關系的共軛自由度，即

在共形規范中，其運動方程是

式中，共軛，共軛。開弦邊界條件為在弦的端點處=，于是有

類似地，在弦的端點處要求，于是有

式中，是幽靈膜，應不與超弦玻色子區的反對易混淆。正則反對易關系是

對于閉弦，邊界條件恰是σ的周期性，故、具有獨立的模展開式，即

類似地，坐標包含模和。

這些公式中的b和c對稱地進入，如和。因為在平直世界片上，幽靈拉格朗日對稱地處理b和c，但在彎曲世界片上不是這樣的，由式（5.1.29）可以明顯地看出。同樣，b和c并不對稱地進入世界片能量-動量張量，這是由對于世界片度規的改變而導致的。即使在平直世界片上，由于它們以不同的方式在彎曲世界片上傳播，能量-動量張量處理b和c的方式也不相同。由式（5.1.31）和式（5.1.32）可確定世界片能量-動量張量的分量的形式為

將模展開式嵌入，并且在τ=0處提取傅里葉模，對開弦給出維拉宿生成子：

式中，J=2是反幽靈的共形維數（幽靈c具有共形維數J=-1）。我們已經囊括了自由參數J，而不僅是J=2，稍后我們將分析系統中b和c被反對易場的維數J和(1-J)取代。一般地，規范序要求式（5.1.45）中的m=0，這時有

當然，對閉弦也有第二套幽靈維拉宿生成子。Lm滿足通常的維拉宿代數：

式（5.1.47）具有異常項：

由此可以推導出：

證明：令，將其代入式（5.1.48）得

再令J=2，得

恰如第4章中所介紹的，確定異常的最簡單、最安全的方法是評估特定的矩陣元。例如，

給定維拉宿算符模展開式［式（5.1.45）］，我們可直接計算b和c的對易關系，而b、c的量化范圍對于幽靈和反幽靈是不同的。例如，對開弦σ=0表達式

分別有共形維數J=-1和J=+2，因為

我們定義對應于S0+Sgh的完整的維拉宿生成子為

注意，我們已經改變了L0的早期定義，故第0個約束現在是L0=0。增加的幽靈和物質對異常的貢獻是

顯然僅當D=26、a=1時，A(m)=0，這時我們的理論才是共形不變的。