第三章　但……這簡直是荒謬

在《綠玉皇冠案》的結尾，福爾摩斯以他常用的口吻娓娓道出他分析案情的方式：

我一直以來的準則是：當你將所有的不可能都排除后，不論剩下來的結論是多么小概率事件，那都必定是事情的真相。

這聽上去像極了數學里的反證法——一種最優美又極有說服力的論證方法。

反證法的核心概念便是：先找到原命題的反命題，然后以此推出明顯錯誤的結論，從而證明反命題不成立，最終結論自然是原命題是成立的。

這一連串的推理有時候也被稱為間接證明法，或者“歸謬法”。

作為第一個例子，我們來看看著名的科尼斯堡七橋問題。1736年，這個問題引起了當時最偉大的瑞士數學家萊昂哈德·歐拉的關注。

當時，科尼斯堡是位于東普魯士的一座小城。整座城市被普雷格爾河分成了好幾塊，互相之間僅靠七座人工橋連接。

每當周末時，科尼斯堡的居民們都愿意在散步時跨過這些橋。久而久之，一些居民開始思考一件事情：能否找到一條路線一次性穿過所有的橋，且每座橋都僅經過一次。

乍看之下，我們似乎不得不面對一項既復雜又繁瑣的證明工作，把所有可能的路線都列舉出來，并得出結論：這樣的路線并不存在。但是，就如歐拉向大家展示的那樣，有更聰明的方法存在。使用反證法來描述這個問題就是一種令人信服的方式。

那么，假設這樣的一條線路確實存在。也即是說，我們從ABCD四個區域中的一個出發，通過每一座橋一邊，并最終回到它們當中的某個（可能是我們出發點所在區域）。

很顯然，至少有兩塊區域既不包含出發點也不包含終點。讓我們選擇一塊這種途中區域來細致研究一下。我們來到這塊區域的次數和離開它的次數相同，同時我們經過每座橋僅一次，結論便是能夠達到這塊區域的橋梁數量必須是偶數。

可惜的是，在科尼斯堡的地圖上，沒有任何一塊區域符合這個條件。五座橋可以到達A區，其他的BCD三區都各自有三座橋可以到達。

簡而言之，你不可能一次性穿過科尼斯堡的七座橋，且不重復經過任意一座。

至少，在1736年時沒人能做到。據我所知，現在的情況發生了一些變化。科尼斯堡現已更名為“加里寧格勒”，受到二戰后重建的影響，當地的橋也只剩下五座。

用于展示反證法更高難度的例子來自質數。

所謂一個質數是一個比1大的整數，并且只能被1和自身整除。根據這個定義，2、3、5、7、11、13、17、19……都是質數，但15這個可以被3和5整除的數則不是。

每個大于1的整數都可以寫成質數的乘積，或者本身就是質數。舉個例子，17是質數但18可以寫成2×3×3。從這個意義上說，質數是數字世界里的建筑材料，我們能用質數來表示任何其他數字。

隨著我們從1往上數，質數一開始出現得十分頻繁，然后就越來越少。前一百個整數里有25%的數都是質數，但當我們數到1000000的時候，這個比例下降到7.9%。

一個明顯的問題在于：質數會有被寫完的一天嗎？還是說它永遠能被寫下去？

這次，歐幾里得找到了答案：質數的數量是無窮無盡的。

然而，他是如何證明這個結論的呢。

答案在于歐幾里得選擇了反證法。首先，他假設質數的數量是一定的，那么最大的質數可以被叫作p。完整的質數列表如下：2、3、5、7、11、13……p。

到目前為止，一切看上去都正常。看到這里，你也許覺得所有的步驟都平平無奇，但是下一步會讓你眼前一亮。

歐幾里得的聰明才智讓他想到這么一個數：

N=2×3×5×……×p+1

即是把所有的質數相乘，并最后加上1。

這么一來，N肯定大于p，又因為p是最大的質數，所以N不可能為質數，并一定能寫成某些質數的乘積。或者說，至少有一個質數能被N整除。但事實上，這是不可能的。如果你選擇任何一個質數，并用N去除它，你都會得到一個余數1。

最終，我們得到了一個矛盾的結果。能解決這個矛盾的唯一方法便是接受“原命題是錯誤的”這一結論——質數的數量是無限的。

但是，有些數論問題更加讓人難以捉摸。

假設我們來討論和整數相關的理論，比如兩個完全平方數相加，是否能得到另一個完全平方數。經過簡單的嘗試，我們發現這確實是可能的，比如說下面這個例子3 2+4 2=5 2就完全符合條件，當然還有很多其他的。

但當我們想找到兩個立方數相加得到另一個立方數的時候，就相當困難。經過一番艱苦的嘗試，我們碰到一些幾乎成功的例子。比如729 3+244 3=401 947 273，同時738 3=401 947 272，差一點兒就符合要求了，但永遠都不會相等。不論我們如何嘗試，似乎都找不到合適的a、b、c，讓它們符合a3+b3=c 3這個式子。不僅如此，似乎a4+b 4=c 4也找不到合適的a、b、c。

而這一切都在1637年，被一位法國數學家——皮埃爾·費馬一眼看穿，他將自己的判斷寫在一本教材里，被稱為“費馬大定理”：

如果n大于2，則沒有任何自然數n能滿足下列公式a n+b n=c n

讓人感到“最不舒服”的是，費馬又馬上在他的定理后加上了如下語句：

我已經找到了如上定理的完美證明，只不過這里的頁面留白實在是太小了，我寫不下。

可惜，就算費馬曾經真的找到了他口中的完美證明，歷史也告訴我們從沒人見過他的證明。直到1993年，安德魯·威爾斯終于發表了他針對費馬大定理的證明。這也成了二十世紀曝光率最高的數學事件。

雖然這份證明只有專業的數學家才能看懂，但它所采用的主要策略依然是我們剛剛聊過的反證法。

兩千年以前，歐幾里得使用反證法在質數的研究上獲得了很好的效果，今天，反證法依舊生機勃勃并且應用廣泛。