前言

科學著作是無意間形成的時間膠囊。它沒有保質期，這就表明，在圖書出版之后的多年里，讀者可以運用他們的博聞廣識，對書中所提出的理論、事實和證據進行評估。《腦與數學》一書是我15年前在20多歲時完成的一本著作，它同樣也符合這一規律。

20世紀90年代初期，我開始著手撰寫《腦與數學》一書，幸運的是，當時對數量的研究尚處于初級階段，只有少數實驗室剛剛觸及這一領域的表層。一些研究者關注嬰兒如何感知物體的集合，一些研究者則關注學齡兒童學習乘法口訣表的方式，還有一些研究者則更關注腦損傷所引起的計算能力受損的患者的怪異行為。最后，還有一些研究者，比如我，為了弄清楚學生被問及簡單的算術問題（比如，6比5大嗎？）時哪些腦區會被激活，率先進行了腦成像研究。當時，我們之中只有少數人意識到，有朝一日，這些研究會匯聚為一個獨立的領域——數學認知領域，會通過多層面的技術來回答神經學家沃倫·麥卡洛克（Warren McCulloch）那個令人振奮的問題：

人能夠理解的數字是什么？能夠理解數字的人是什么樣的？

對《腦與數學》一書，我唯一的寫作目的是，整合能搜集到的有關人腦如何進行初級算術的所有事實，并證明一個實驗證據豐富、具有廣闊前景的全新領域正在萌芽。同時，我也希望此書能夠闡明古代哲學關于數學本質的爭論。在對這一新興領域的所有分支研究進行整合的那三年里，我認識到，這些復雜的研究可以整合為一個合乎邏輯的整體，因此，我的研究熱情與日俱增。對動物的研究表明，它們擁有加工近似數量的古老能力，這種“數感”在人類的嬰兒階段同樣存在，它賦予人類數量直覺。而諸如算盤或阿拉伯數字這樣的文化產物，則將這種直覺轉換為我們對符號數學的全面認知能力。因此，對數感的相關腦結構進行認真研究，顯然可以解釋人類對數學的理解，闡明進化過程，并將人類的數學能力與猴子甚至老鼠和鴿子的腦表征數量的方式聯系起來。

自15年前完成此書以來，一些創新性的研究以前所未有的力量推動著這個領域的發展。現在，數學認知是認知科學范疇中的一個成熟領域，它不再只專注于數量的概念和起源，而是拓展至代數、幾何等相關領域。《腦與數學》一書中僅僅概述過的一些研究主題，如今已經發展成全面完整的研究領域，如動物的數感、數值計算的腦成像研究、數學學習困難兒童的障礙本質等。其中最令人興奮的一個突破性進展，是在猴腦中發現了負責數量編碼的單個神經元，它們位于頂葉皮層的一個特定位置，這個區域對應于人類進行運算時所激活的腦區。另一個突飛猛進的發展，是這些知識在教育中的應用。我們開始理解學校教育如何培養學生對精確數量和算術的理解，以及如何用簡單的游戲和軟件幫助那些可能存在計算障礙的兒童。

重讀此書的第1版時，我欣喜地發現，盡管這些想法在15年前有幾分猜測性，但現在它們都已萌芽。既然這些研究已經證實了這些想法，我認為《腦與數學》一書應該再版了。誠然，1997年以來出版了許多優秀的書籍，其中有布賴恩·巴特沃思（Brian Butterworth）在1999年所著的《數學腦》（The Mathematical Brain）、拉斐爾·努涅斯（Rafael Nu?ez）和喬治·萊考夫（George Lakoff）⁽¹⁾于2000年所著的《數學來自哪里》（Where Mathematics Comes From），以及杰米·坎貝爾（Jamie Campbell）在2004年編寫的《數學認知手冊》（Handbook of Mathematical Cognition），但是沒有一本書囊括了如今我們對腦與數學的所有認識。

非常感謝我的代理人馬克斯·布羅克曼（Max Brockman）和約翰·布羅克曼（John Brockman）⁽²⁾，也非常感謝編輯阿比·格羅斯（Abby Gross）和奧迪爾·雅各布（Odile Jacob），是他們鼓勵我撰寫這本新版的《腦與數學》，并幫助我確定此書的撰寫形式。我們一致認為重寫舊版較為棘手，甚至有些冒失。重要的是，我們要讓讀者感受到這個領域在過去20年間是如何形成的，是什么激發了我們提出現在的假設和實驗方法，在此之后又取得了哪些進展，以及它如何充實或者駁斥了我們的理論（所幸后者不太多）。因此，我們所構思的第2版沒有改變過去的版本，但會運用新的文獻對其進行補充，尤其是會補充一個新的章節，以較長的篇幅勾勒出自第1版出版至今該領域中最重要的發現。過去15年間，這個領域經歷了巨大的發展，所以挑選將要收入最終章節的相關研究是一項艱巨的任務。確實，相關的科學發現不勝枚舉，我決定挑選能夠從大腦層面闡述算術的實質以及闡述如何進行算術教學的一小部分驚人的發現。

大多數數學家，或顯或隱，都是柏拉圖主義者（Platonists）。他們認為自己所探索的領域獨立于人類思維而存在，它比生命更古老，是宇宙結構的固有成分。偉大的數學家理查德·戴德金（Richard Dedekind）在他的專著《數的本質及其意義》（The Nature and Meaning of Numbers）中卻不這樣認為。他認為，數是“人類思維的自由創作”，是“純粹思維法則的直接產物”。我非常認同這一觀點，但是解釋證明這一觀點的重擔就落在了心理學家和神經科學家的肩上。他們需要弄清楚，一個僅僅由神經細胞構成的有限的大腦是如何運用這類抽象思維的。這本書能夠為解答這一引人入勝的問題做出些許貢獻。

斯坦尼斯拉斯·迪昂

2010年7月