第二章　“愛上幾何學”

史書里記載著很多人被數學知識所震撼的事件，其中最著名的莫過于以下這件發生在哲學家托馬斯·霍伯斯身上的軼事：

直到霍伯斯40歲之時，他才在機緣巧合之下真正審視了一番幾何學。在圖書館的桌上，一本歐幾里得所著的《幾何原本》攤開放著，展示著第一本書中第47條原理。霍伯斯一邊閱讀一邊發出諸如“上帝啊！”“這不可能！”之類的驚嘆。

這個例子充分展現了數學最神奇的魔力——那時的霍伯斯因為眼前的這些結論感到極為震撼，他甚至不敢相信自己。

當時，他看到的正是著名的畢達哥拉斯定理：如果a, b和c分別是直角三角形的三邊，同時c是它們中最長的那條，則a2+b2=c2。

不過霍伯斯并不是一個輕信他人一面之詞的人，所以他還閱讀了它的證明。也正是這個證明，連同其他讓他感到不可思議的結論一起，讓霍伯斯“愛上了幾何”。

那么現在，我們也將一同證明畢達哥拉斯定理。

我當然能想象得到，有些讀者可能會問：這么做有必要嗎？畢竟，畢達哥拉斯定理已經存在了超過2000年，并被世人所熟知。如果它是錯誤的，或者存在著什么瑕疵，早就應該有人發現了。

然而在數學里，這種觀點毫無價值。

無論如何，下面幾種簡潔而賞心悅目的證明過程幾乎可以給人帶來感官上的愉悅。

首先，讓我們畫一個邊長為a+b的正方形，再將剛才那個三邊分別為a, b和c的直角三角形沿著它的內部放置一圈（如上圖左邊所示）。正方形的中心正好留下一個邊長為c的小正方形。接下來，我們將剛才放置的四個直角三角形，想象成四塊位于深色地面上的白色地磚。移動它們到大正方形內新的位置（如上圖右邊所示）。現在，沒有被地磚蓋住的面積大小為a2+b2，并且和尚未移動地磚之前的未覆蓋區域面積一樣。

其結論就是：a2+b2=c2。

畢達哥拉斯定理的兩個特殊情況尤其有意思。

第一種是當一個直角三角形的非直角都等于45°，并且兩條直角邊長度為1，則斜邊長度為。這也是數學里計算2的平方根時常見的一種方法。

另一種特殊情況是，當一個直角三角形的非直角分別為30°和60°時，我們得到的結果如右圖：

但這些都只是特殊情況。畢達哥拉斯定理真正的強大之處在于它的廣泛適用性。無論高矮胖瘦，只要是個直角三角形，畢達哥拉斯定理都能在其身上準確無誤的適用。

我們如此堅信它是正確的，并不是因為某位世界著名的數學教授向我們保證畢達哥拉斯定理是正確的，而是因為我們剛剛一起見證了它的證明過程。

如果畢達哥拉斯定理是幾何世界里最著名的結論，那么第二著名的則肯定是計算圓形周長以及面積的公式。

也正是因為這兩個公式的出現，圓周率π=3.14159……這個擁有特殊值的常數第一次走進了數學的殿堂。在“基礎”數學中，π出現的地方都和圓形有關。

然而，當十七世紀中期的數學家們發現，π毫無征兆的大量出現在看似和圓形無關的地方時，你可以想想他們是多么的驚訝。

它們當中最著名的例子莫過于π和奇數之間一種奇妙的關系：

上圖中，等式右邊末尾的省略號代表我們可以一直按照這個規律不斷地加加減減，沒有盡頭。最早，沒人能夠很有把握地說這個式子的最終答案會接近一個固定的數值。

即便我們被告知這個答案是肯定的，那為什么這個數值又一定是呢？到底圓形和1，3，5，7，……這些奇數之間有什么關系呢？

正是諸如此類令人驚訝的內在聯系才讓數學變得如此迷人。

如今，幾何這門學科所涵蓋的內容，早已超越了直角三角形、圓形等等。甚至，在某些幾何分支學科中，包括長度、角度以及面積在內的各種概念都已完全消失。

其中的一個例子便是拓撲學，一項類似“橡膠板”的幾何學科。拓撲學里經常討論的一個問題便是：某些幾何圖形狀的物體是否能“平滑”的變形成其他的形狀。

通常這類問題解決起來極為困難，甚至得到的結果與人們的直覺相左。

比如，首先讓我們觀察以下兩個呈幾何狀的物品，然后在腦子里問問自己：左邊的圖形能否平滑地變形成右邊的樣子。

假設它是由非常柔軟的材料做成的，你可以按照你的想法隨意將其拉伸和壓扁。

試問：在不剪斷任何部分的條件下，左邊那個物品能否變形為右邊那個不“糾結”的模樣？

事實上，這是可能的。

在本章即將結束的時候，讓我們還是回到古希臘幾何學留下的最重要的一份遺產上，那就是“證明”的概念。

之所以要在本書如此前面的地方就強調其重要性，是因為在數學里人們很容易跳過中間過程，直接得到錯誤的結論。

僅僅憑借幾個特殊例子便肯定某個理論具有廣泛性，是極為危險的一種做法。

讓我們舉個例子。在圓形的圓周上找到2個點，將它們用直線相連，那么圓形就被分成了2個部分。

然后，讓我們在另一個圓上找到3個點，將它們互相之間都用直線連起來，這時圓形就被分成了4個部分。

重復以上的步驟，但是將圓上點的數量增加到4個，則可將圓形分割成8個部分。

如此看來，這其中的規律似乎已經躍然紙上：每次圓上多加一個點，被分割的區域數量就會翻倍。由此可見，在圓上有5個點的條件下，產生的區域數應該為16個。

事實也的確如此：

對5個點情況的成功判斷，讓我們更肯定，如果點的數量變成6個，將會得到32個不同區域。

然而，正確答案卻是31。

事實上，對這類問題適用的正確公式為（n 4-6n 3+23 n 2-18n+24），而并非如我們腦海里所想的那么簡單。

這個例子充分顯示了數學中證明的重要性。