2.5 SISO系統框圖與傳遞函數

當控制系統只有一個標量的控制輸入量和只有一個標量的觀測輸出量時，通常稱其為具有標量的輸入輸出系統，或簡單地記為SISO（Single－Input and Single－Output）系統。

2.5.1 框圖的定義與繪制

由控制系統各環節標注組成并標明信號流向的結構圖稱為框圖，如圖2-7所示。

系統框圖繪制的步驟如下。

● 以典型環節或典型環節的組合取代系統中的元器件、設備。

● 將各環節傳遞函數填入各自的方框內，并標出環節的信號流向箭頭。

● 按信號流向方向與路徑，把各環節的框圖連接起來，即得系統框圖。

2.5.2 框圖的基本聯接形式

控制系統框圖的基本聯接方式如下。

1）串聯，如圖2-8所示。

顯然有

即串聯系統總傳遞函數為各環節傳遞函數的積。

2）并聯，如圖2-9所示。

顯然有

即并聯系統總傳遞函數為各環節傳遞函數之和。

3）反饋聯接，如圖2-10所示。

反饋聯接是控制系統最基本和最重要的聯接方式，涉及如下基本概念。

● 輸入X（s）經比較環節，再通過G（s）環節到輸出Y（s），稱為前向通道。

● G（s）稱為前向傳遞函數。

● H（s）稱為反饋（或反向）傳遞函數。

● G（s）·H（s）稱為開環傳遞函數。

● 輸出Y（s）與輸入X（s）間的傳遞函數稱為閉環傳遞函數。顯然

于是，Y（s）＝G（s）［X（s）－H（s）·Y（s）］。從而，閉環傳遞函數為

2.5.3 框圖結構變換與簡化

實際系統往往是由多組基本聯接組成的復雜結構，這對于系統分析和設計極為不便，因此有必要對框圖進行結構變換和化簡。變換和化簡的方法很多，都遵守等價性原則，即不論如何進行變換和簡化，變換和簡化前后的傳遞函數應保持不變。

（1）框圖的結構變換法則

這里只討論單一變換，其他情況列入表2-2。考慮如圖2-11所示框圖，要求將信號作用點（即比較環節）移至G之前，注意到Y是由兩個信號組成的，即

Y＝－X₂+Y₁＝－X₂+GX₁

當信號作用點前移后，Y需要復現所涉及的兩個信號部分，即GX₁與－X₂。但前移X₂之后，其作用于G之前，通過G之后依然要保持為－X₂才行。顯然

于是，圖2-11的框圖可變換為圖2-12。

（2）復雜框圖的等價簡化

對于復雜系統框圖可利用聯接關系和表2-2的等價變換進行圖形形式簡化。

例2-4 試簡化如圖2-13所示系統框圖。

解：利用圖形變換的路徑很多，這里選擇先將第二個比較環節后移，則有圖2-14。

再將第二和第三個比較環節交換次序，于是得到圖2-15。

將圖2-15的G₃H₂G₂反饋回環簡化后，得到圖2-16。

再將外回環簡化后，則得到圖2-17。

最后一個回環可等價變化，如圖2-18所示。

例2-4中使用的化簡方法稱圖解法，這種方法比較費時費事。實際上，通過上面的例子可推導出簡化公式，即單一通道的多回環系統的閉環傳遞函數為

式中，n為反饋回環總數（包括正反饋與負反饋），分母中的各項是乘+1還是－1由對應反饋回環是負反饋還是正反饋來決定。

利用式（2-27）可不用繪圖就能直接簡化框圖，但應注意的是，該公式只適用于只有單一前向通道和各回環完全交叉的系統，圖2-19所示框圖不能使用式（2-27）。

例2-5 試用公式法簡化圖2-20所示的系統框圖。

解：該系統只有單一前向通道，其傳遞函數是G₁G₂G₃G₄，另有四個反饋回路，其開環傳遞函數分別是G₃G₄H₄、G₂G₃H₃、G₁G₂G₃H₂、G₁G₂G₃G₄H₁、代入式（2-27），則

2.5.4 控制系統的信號流圖

對復雜控制系統進行圖形化結構變換不是簡單的工作，這個過程受到各種條件的限制。為了解決這些問題，可將系統框圖轉化為信號流圖，再用代數方程求解的方法進行簡化，這種方法不僅嚴格、清晰，而且無須對框圖進行圖形變換。

（1）信號流圖的定義與基本術語

信號流圖是描述線性代數方程組的圖形方式，當控制系統的線性微分方程組經拉氏變換轉換成s－域代數方程組后，其框圖便可用信號流圖表示。下面先定義信號流圖術語。

● 節點，表示系統變量，此變量等于所有進入節點的輸入信號之和，且從該節點流出的信號不影響該節點的值，如圖2-21中的A、B、C、D。

● 支路，聯接節點的有向線段，線段方向為信號流動方向，并注有支路增益或傳輸增益，如圖2-21的AB和BC等，其增益分別為1和G。

● 輸入節點或源點，只有輸出的節點，如圖2-21的A節點。

● 輸出節點或陷點，只有輸入的節點，如圖2-22的C節點。

● 通路，沿支路箭頭方向穿過若干節點的路徑。

● 前向通道，自輸入節點到輸出節點的路徑或通路，如圖2-23中的ABCD通路。

● 回路，始端與終點在同一節點的通路，如圖2-23的B－C－B通路。

● 不接觸回路，指不具有公共節點的回路，如圖2-24中的BCB與DEGD是互不接觸的。

● 前向通路增益，前向通路所有支路增益的乘積，如圖2-24中前向通路為ABCDEH，其前向通路增益是2G₁G₂。

● 回路增益，是指對應回路中所有支路增益的乘積。圖2-24中有兩條回路BCB與DE-GD，其回路增益分別是G₁H₁與－G₂H₂。

（2）信號流圖的繪制

信號流圖一般用于表示如下的線性方程組：

式中，X_i（i＝1，2，…，n）是某變量的拉氏變換。將式（2-28）的關系式用信號流圖表示的步驟如下。

● 將式（2-28）中的各變量用節點表示。

● 由各式確定各變量之間的關系，并注明信號流動方向和支路增益。

例2-6 試繪出以下代數方程組對應的信號流圖。

解：步驟如圖2-25a～d所示。

（3）系統框圖與信號流圖的轉換

實際上，系統框圖與信號流圖都是標注增益關系的有向圖，區別僅在于比較環節上。信號流圖中流入節點的變量僅僅是相加關系，而框圖中流入比較環節的變量包括加和減關系，由具體的正負反饋而定。如果將比較環節的±號移至反饋通道的傳遞函數上，那么比較環節就與節點等價了。

圖2-26是從系統框圖轉化為信號流圖的典型示例。

將框圖轉化為信號流圖的過程需要遵循等價轉換原則，即各部分轉換前后的s－域關系保持不變。應該指出的是，信號流圖是線性代數方程組的圖示，而框圖是傳遞函數代數關系的圖示，所以兩者的確是可以相互等價轉換的。

2.5.5 梅森（Mason）增益公式

當信號流圖比較復雜時，也存在對其進行簡化的問題。由于信號流圖本質上是代數方程組的圖示，所以將代數方程組的解公式推廣為信號流圖簡化關系，就是梅森（Mason）增益公式。

（1）信號流圖的圖解簡化法則

● 加法——并接支路的簡化：幾個同方向的并聯支路，可用支路增益等于各支路增益之和的單一支路代替，如圖2-27所示。

● 乘法——串聯支路的簡化： 幾個同方向的串聯支路可用單一等效支路代替， 該等效支路的增益等于串聯各支路增益之乘積， 如圖2－28所示。

● 支路移動法則——節點的消除：支路移動后新支路的增益，等于被移動支路增益乘以被消除節點到新支路終點節點通路增益，如圖2-29所示。

需要注意的是，新支路只能在各原支路方向與新支路方向一致的兩節點間，如圖2-30中的節點x₁和x₂之間不能建立新支路。

● 自回環的消除法則，考慮如圖2-31所示情形。

顯然，x₂＝ax₁+bx₂，于是。這說明，圖2-31中的信號流圖可以等價成圖2-32的形式。

將此情況推廣至一般情況，如圖2-33所示的自回環等價消除。

例2-7將說明如何利用上述等價轉換法則，用圖解的方法進行信號流圖的簡化。

例2-7 試用圖解法簡化圖2-34的信號流圖。

解：1）先消除自回環，得到圖2-35。

2）再消除第3個節點，得到圖2-36。

3）將2、4兩節點的支路合并，并與1、2兩節點支路串聯，得到圖2-37。

4）為避免反饋回環消除引起錯誤，將支路j的引出從節點4改成從節點1引出，為保持等效性，則有圖2-38。

5）將5、6兩節點之間的支路合并，則有圖2-39。

6）將反饋回環消除，并與1、4節點間的支路串聯，則有圖2-40。

7）最終結果如圖2-41所示。

在本例題中，在消除反饋回環時，可在節點4前引入虛擬節點和支路增益為1的虛擬支路，這樣更便于計算。

一般來說，利用信號流圖等價法則可以將系統總的輸入輸出增益導出。但當信號流圖較復雜時，則直接利用梅森增益公式更為簡單。

（2）梅森增益公式

利用公式法直接計算信號流圖增益的梅森增益公式為

式中，G_j0表示從第0個源節點到第j個節點間的增益；并且

式中，L_kp是第k個、p個互不接觸回環的增益積（通常p個互不接觸回環可能有很多種組合，L_kp是其中的第k個），但涉及所有不同回環的增益；是指從源節點0到節點j的第k個前向通路的增益值；是與對應第k個前向通路不相關部分（無公共節點）的式（2-30）的值。

關于梅森公式即式（2-29）的證明要分四步進行。

第一步：考慮線性代數方程組的代數解。考慮如下n變數，n關系式的方程組：

將式（2-31）畫成信號流圖，如圖2-42所示。除源節點0（源節點信號為1）外，有n個節點1，2，…，n（分別對應x₁，x₂，…，x_n）。各節點有自回環，增益為a₁₁，a₂₂，…，a_nn；每兩個節點間有一回環，由支路a_ij與a_ji構成。源節點0到各節點1，2，…，n各有一支路，增益為b₁，b₂，…，b_n。

將式（2-31）改寫成下式：

由代數方程的克拉默（Cramer）法則，式（2-32）的任一變量x_j的代數解是

式中，Δ_kj是如下定義的行列式Δ的第k行、第j列元素的代數余子式。

第二步：將行列式Δ計算展開。為方便計算，記

顯然，Δ＝（－1）ⁿdetΔ^?成立。又因為

于是，Δ^?可看成是同階矩陣A、B展開的和，進而

式中，注意到detB＝（－1）ⁿ，且M_ik是A陣的第k個i階主子矩陣。

現討論M_ik。由于M_ik是A的i階主子式，M_ik必包含形如a_εε的因子，這對應于節點ε的自回環。如果M_ik包括a_rδ，則第一個下標為δ、第二個下標為r的A的元素亦在M_ik中。從信號流圖來看就是，在節點r、δ各有一個入支路和出支路，故r、δ是某一回環的兩個節點。這就說明，M_ik的元素組成的信號流圖中的回環是互不接觸的回環。于是，求detM_ik時，就是求對應信號流圖的互不接觸環的增益積之和。

再討論M_ik中互不接觸的回環數與該項正負號的關系。設M_ik是由r（r＝1，2，…，i中的任意某數）個互不接觸環構成，且每個回環分別有s₁，s₂，…，s_r個支路，顯然s₁+s₂+…+s_r＝i。由行列式理論

式中，p是由s₁，s₂，…，s_n的排列關系決定的數組，若s₁，s₂，…，s_n是由自然數1，2，…，n經過偶數次交換得到的，則signp為正，反之為負。又因行列式任意兩行互換后，再將任意兩列互換時，行列式值不變；而行列式任兩行和對應兩列互換，對應于信號流圖的節點重新編號，這當然不影響計算上式時的任一項的符號。所以，可將信號流圖的節點重新編號，使計算detM_ik時其所包括的第1，2，…，r個環分別按1，2，…，s₁；s₁+1，s₁+2，…，s₁+s₂；…；s₁+s₂+…+s_r－1+1，s₁+s₂+…+s_r的順序通過節點，這時r個互不接觸環的增益分別是

由此看出，第1個環的增益值中，的排列p＝（s₁，s₂，…，s_k）是由自然數1，2，…，s₁經s₁－1次大小順序交換得到的，其正負號為。同理，第2個環的符號為，…，第r個環的正負號為，故M_ik行列式值的符號為＝（－1）^i+r。注意到detM_ik前已經有符號因子（－1）ⁱ，于是包括r個不接觸環的符號是（－1）^r+i·（－1）ⁱ＝（－1）^r。這就是說，Δ中任意r個不接觸環的符號均是（－1）^r。

第三步：展開表示。顯然

式（2-34）右邊第一項是從源節點0到j節點的前向通路增益與Δ的元素（1－a_jj）的代數余子式之乘積，由第二步的分析，Δ_jj就是除去第j個節點之后的Δ值。

式（2-34）右邊第二項的任一項b_kΔ_kj，對應為－Δ^?矩陣的第j列用另外一列除了其第k行的元素為b_k、其余元素均為零的列代入后得到的矩陣的行列式，即獲得的矩陣如下式所示。

顯然，Δ_kj是在－Δ^?中除去k行和j列的矩陣的行列式。這就是說，在Δ_kj對應的信號流圖中，節點k沒有輸入支路（因為a_tj＝0，t＝1，2，…，n），其余的n－2個節點既有輸入支路也有輸出支路。于是可用－Δ^?的行列式按第j行，第n列展開，即

式中，Δ_kk·jj·αβ表示Δ中除去第k行、k列，j行、j列，α行、β列后得到的行列式。

對應Δ_kk·jj·αβ信號流圖，節點k與j已除去，節點α只有輸入支路，β只有輸出支路。若α、β為同一節點，Q_jαΔ_kk·jj·αβ·a_αβ是節點k經α節點到j的開路徑的傳輸增益值與不接觸路徑的Δ值之積。若α、β非同一節點，繼續展開，直至從節點k與j間有一開路徑為止，即

現在剩下的問題就是決定的正負號。設是由b個支路組成。將節點重新編號使之可表為k＝2，j＝1，并使該開路徑順序地從該節點，經3、4、b+1至節點1。由于的b個支路的每個支路有因子（－1），共有因子積（－1）^b，而排列自然數到交換次數正好為b次，故的正負號是（－1）·（－1）^b＝1，即。

又因為b_k是從源節點到節點k的支路，于是b_kΔ_kj寫成。將各節點與源節點的所有支路全部作用之后有

第四步：當上述推導的源節點是x₀時，與以上討論寫到一起，有。由此得出x_i/x₀的關系。證畢。

例2-8 求圖2-43所示信號流圖e_s與e₀之間的增益。

解：該例有四個前向通道：

12345 對應增益a b c d第一條通路

126345 對應增益a g h c d第二條通路

12645 對應增益agjd第三條通路

123645 對應增益a b i j d第四條通路

不同回環有eb，cf，fij，ckh，hj，kj，efgi，egh；兩兩互不接觸有eb與kj；沒有三三及以上互不接觸回路，故

Δ＝1－（eb+cf+fij+ckh+hi+kj+fegj+egh）+ebkj

另外，

● 與第一條前向通路相關的Δ為Δ₁＝1-0＝1。

● 與第二條前向通路相關的Δ為Δ₂＝1。

● 與第三條前向通路相關的Δ為Δ₃＝1。

● 與第四條前向通路相關的Δ為Δ₄＝1。

從而，從節點e_s到節點e₀的增益為

例2-9 求圖2-44所示的信號流圖中從節點x₁到節點x₂之間的增益。

解：共有兩條前向通路：2ab，3gfab；圖中共有五個回環，其增益分別為ac，gi，abd，ghj，aegf。從而

∑L₁＝ac+gi+abd+ghj+aegf

有四對互不接觸回環：ac與gi，abd與ghj，ac與ghj，gi與abd，故

∑L₂＝acgi+abdghj+acghj+giabd

沒有三個以上的互不接觸回環，從而

∑L_k＝0，k≥3

從而

類似地，與第一條通路相關聯系的Δ為Δ₁＝1－（gi+ghj）；與第二條通路相關聯系的Δ為Δ₂＝1。最后，由梅森公式得到

（3）關于信號流圖的疊加性和互易性

信號流圖是線性代數方程組的圖形描述，疊加性原理對信號流圖成立，這里進行簡單證明。

● 疊加性：若信號流圖有m個源節點，則某一非源節點j的信號可表示成

式中，x_0p（p＝1，2，…，m）為源節點信號，Δ的定義同梅森公式，只不過它包含了由m個源節點到第j個節點之間的所有情況。與分別對應于第p個源節點到第j個節點間的第k種前向通道，和與該通道不相關聯部分信號流圖的Δ值。

證明：當有m個源節點x₀₁，x₀₂，…，x_0n時，信號流圖對應的線性代數方程組是

由代數方程組的克拉默法則，有

式中，Δ和Δ_kj同式（2-29）和式（2-30）。由梅森公式證明，是從某源節點p至節點j的所有開路前向通道增益與對應路徑Δ之積的和，上式給出式（2-35）的結論。證畢。

● 互易性：如圖2-45所示的信號流圖A。

將圖中所有支路均倒向，并保持各支路增益不變，得到圖2-46所示的互易信號流圖A_t。

于是，若將信號x₀作為A圖的源節點0時，在匯節點s產生的信號為x_s，則在A_t圖的s點放入信號x₀時，在0點產生的信號為x_s。

證明：由梅森公式，A圖的輸入輸出增益關系是

而在互易信號流圖A_t中，有

由于信號流圖A、A_t只與各對應支路方向相關，而這對各環路增益或互不接觸回環增益以及前面的正負符號都不會有影響，換言之

從而式（2-36）與式（2-37）成立，即結果相同。證畢。