2.4 控制系統的傳遞函數模型
控制系統的原始數學模型一般是微分或差分方程，系統特性可由求解模型方程并做解分析來獲得。但求解微分差分方程一般是困難的，所以，對不經求解微分或差分方程就能完成特性分析的方法進行探究是控制理論研究的基本問題之一，傳遞函數正是這種研究的結果。
2.4.1 傳遞函數的定義
在線性（或線性化）的定常連續時間系統中，初始條件為零時，其輸出信號的拉普拉斯變換（以下簡稱拉氏變換函數）與輸入信號的拉氏變換函數之比，稱為系統的傳遞函數。例如，對式（2-5）的微分方程，設其為線性定常的且初始條件為零，經拉氏變換，則有
這里，U（s）＝L｛u（t）｝和Y（s）＝L｛y（t）｝。于是
這里的G（s）就是式（2-5）系統的傳遞函數，分子、分母多項式分別稱為零點多項式和極點多項式。
線性定常微分方程與傳遞函數有明確關系。一般地，只有線性定常微分方程才能定義傳遞函數（差分方程的脈沖傳遞函數參見第7章），這是由拉氏變換的適用范圍決定的。
2.4.2 傳遞函數的零極點
由于線性定常系統傳遞函數G（s）是拉氏變元s的有理復函數，其分子和分母均是s的實系數多項式，因此，對分子、分母多項式因式分解后，傳遞函數可以寫成
式中，K稱為放大系數（或增益系數）；zi（i＝1，2，…，m）稱為G（s）的零點，即
0；pj（j＝1，2，…，n）稱為G（s）的極點，因為
，零點和極點統稱為零極點。也就是說，G（s）的零極點分別是其分子與分母多項式的根。事實上，傳遞函數G（s）的分母多項式與其狀態空間模型的特征多項式有嚴格對應關系，所以G（s）的極點有時又稱為系統的特征值，具體留待后續討論。
一般地，線性定常微分方程解析解可由形如
以及tr的代數和表述，這里，pt為傳遞函數復極點的實部，而ω為其虛部，r為特征值的重數。由此可見，傳遞函數極點在復平面的位置與分布對系統特性有直接和重要的影響。
2.4.3 傳遞函數與輸入輸出關系
由式（2-15）的兩邊同乘輸入信號的拉氏變換U（s），則
即系統輸出響應的拉氏變換等于傳遞函數與輸入拉氏變換的積。利用此式討論系統輸入輸出關系是單純的代數過程，避免了微分方程求解，是十分方便的。
2.4.4 典型環節及其傳遞函數
控制系統是由各種元器件或設備組成的，從物理特性上區分可以是截然不同的，但從數學模型上可以分成由典型傳遞函數的組合。這里先介紹典型環節。
（1）比例環節
式中，K為常數增益。
（2）慣性環節
式中，T為慣性常數。
（3）積分環節
式中，T為積分時間常數，該環節可改善系統穩態響應特性。
（4）微分環節
式中，T為微分時間常數。該環節常用來改善系統動態響應特性，反映系統變化趨勢。
（5）振蕩環節
其中，ωn＝1/T稱為無阻尼自然振蕩頻率；ρ為阻尼比。
（6）延滯環節
式中，τ為時間滯后。一般地，延遲對系統穩定不利。
表2-1是對以上各環節模型及其輸入輸出關系的歸納。
表2-1 典型環節傳遞函數歸納表
