引言

任何詩人，即便是最討厭數學的詩人，為了寫出亞歷山大式的詩行也不得不從1數到12。

——雷蒙·凱諾（Raymond Quéneau）

在我第一次坐下來寫這本書時，我遇到了一個有些荒唐的算術問題：如果這本書預計有250頁，一共9個章節，那么每章有幾頁？認真思考以后，我得出了結論：每章略少于30頁。我花了大約5秒的時間，對于人類來說，這樣的計算速度并不算慢，然而這卻遠遠比不上任何一臺電子計算器的速度。計算器不僅反應迅速，而且它得出的結果精確到了小數點后10位：27.777 777 777 8！

為什么我們的心算能力遠不如計算器的計算能力？我們是如何做到不通過精確計算就得出“略少于30頁”這樣接近的值的？這一過程甚至連最好的電子計算器都做不到。解答這些令人困擾的問題就是本書的主要目的，在此過程中，我們會面臨更多具有挑戰性的謎題：

·　為什么經過了多年訓練后，仍然有不少人不能確定7乘以8的結果是54還是64，或者是56？

·　為什么我們的數學知識如此脆弱，一次輕微的腦損傷就足以徹底破壞數感？

·　5個月大的嬰兒怎么會知道“1+1=2”？

·　像黑猩猩、老鼠和鴿子這樣沒有語言的動物，怎么可能也具備一些初級算術知識？

我的假設是，這些問題的答案必將回溯至同一個根源：腦的結構。我們進行的每一次思考和計算都源于大腦皮層中特異性的神經回路的激活。抽象的數學建構源于腦神經回路的協調運作，以及在人類產生之前，數百萬種動物的腦塑造和選擇了我們現有的數學工具。我們能了解神經結構給我們的數學活動帶來的限制嗎？

自達爾文以來，進化論一直都是生物學家的重要參考理論。就數學來說，生物進化和文化進化同樣重要。數學不是一成不變的，不是天賜的完美典范，而是隨著人類的研究探索不斷演化的。即便是我們現在所使用的再簡單不過的數字符號，也是歷經幾千年緩慢形成的。如今的乘法計算、平方根、實數集、虛數集以及復數集等概念也同樣如此，所有這些概念仍然保留著其在近代艱難誕生時所遺留的痕跡。

數學之所以會經歷如此緩慢的文化進化，應該歸結于一個非常特別的生物器官：人腦。受到自然選擇法則的支配，人腦本身就是更為緩慢的生物進化的典型產物。自然選擇的壓力塑造了眼睛的精密生理機制、蜂鳥翅膀的形狀、螞蟻這樣的小型“機器人”，同樣也塑造了人腦。年復一年，物種更替，大腦中涌現了越來越多特異性的心理器官，這些結構優化了大腦對大量感覺信息流的處理，并使生物反應更適應充滿競爭甚至充滿敵意的環境。

人腦中特異性的心理器官之一是一種原始的數字處理器，它部分預設了學校教學中所講授的算術內容。雖然聽起來不太可能，但是有些人認為“愚蠢或是邪惡”的動物，比如鴿子或老鼠，實際上在計算方面很有天賦。它們能夠在心理層面表征數量，并且能夠根據一些算術規則對數量進行轉化。研究這些能力的科學家認為，動物擁有一種心理模塊，一般被稱為“累加器”（accumulator），它能夠存儲不同的數量。在之后的章節中，我會向大家展示老鼠如何利用這個心理累加器來辨別由2個、3個或4個聲音組成的聲音序列，以及如何計算2個數量相加的近似值。累加器機制為感知覺開啟了一個全新的維度，通過這一維度，感知一系列物體的大致數量就變得像感知物體的顏色、形狀和位置一樣簡單。這種“數感”使人類以及其他動物都擁有理解數量意義的直覺。

托比亞斯·丹齊格（Tobias Dantzig）在他的著作中頌揚“數字是科學的語言”，并強調了它作為數量直覺的初級形式的重要性：“人類即便處于較低的發展階段，也擁有這樣一種技能，我將其稱為數感。這種技能使得人們在不需要運用直接知識的情況下，在一個客體被移除或加入一個小集合時，也能夠意識到這個集合發生了改變。”¹

丹齊格在1954年寫下了上面這段話。當時讓·皮亞杰的理論正引領著整個心理學領域，他的理論否認兒童擁有任何數學能力。直到20多年后，皮亞杰的建構主義才被徹底駁斥，而丹齊格的觀點則被證實：所有人，即便是在他們生命的第一年中，都擁有發展完好的數字直覺。后面我將剖析一些巧妙的實驗，它們展示了人類嬰兒遠非一無所知，他們從剛出生開始就掌握了一些零星的算術知識，堪比某些動物對數字的認知。僅6個月大的嬰兒就已經掌握了初步的加減法！

但是千萬不要產生誤解。顯然，只有成年人的腦才能夠意識到37是一個素數，或者知道如何計算π的近似值，嬰兒或動物是不可能做到這些的。事實上，這些能力仍然是某些文化背景中少數人的特權。嬰兒的腦無法體現數學的靈活性，它們只能在有限的范圍中運用少量的算術能力，更不必說動物的腦了。確切地說，動物的累加器不能處理離散量，而只能處理連續數量的估計值。鴿子永遠也無法分辨49和50，因為它們只能以一種近似的、不斷變化的方式來表征數量。對于動物來說，5加5并不等于10，而是10左右：可能是9、10或者11。如此低的數敏度和如此模糊的內部數字表征使動物無法形成有關精確算術的知識。動物受限于它們的腦結構，只能掌握近似算術。

然而，進化賦予人類一種額外的能力：創造復雜符號系統，包括口頭語言和書面語言。單詞和符號能夠區分意思相近的概念，這使得我們不必局限于近似值。語言使我們能夠表達無限多的數字，而在這些表達方式中，發展最完善的是阿拉伯數字，它們能夠表達和分離任何連續量。正因為這些表達方式的存在，我們才能將那些在數量上相似，但是在算術性質上卻截然不同的數字區分開來。也只有以此為基礎，才能夠構造出對兩個數字進行比較、相加或相除時的純形式化的法則。事實上，數字的產生并沒有直接參照其他具體的對象，而是有著獨屬于它自己的生命歷程，這樣，數學的“腳手架”才能越搭越高，越來越抽象。

然而，我們會發現這中間存在一個悖論。自從10萬年前智人出現至今，人類的大腦沒有任何實質性的改變。事實上，我們的基因通過隨機變異的方式只能發生緩慢和微小的進化，需要經過上千次失敗的嘗試才能從一片嘈雜中得到一個值得傳遞給下一代的有益基因變異。與此相反，文化的進化要迅速得多。任何想法、發明和進步，一旦在一些聰慧的頭腦中萌芽，就能通過語言和教育的方式傳播給所有人。這就是我們今天所知道的數學在短短幾千年間逐漸形成的方式。數字的概念由巴比倫人提出，由希臘人完善，由印度人和阿拉伯人精煉，由理查德·戴德金和朱塞佩·皮亞諾（Guiseppe Peano）形成公理，再由埃瓦里斯特·伽羅瓦（évariste Galois）進行概括，它從未停止過在不同文化中的演進，然而卻沒有要求對與數學有關的遺傳物質進行任何改進！從初步的估計來看，愛因斯坦的腦與在馬格德林時期⁽³⁾繪制拉斯科洞窟的那位藝術大師的腦沒有明顯區別。在小學學習現代數學的兒童所擁有的腦，起初的設計是為了在非洲大草原上生存。

我們如何使生物進化方面的惰性與閃電般快速發展的文化協調一致呢？非凡的現代工具，如正電子發射計算機斷層掃描（PET）和功能性磁共振成像（fMRI），使得我們能夠在活體人腦中獲得負責語言、問題解決和心算活動的腦回路的影像。我們會看到，當大腦面臨進化過程中沒有遇到過的任務，比如兩位數的乘法，它會調動一個龐大的腦區網絡結構，雖然這些腦區的原始功能與兩位數乘法無關，但是將它們結合起來就能夠達到目標。除了與老鼠和鴿子一樣的近似累加器，人腦中很可能不包含其他任何負責數字和數學任務的“算術單元”。然而，人腦通過運用其他替代回路彌補了這點不足，雖然這些回路只能起緩慢而間接的作用，但對這項任務卻或多或少是有用的。

因此，文化客體，比如書面文字或數字，可以被視為一種侵蝕原本用作他途的腦系統的“寄生物”。以文字閱讀為例，有時這個“寄生物”會極富侵蝕性，甚至能夠完全替代某個腦區原先的功能。因此，一些在其他靈長類動物中負責識別視覺對象的腦區，在能夠閱讀的人身上，則對識別字母和數字串起著不可替代的特異性作用。

由于所處的背景和時代不同，人腦可以計劃一場針對猛犸象的獵捕行動，或者構思對費馬大定理（Fermat’s last theory）的論證，這使我們不得不驚嘆于腦的靈活性。然而，這種靈活性不能被過高地估計。我認為腦回路的優勢和局限恰好決定了我們在數學學習方面的長處和短處。人腦，就像老鼠的腦一樣，在遠古時代就被賦予了對數量的直覺表征，這就是人類對處理近似值極具天賦的原因，同時也解釋了為什么“10大于5”的結果對于我們來說如此顯而易見。相反，我們的記憶與計算機不同，不是通過數位來表示，而是以觀念聯想的方式運作，這也許解釋了為什么我們在記憶由少量等式組成的乘法表時會如此困難。

正如數學家的大腦逐漸適應數學的要求那樣，數學對象也越來越適應大腦的限制。數學的歷史提供了充足的證據來證明人類的數字概念絕不是一成不變的，而是處于不斷進化的進程中。多少世紀以來，數學家們辛勤工作，通過擴大數字符號的普及性、增加其在各領域中的應用性，以及簡化其形式等方式，增進了數字符號的用途。與此同時，數學家們在不經意間開發出了一些使得數字符號能夠適應人腦結構限制的方法。雖然對于現在的兒童來說，幾年的教育就足以讓他們學會數字概念，但是我們不應該忘記，在這之前，我們經歷了好幾個世紀的完善才使這一系統的運行變得如兒童游戲一般輕而易舉。現在的一些數學對象之所以顯得十分直觀簡單，就是因為它們的結構非常契合人腦結構。但事情還有另一面，許多兒童覺得學習分數十分困難，這是因為他們的皮層機制抵制這種違反直覺的概念。

如果腦的基本結構會給我們理解算術帶來很大的限制，那么為什么一些兒童能夠在數學領域取得成功呢？高斯、愛因斯坦和斯里尼瓦瑟·拉馬努揚（Srinivasa Ramanujan）等杰出的數學家怎么會對數學對象如此熟悉？一些智商為50的“智障學者”（idiot savant）又是如何在心算方面表現出特殊才能的？我們是否不得不做出這樣的假設：一些人在出生時就擁有特殊的腦結構，或是擁有一種可以讓他們成為天才的生理素質？其實，只要仔細驗證，我們就會發現這是不成立的?？傊?，到現在為止，幾乎沒有證據可以證明，偉大的數學家和計算奇才被賦予了與眾不同的神經生理結構。與其他人一樣，數學家也要與步驟冗長的計算以及深奧的數學概念作斗爭，如果他們成功了，也只是因為他們在這個主題上投入了大量的時間，并且最終發現了完美的算法，這些巧妙的、任何人通過努力都能學會的快捷方法，巧妙地利用了人腦結構的長處而回避了其局限性。數學家們的獨特之處在于，他們對數字和數學表現出極大的、不間斷的激情。有時一種被稱為孤獨癥（autism）的腦部疾?。ū憩F為不能長期保持正常的人際關系）會助長這種激情。我相信，擁有同樣初始能力的兒童會因為他們對學科的喜愛或者痛恨而在數學學科中表現得出色或令人絕望。激情孕育天才。因此，無論兒童對數學的態度是積極的還是消極的，父母和老師都負有一定的責任。

在《格列佛游記》（Gulliver’s Travel）中，喬納森·斯威夫特（Jonathan Swift）這樣描述了位于巴爾尼巴比島（Balnibarbi Island）上的拉格多（Lagado）數學學校中所使用的奇特的教學方法：

我在一所數學學校，那里的教師使用一種對歐洲人來說完全無法想象的方式來教導學生。所有命題和論證都用著色藥劑制成的墨水清楚地寫在一塊薄餅干上。學生要空腹吞下這塊餅干，且在接下來的3天中除了面包和水不能吃其他任何東西。等到餅干消化以后，墨水就會帶著命題一起印刻在腦中。但是到目前為止其效果還無法判斷，一方面是因為含量和成分方面的問題，另一方面是因為兒童十分頑固，這個“大藥片”對于他們來說實在是太惡心了，所以他們總是偷偷溜到一邊，在“藥片”起作用之前就把它吐出來，他們也不會像“處方”上要求的那樣長時間不吃其他東西。

雖然斯威夫特的描述非?；恼Q，但是把數學學習比作同化作用（assimilation）⁽⁴⁾過程這個基本隱喻確實是合理的。歸根結底，所有的數學知識都會被納入大腦的生理組織中。兒童所修讀的任何一門數學課程都以數百萬突觸的變化為基礎，這意味著廣泛的基因表達和數十億個神經遞質和受體分子的形成，通過化學信號的調制來反映兒童對這個話題的關注程度和情感參與程度。人腦中的神經網絡并不是十分靈活的，特定的結構使得某些數學概念比起其他的概念更容易被“消化”。

我希望我在這里表述的觀點最終能夠引領數學教學的改進。一門好的課程應當考慮學習者大腦結構的優勢與劣勢。為了優化兒童的學習過程，我們應當思考教育和大腦發育會對心理表征的組織帶來什么影響。顯然，我們還遠未了解學習能夠在何種程度上改變我們的大腦機制。盡管現有的知識極少，但仍然有些用處。20年來，認知科學家們積累的關于大腦如何加工數學問題的結論至今還沒有成為公眾的共識，也沒有滲透到教育領域中。如果這本書能夠作為一種催化劑，促進認知科學和教育學之間的交流，我將會十分高興。

這本書將以生物學家的視角帶領讀者領略算術的世界，同時也不會忽視算術的文化組成。在第1章和第2章中，我會首先帶領大家了解動物和人類嬰兒的算術能力，繼而讓讀者相信，人類所擁有的數學能力早已出現在其他動物身上。在第3章我們會發現，其他動物用來加工數字的許多方式在人類成年人的行為中仍留有痕跡。在第4章和第5章中，通過觀察兒童學習計數和計算的方式，我們嘗試去了解人類如何克服原始的近似系統的局限，以及學習高等數學給靈長類動物的大腦帶來了怎樣的挑戰。這將為研究現有的數學教學方法，以及驗證它們在何種程度上適應人的心理結構提供一個很好的契機。在第6章中，我們將尋找能夠將普通人和計算奇才或年輕的愛因斯坦似的天才區分開來的特質。在第7章和第8章中，我將會帶領大家了解大腦皮層的溝回，負責計算的那些神經元回路就存在于這些溝回中，它們會因為損傷或腦血管疾病而失能，從而使人喪失基本的數感。第9章總結了書中的這些實驗數據在哪些方面影響了我們對于人腦和數學的理解。第10章則介紹了自第一版出版以來，快速發展的數學認知研究領域那些令人興奮的新發現。至此，我們的數學探秘之旅宣告結束。