2.3 控制系統數學模型的后處理技術

不論對象系統具體是什么都可依步驟建立數學模型。不難理解，若導出的微分方程階數很高（≥3階），對其求解會比較困難；若方程中還出現了非線性關系，則微分方程的直接求解幾乎行不通，此時就需要對模型進行簡化。這里介紹模型簡化的典型后處理技術。

2.3.1 微分或差分方程的一般形式

控制系統的微分方程一般可寫成

若是差分方程，則一般可寫成

式中，；i∈n，j∈m；a_i（t）（或a_i（k））∈R，b_j（t）（或b_j（k））∈R。一般地，式（2-5）的微分方程用于連續時間系統，式（2-6）的差分方程對應離散時間系統。根據式（2-5）和式（2-6）的系數特點，微分或差分方程有如下典型類型。

● 當a_i（t）、b_j（t）（或a_i（k）、b_j（k））均為常數時，式（2-5）和式（2-6）分別稱為線性時不變微分、差分方程。

● 當a_i（t）、b_j（t）（或a_i（k）、b_j（k））隨t（或k）變動時，則式（2-5）和式（2-6）分別稱為線性時變微分、差分方程。

若控制系統的微分方程可以寫成

式中，f（y（t），u（t），t）是y（t）和u（t）的非線性函數，式（2-7）稱為非線性微分方程，對于差分方程可類似稱呼。非線性微分方程的類型很多，式（2-7）只是其中一種。

2.3.2 非線性模型的線性化

實際控制系統或多或少具有非線性特性，不能用式（2-5）或式（2-6）的線性微分（差分）方程來直接描述。但求解非線性微分（差分）方程一般是困難的，需要對非線性方程進行建模后的簡化處理。常用建模后處理技術之一是對非線性關系的線性化。

（1）非線性曲線擬合意義的線性化

若式（2-7）中的f（·，·，·）如圖2-4所示。不難理解，線性函數關系的直線OA是較接近于曲線O′A′的，因此，不妨用OA的直線近似曲線O′A′，即通過曲線擬合就實現了對f（·，·，·）的線性化。

（2）小偏差意義的線性化

當某些非線性函數會在某點附近變動，且偏離該點也不是很大時，非線性函數就可用忽略掉變動偏差的線性量近似，如圖2-5所示。

小偏差意義線性化的步驟如下。

1）根據物理或化學定律列出原始方程，找出中間變量及其與其他變量的關系，消去中間變量，建立對象系統的原始微分（差分）方程。

2）在工作點（如平衡點）將微分（差分）方程的非線性函數展開成Taylor級數，保留其一階項，忽略二階項以上高次項，形成非線性函數的線性近似。

3）整理并寫出以線性化表示的微分或差分方程。

例2-3 對圖2-6所示的水平行車垂直圓擺系統，在忽略摩擦力和空氣阻力的條件下，建立系統的狀態空間方程模型，確定平衡點位置并線性化簡化。

圖2-6中的各符號的定義與物理意義如下。

● M為行車的質量；m為擺桿頂端小球的質量；mg為小球m受到的重力。

● l為剛性擺桿長度，擺桿質量忽略不計。

● F為作用到行車的外力。

● f_h、f_v分別為擺桿作用對小球支撐力的水平和垂直方向的分量。

● ρ、θ分別為行車相對于固定坐標的位移，擺桿與固定于行車的垂直軸的夾角。

解：首先，根據行車水平方向力分析，由牛頓第二定律給出

其次，根據擺桿頂端小球的水平方向力分析，類似得到

接下來，考慮小球圍繞擺桿轉軸旋轉運動的切線方向。此方向上小球只受重力分量作用，沿切線方向的牛頓運動方程為

為嚴格理解式（2-10），注意l（dθ（t）/dt）為小球切線方向的線速度，l（d²θ（t）/dt²）為線加速度。

最后，基于式（2-8）、式（2-9）和式（2-10），選擇如下狀態變量：

經過簡單而冗長的代數運算，消除中間變量f_h（t）后，寫成矩陣方程形式，得

式中，x（t）＝［x₁（t），x₂（t），x₃（t），x₄（t）］^T∈R⁴，且

顯然，式（2-11）為非線性的狀態向量微分方程。

由微分方程平衡點定義，F（t）＝0時的平衡點方程為

注意到，對任何常數c∈R，x₁（t）＝c，（t）＝0。于是，上式的平衡點解需滿足x_e（t）＝［c，0，x_3e（t），0］^T且f₂（x_e（t））＝f₃（x_e（t））＝0。由此可知，x_3e（t）＝kπ，k＝0，±1，…。不難看出，存在兩組角度有2π周期關系的平衡點，即

這說明，圖2-6的水平行車垂直圓擺系統有上、下兩個平衡位置。更形象地說，在水平軌道任何一點，只要小車速度為零，擺桿垂直倒立或垂直下垂并停擺，系統就達到了平衡狀態。以后，分別稱這樣的平衡位置為垂直向上（向下）平衡位置。

由于式（2-11）是復雜非線性微分方程，不便數學分析和處理，下面分別基于曲線擬合和小偏差近似方法建立其線性簡化模型。

首先，考慮對非線性微分方程式（2-11）在曲線擬合意義下的線性化。假設擺桿與垂直向上平衡位置只有微小偏角，且擺角速度很慢，即x₃（t）→0，x₄（t）→0。此時，三角函數性質滿足

代入式（2-11），其近似為

這里，A∈R^4×4和B∈R^4×1是常數矩陣。式（2-13）是系統在平衡點附近的線性模型。

其次，考慮基于小偏差意義的線性化。具體地，對式（2-11）在其垂直向下平衡位置做線性化模型后處理。注意到，如下偏導數運算成立：

和

于是依定義，在垂直向下平衡位置處的Jacobian矩陣為

上述線性化過程很煩瑣，讀者會問，為什么在垂直向下平衡位置不可以按照參數曲線進行擬合近似。原因是在該平衡位置，三角函數的近似關系式即式（2-12）不成立。

需要注意的是，與上述線性化狀態矩陣處理相對應，線性模型式（2-13）中的輸入矩陣B是非線性模型式（2-11）中與輸入相關部分在相應平衡點賦值的結果，即

和

顯然，對垂直向上和向下平衡位置的線性化模型的輸入矩陣是不一樣的。

2.3.3 模型降階

即使模型是線性的，若其微分或差分方程階次過高（≥4階），則求解和分析處理也是十分困難的，因此模型后處理的另一技術就是用低階線性模型近似高階線性模型。由于適合于模型降階的模型類型還未介紹，在此暫不做具體討論。