1.3 控制理論與應用研究的主要問題

由于控制理論研究對象的多樣性和復雜性，使得控制理論與應用方法涉及的問題也呈現出同樣的特點，從自動化專業基礎理論的角度來講，僅由一本教科書是不可能做到對所有控制問題都面面俱到的，本書也只能就主要方面和問題給予基本的討論和歸納。

1.3.1 控制理論研究的典型問題

對于不同類型的控制系統，常使人感興趣的問題有：

● 穩定性分析與鎮定設計。

● 最優控制與魯棒控制。

● 自組織/自適應/事件觸發控制。

● 網絡協同控制/數據建模和數據驅動控制。

● 基于計算科學與智能算法的控制。

由于控制關聯學術理論與工程實踐的廣泛而飛速地發展，要給上述問題以確切定義和準確的內涵說明是很困難的，有待于接觸到具體問題時再給出明確的說明，實際工程中的控制問題往往需要從多個角度、多個層面來同時加以考慮。

1.3.2 控制系統的基本特性

由于控制系統的類型繁多，數學模型各不相同，因此對于控制理論及其應用作用其上所要關注和探討的問題也需要根據目的的不同，設定成不同的形式，進而得出不盡相同的結論，但究其系統模型的本質，都必須回答以下三個基本特性：

● 穩定性。

● 瞬態特性。

● 穩態特性。

三者反映了被控對象中的相互關聯而又各有側重的基本特性。1.3.1節中歸納出的典型研究問題常常是這三個基本特性的相互結合、變形和深化的結果。這里僅為一般化定義。

定義1-1 穩態誤差是指系統在參考輸入作用下，t→∞時的輸出響應（t→∞時的輸出）與參考輸入之間的差，即

式中，r（t）為參考輸入；y（t）為輸出響應。穩態特性指標是指對穩態誤差的定量評價。

定義1-2 瞬態特性是指在參考輸入作用下，在t∈［0，T］，T＜∞的時間區間內，系統輸出響應的波形特性。瞬態特性也可理解為系統過渡過程的動態特性。為了定量描述瞬態特性，需引入瞬態特性指標，詳見3.5節。

定義1-3 穩定性是指系統在整個t∈［0，+∞）時間區間上，不發生破壞性或不可恢復性的狀態改變的性質，它是系統存在的條件。該定義只是對穩定性的形象說明。

控制系統工程對這三個基本特性的一般要求是：

● 系統應穩定并具有一定的穩定裕量，即“穩”。

● 系統響應過程符合要求的瞬態特性，以保證迅速達到正常工作狀態，即“快”。

● 系統響應過程具有要求的穩態特性，以保證準確達到期望工作狀態，即“準”。

1.3.3 控制系統的參考信號

控制系統分析中需要用到參考信號的概念。雖然實際工程中的信號多種多樣，但在理論分析和數值仿真中，為使結果有可比性，常用典型信號作為參考信號，舉例如下。

（1）階躍函數

式中，E∈R，當E＝1時，u（t）稱為單位階躍函數，記為1（t）。顯然

階躍函數的時域波形如圖1-15所示。（2）斜坡函數（又稱等速度函數）

式中，K∈R稱為速率系數，顯然

等速度函數的時域波形如圖1-16所示。

（3）拋物線函數

拋物線函數的時域波形如圖1-17所示。

（4）脈沖函數（又稱Dirac函數，記δ－函數）

δ－函數的時域波形如圖1-18所示。

δ－函數是廣義函數，具有對系統輸入輸出響應分析起到重要作用的數學性質，為了形象地理解這些性質，定義如下的δ_ε－函數：

其時域波形如圖1-19所示。

于是，當ε→0時在極限意義下，定義

也就是說，δ－函數沒有通常意義下的自變量與函數值的映射關系，需在極限意義下理解。

由式（1-12）和式（1-13），對任何ε＞0，有

所以

基于式（1-15），圖1-18的δ－函數用高度為1的有向線段表示時，該線段高度表示的是δ－函數積分值，而不是說δ（t）在t＝0的幅值，請注意區別。

注意到，當f（t）為連續函數時，有

由于f（t）的連續性，由積分中值定理，，θ是滿足0＜θ＜1的某常數，于是

或者更一般地寫成

（5）正弦函數

式中，E∈R₊稱為正弦函數的幅值，而ω∈R₊稱為角頻率。正弦波的時域波形如圖1-20所示。

1.3.4 瞬態響應的特性指標

為了對控制系統對輸入參考信號的輸出響應的瞬態特性進行分析比較，常用到以下特性指標，這些指標是在系統初始狀態為零的條件下定義的。

1）最大超調量δ_p，響應曲線偏離穩態值的最大值，如圖1-21所示。

一般地，δ_p常以超調百分比的形式出現，定義為

2）超調時間t_p，響應曲線首次達到峰值的時間。

3）延滯時間t_d，響應值達到穩態值一半時所需要的時間。

4）上升時間t_r，響應值由穩態的10%位置升至穩態值90%所需要的時間。

5）調節時間t_s，響應曲線衰減到與穩態值相差不超過±5%或者±2%范圍時所需的時間，又稱過渡過程時間。

以上是瞬態特性分析中最常見的指標，視具體問題有時還需要考慮其他指標，如響應中有振蕩過程時的振蕩次數等。