Chapter 5　概率、切蛋糕與鐘擺的神秘之處

騎士遍歷問題

在棋盤游戲里，“騎士”只能水平移動兩個方格，垂直移動一個方格，或垂直移動兩個方格，水平移動一個方格。

最古老最有趣的棋盤游戲就是騎士遍歷，這個游戲可以追溯到6世紀(jì)的印度，但是萊昂哈德·歐拉（1707—1783）是第一個對這個問題進(jìn)行認(rèn)真分析的人。

這個“騎士”棋子是否能夠走遍棋盤中所有的方格，且每個方格只走一次呢？

從數(shù)學(xué)角度去看，這是一個圖形問題。找尋一條封閉的騎士遍歷路線就是在圖論里找尋哈密頓圈的一個例子（詳見后文）。

封閉的遍歷路線只有在雙面棋盤上才能找到。歐拉從中發(fā)現(xiàn)了許多不同尋常的對稱性，并且按照這種方式創(chuàng)造出了一些視覺模式，這些模式具有的美感讓人愉悅。

你能在下一頁的小棋盤里找到騎士的遍歷路線嗎？

“騎士”跨越與不跨越的“遍歷”

在1968年出版的《消遣數(shù)學(xué)期刊》里，L.D.亞伯勒（Yarbrough）提出了“騎士遍歷”這個經(jīng)典問題的一個變體。騎士棋子除了不能在同一個方格里經(jīng)過兩次之外（在封閉的“遍歷”中除外，因為最后一步會回到一開始的方格，否則，這就是一個開放的“遍歷”），還不能穿越自己所走的道路（這條道路是由每一步的始點與終點之間的直線構(gòu)成的）。

衍生出來的這一變體叫做“不跨越的騎士遍歷”。

馬丁·加德納在他的著作《數(shù)學(xué)循環(huán)》一書中就指出了這個問題，并且解釋說，亞伯勒在6×6的棋盤里發(fā)現(xiàn)的遍歷步數(shù)，能夠從原先的16步提升到17步。

唐納德·克努特（Donald Knuth）寫了一個程序，主要是對3×3到8×8的所有棋盤進(jìn)行研究。遍歷一次需要的步數(shù)分別是2，5，10，17，24與35。

紐結(jié)理論

紐結(jié)理論最基本的一個問題，就是承認(rèn)兩個或兩個以上的紐結(jié)是等價的。這是一個難題。

兩個紐結(jié)中，如果其中一個紐結(jié)能夠轉(zhuǎn)變成另一個紐結(jié)，那么這兩個紐結(jié)就是等價的。我們可以用算法去解這個題，但是這個過程是相當(dāng)耗時的。

一個特例就是從一個真正的紐結(jié)中找出松結(jié)。左邊與中間的圖形顯示的是兩個松結(jié)。你猜最右邊的圖形顯示的是松結(jié)還是一個真正的紐結(jié)？

三葉紐結(jié)

三葉紐結(jié)是最簡單的一種紐結(jié)形式，這種紐結(jié)有兩種主要的形式，如右邊的兩個圖形所示：左手三葉結(jié)與右手三葉結(jié)。

無論你如何去進(jìn)行嘗試，都不可能將左手三葉結(jié)變成右手三葉結(jié)。二者的區(qū)別在于一個是在上面交叉，一個是在下面交叉，而不是根據(jù)曲線所處的方位進(jìn)行區(qū)分。

當(dāng)一個三葉結(jié)被投射在一面墻上時，你能準(zhǔn)確地指出這個三葉紐結(jié)是兩個版本中的哪個嗎？認(rèn)對的概率有多大呢？

紐結(jié)表

如圖所示，這些紐結(jié)都是按照復(fù)雜程度由簡到繁排列的。衡量一個紐結(jié)的復(fù)雜程度通常就是看它的交點數(shù)量，或紐結(jié)在一個最簡單的平面投影里顯示的雙點的數(shù)量。三葉結(jié)是唯一一種有3個交點數(shù)的紐結(jié)（不考慮鏡像）。第八個圖形的紐結(jié)是交點為4的唯一紐結(jié)。

交叉5次可以有2個結(jié)，交叉6次可以有3個結(jié)，交叉7次可以有7個結(jié)。再往后數(shù)字就會激增。在最小投影的情況下，交叉13次或更少可以造成12965個結(jié)，交叉16次或更少可以造成1701935個結(jié)。上圖是16個最簡單的紐結(jié)圖形。

立方格子結(jié)與三葉紐結(jié)

在拓?fù)鋵W(xué)領(lǐng)域里，三葉紐結(jié)是最簡單的一種非平凡紐結(jié)?？梢詫⒁粋€普通的單線結(jié)松散的兩端連接起來，形成一個三葉結(jié)，即打結(jié)的環(huán)。

三葉紐結(jié)作為最簡單的紐結(jié)，是研究數(shù)學(xué)紐結(jié)理論的基礎(chǔ)。這一理論在拓?fù)鋵W(xué)、幾何學(xué)、物理學(xué)以及化學(xué)方面得到了廣泛的應(yīng)用。

立方格子結(jié)

想象一只蒼蠅沿著立方格的邊形成的封閉鏈條移動。

這根鏈條自身絕對不能接觸或相交，在每個角上只能有兩根線相交。右圖顯示的就是12條線形成的封閉鏈條。

在一個立方格子里，形成一個三維空間紐結(jié)的最短封閉鏈條是什么呢？

高斯的十七邊形——1796年

歐幾里得證明了可以通過圓規(guī)與直尺畫出正多邊形的方法，其中就包括等邊三角形、正方形、五邊形以及衍生出來的圖形（正六邊形、正八邊形、正十邊形、正十六邊形、正二十邊形、正二十四邊形、正三十二邊形、正四十邊形、正四十八邊形、正六十四邊形，等等）。

19歲的時候，高斯（1777—1855）就找到了畫出正十七邊形的一種具有美感的方法，這讓他深信自己應(yīng)該將一生的精力投入到數(shù)學(xué)研究上。對于推動數(shù)學(xué)的發(fā)展，這確實是一個無比幸運(yùn)與正確的決定。

高斯對他發(fā)現(xiàn)正十七邊形的成就非常滿意，甚至讓人在他的墓碑上畫上正十七邊形。石匠對此表示反對，說正十七邊形的形狀與一個圓形非常像，因此很難雕刻。

高斯運(yùn)用他的數(shù)學(xué)才華判斷出，在希臘數(shù)學(xué)的限定之下，哪些建構(gòu)是可行的，哪些是不可行的。他證明了一系列可構(gòu)造的多邊形都與費(fèi)馬質(zhì)數(shù)存在聯(lián)系。所謂費(fèi)馬質(zhì)數(shù)就是指一個費(fèi)馬數(shù)，這是以第一個研究這個問題的人——皮埃爾·德·費(fèi)馬——的名字命名的，費(fèi)馬數(shù)是以正整數(shù)形式出現(xiàn)的數(shù)字，其形式是F=22 n n+1，其中，n代表一個非負(fù)整數(shù)。排在前列的幾個費(fèi)馬數(shù)是：3，5，17，257，65537……4294967297。

構(gòu)造十七邊形的方法有很多種，下面要說的這種方法是在1893年被發(fā)現(xiàn)的。

十七邊形最具美感的構(gòu)造方式——1893年

十七邊形最具美感的構(gòu)造方式是在1893年被發(fā)現(xiàn)的。

具體的操作方法如下：畫一個圓，以O(shè)點為圓心，然后在圓上選擇一個點P。接著，在圓上找到另外一個點A，讓線段OA與線段OP垂直；在線段OA上選擇一個點B，讓線段OB的長度為線段OA長度的1/4；在線段OP上找到一個點C，讓角OBC是角OBP的1/4；在線段OP（延長線）上找一個點D，讓角DBC為45°；讓E點表示圓DP與線段OA的交點。

此時，經(jīng)過點E畫一個以點C為圓心的圓，點F與點G表示該圓與線段OP相交的兩個點。接著，如果從點F、G引出兩條垂直于線段OP的線段，那么它們就會在大圓上形成P5與P3兩個點，如圖所示。點P、P3與P5代表著正十七邊形的第0個、第3個以及第5個頂點。通過對角P3-O-P5進(jìn)行二等分可以確定點P4的位置，依此類推。

七巧板——1802年

七巧板最初是由中國人發(fā)明出來的，具體的發(fā)明時間不詳。七巧板是人類已知的關(guān)于剖分問題的最古老的拼圖游戲。七巧板又被稱為中國七巧板，與十四巧板很類似。

七巧板由七個被稱為坦斯的部分組成。在《坦斯的第八本書》里，描述了有關(guān)七巧板的虛構(gòu)的歷史故事，據(jù)說它在4000多年前就已經(jīng)被發(fā)明出來了。

七巧板最早的模型可以追溯到1802年。1815年，這個游戲傳到了美國。1817年到1818年間，全世界范圍內(nèi)掀起了一股拼圖游戲風(fēng)潮，七巧板風(fēng)靡一時。七巧板所具有的精妙性及各種可能的組合，人們只有在游戲中才會體驗到。

在游戲史上，真正具有原創(chuàng)性的發(fā)明都必然會在世界各地形成全新的思想、催生各種版本的游戲變體與全新的游戲。先不談拼圖游戲具有的打發(fā)時間的消遣功能，很多變異版本的游戲不僅涉及正方形的剖分問題，而且還涉及長方形、圓形、蛋形、心形或其他圖形的剖分。今天，依然還有十多種變異版本的七巧板，但是，也許七巧板原始版本才是這一類游戲中最好的。

七巧板拼圖游戲促使人們創(chuàng)造出了許多讓人著迷與具有挑戰(zhàn)性的拼圖游戲，比如，七巧板多邊形、七巧板悖論（這有點像著名的杜登尼悖論游戲）以及其他游戲。如果你解答了這里所提出的問題，那么你就可以創(chuàng)造屬于自己的七巧板游戲，這將會給你帶來一段回報頗豐且有教育意義的消遣時光。喜歡玩七巧板游戲的名人包括埃德加·愛倫·坡、路易斯·卡羅爾等。拿破侖在流放期間，也花了許多時間發(fā)明新的七巧板游戲，并且解決了不少七巧板游戲難題。

經(jīng)典的七巧板游戲

將七巧板的七個部分復(fù)制下來，給黑影涂上相應(yīng)的顏色。

七巧板悖論

如圖所示，這些圖形都是用七巧板的七塊板創(chuàng)造出來的。

你能解釋這些拼圖之間的細(xì)微差別嗎？（七巧板悖論問題收錄在杰瑞·斯洛克姆所著的《七巧板之書》里，該書匯集了山姆·勞埃德、亨利·杜登尼、詹尼·薩爾科內(nèi)等人的著作）。

七巧板凸多邊形

可以說，七巧板圖形幾乎存在著無限的可能性。但有趣的是，潛在的凸多邊形數(shù)量卻是非常有限的。

兩位中國數(shù)學(xué)家證明，利用七巧板的七塊板只能夠形成十三種不同的凸多邊形：一個三角形、六個四邊形、兩個五邊形與四個六邊形。你可以自己試一試。

馬爾法蒂的大理石問題——1803年

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里，一下子得出一個錯誤結(jié)論，實在是太容易了。這樣的情況經(jīng)常發(fā)生。

馬爾法蒂問題就是一個兼具美感與說服力的例子。

1803年，意大利數(shù)學(xué)家吉安·弗朗西斯科·馬爾法蒂（1731—1807）提出，三個大理石圓柱體（有必要的話，這三個圓柱體的大小不同），當(dāng)它們從一個直角三棱柱中被雕刻出來時，它們的總截面最大。

這與在任意一個三角形內(nèi)裝入三個互不重疊的圓，求這三個圓最大總面積的問題是一樣的。

現(xiàn)在，這個問題被稱為大理石問題（馬丁在1998年提出的）。馬爾法蒂認(rèn)為，他知道這個問題的答案。他提出，當(dāng)三個圓（馬爾法蒂圓）彼此相切，并且分別與這個三角形的兩條邊相切時，就可以得到問題的答案。

1930年，人們發(fā)現(xiàn)，截面是等邊三角形時，馬爾法蒂的“解決方法”并不奏效，這種情況下，一個大圓與三角形的三條邊相切顯然更好。

三個圓的總面積占據(jù)了整個三角形面積的72.9%。

這三個圓的總面積占據(jù)了整個三角形面積的73.9%。

因此，我們可以得出結(jié)論，等邊三角形是馬爾法蒂提出的解決方法的一個例外。但在1965年，霍華德·伊夫斯又發(fā)現(xiàn)，截面是又長又瘦的直角三角形時，馬爾法蒂提出的解決方法也是錯誤的。

顯然，第二個三角形能夠給出比馬爾法蒂三角形更好的解法。

最后，在1967年，邁克爾·戈爾德貝格證明馬爾法蒂的解是完全錯誤的。正確的解決辦法是三個圓中有一個圓與這個三角形的三條邊相切。

橢圓形桌子——1821年

1821年，約翰·杰克遜在《冬夜里的理性娛樂》一書里，提出“將一張圓形桌子切割成兩張完全一樣的橢圓形桌子，使每一張桌子中間都有一個細(xì)長的洞”這個經(jīng)典問題。他給出的解答方法如是將這張桌子分割為八個部分，右圖所示。山姆·勞埃德在他的著作《5000個謎題的百科全書》里，將桌子按右邊的方式分割為六個部分，就解決了這個問題。但是，他繼續(xù)尋找片數(shù)最少的解答方法，很快就發(fā)現(xiàn)了四片式的解答方法。

拿破侖定理——1825年

拿破侖定理是這樣闡述的：如果以任何一個三角形的一條邊為邊長構(gòu)建一個等邊三角形，無論這個等邊三角形是外接的還是內(nèi)接的，這些等邊三角形的中心本身就可以形成一個等邊三角形。

這樣形成的三角形就被稱為拿破侖三角形（無論內(nèi)接還是外接）。這兩個三角形面積之差等于原始的那個三角形面積。

拿破侖定理通常歸功于拿破侖·波拿巴（1769—1821）。拿破侖算得上是一位業(yè)余數(shù)學(xué)家，但他是否發(fā)現(xiàn)并解答了這個問題，至今仍沒有定論。

切三個蛋糕——1826年

智力游戲有無數(shù)種。但也許沒有比剖分游戲更古老的游戲了。古代的中國人解答的問題，就跟19世紀(jì)提出的這個切蛋糕問題很類似。

在一個生日聚會上，用一把直刀將三個蛋糕分成34份，然后分給34個小孩。這把直刀要在蛋糕上最少切多少刀，才能讓每一個孩子都得到一份蛋糕呢（每個孩子不一定都得到分量一樣的蛋糕）？

這種切割要滿足一個條件：每個蛋糕至少要切兩次。在此條件下，每個孩子都能得到一塊蛋糕嗎？如果我們要求每個孩子都得到分量相等的蛋糕，那么至少需要直線切多少次呢？

平面分割——1826年

利用一到五條直線，將一個長方形切割成如圖所示數(shù)量的區(qū)域。

在解答了這些問題之后，你能找出用n條直線切割一個封閉的平面區(qū)域，從而獲得最大的封閉區(qū)域的數(shù)量（Sn）的一般性方法嗎？

你還能想出獲得最小封閉區(qū)域數(shù)量的一般性方法嗎？

這個問題是組合幾何這一具有美感的數(shù)學(xué)分支里最簡單的問題之一，其中包含圖形、線段與數(shù)字的有趣互動。1826年，雅各布·斯坦納第一次回答了這個問題。

球體、立方體與圓柱體的空間分割——1826年

一個球體、立方體與圓柱體在被四個平面切割之后，最多能夠分成多少部分呢？

對這個問題進(jìn)行視覺化的想象，你能推導(dǎo)出被四個平面切分后球體、立方體與圓柱體能產(chǎn)生多少個獨(dú)立的空間區(qū)域嗎？

這種分割問題于1826年被雅各布·斯坦納解答出來了。

與切割平面問題類似，要獲得最多數(shù)量的分割空間，要求至多兩個平面的交線平行，至多三個平面交于一點上。

你可能很容易想到：一次平面切割會產(chǎn)生兩個空間區(qū)域，兩次平面切割會產(chǎn)生四個空間區(qū)域，三次平面切割會產(chǎn)生八個空間區(qū)域。但是，你能計算出四次平面切割會產(chǎn)生多少個空間區(qū)域嗎？

火柴游戲——1827年

英國化學(xué)家約翰·沃克在1827年發(fā)明了火柴，火柴很快就取代了火絨箱，成為人們點火的第一選擇。很快就產(chǎn)生了一種全新的消遣游戲——火柴游戲?；鸩窆驹诨鸩癜b盒上印刷出這些游戲圖后，這些游戲受到了廣泛的歡迎。出版商利用公眾對此的興趣，開始出版與火柴游戲相關(guān)的書籍。

這里提出的游戲是以經(jīng)典的火柴游戲為原型的。

火柴三角形

首先移動四根火柴，創(chuàng)造出兩個較小的等邊三角形。接著，再移動四根火柴，創(chuàng)造出四個更小的等邊三角形。你能做到嗎？

四根火柴與五根火柴

從拓?fù)鋵W(xué)上來說，在滿足下面兩個條件的情況下，四根火柴能夠形成五個不同的圖形，五根火柴則能夠形成十二個不同的圖形：

1.火柴只能在每個端點上接觸。

2.火柴都處在一個平面上。

請注意：一旦一個圖形形成之后，那么這個圖形就能演變成無數(shù)種拓?fù)鋵W(xué)上等價的圖形，并且不需要將其原先的節(jié)點分開。在每組圖形里，都有一個圖形缺失不完整，你能夠?qū)⑷笔Р糠终一貋韱幔?/p>

交匯在一點之上的火柴

從一組火柴里找尋圖形的有趣問題涉及給定數(shù)量的火柴在沒有彼此交叉的情況下匯集在一點上的問題。用三根火柴形成的等邊三角形是最小的火柴圖形，其中，每一個頂點都是由兩根火柴匯集在一起形成的。

你能夠找出三根火柴在每一個頂點上匯聚的最小圖形嗎？四根火柴呢？

用火柴圍成一個小鹿斑比形狀

某天早餐的一次會面時，馬丁·加德納向我提出了一個由梅爾·斯托弗創(chuàng)造出來的棘手問題：只改變一根火柴的位置，在不改變其形狀的情況下，讓這只“斑比”小鹿朝向相反的方向。

當(dāng)然，鏡像與旋轉(zhuǎn)是允許的。

用火柴圍成一只小狗形狀

一只愛玩的小狗非常莽撞，結(jié)果被一輛汽車撞倒了。幸運(yùn)的是，它還活著，并且被帶到了獸醫(yī)院去治療。改變兩根火柴的位置，想象這只小狗在獸醫(yī)桌上會是怎樣一副模樣。

最大懸垂問題

19世紀(jì)早期的一個問題：一堆完全相同的積木懸垂在一張桌子的邊緣，最多能夠突出多遠(yuǎn)呢？

比方說，如果每一塊積木的長度是一個單位，那么3塊積木的最大懸垂距離就可以通過一塊積木上摞一塊的方式去堆積，這就被稱為“和諧的堆積”。懸垂的距離大約是一個單位的長度。這樣的模式還可以持續(xù)下去。在4塊積木的“和諧的堆積”里，突出的最大懸垂距離剛剛超過一個單位長度。在有足夠多積木供應(yīng)的情況下，能獲得多大的抵消力呢？比方說，在和諧的堆積里，用10塊積木堆積后的最大懸垂距離是多少？

1955年，R.蘇頓在尋求最大懸垂距離問題上，引入了最優(yōu)堆積的方法。這種方法提升了和諧堆積方式，允許在連續(xù)的堆積層上放超過一塊積木。

在最優(yōu)堆積問題上，3塊積木就能夠取得懸垂距離為一個單位的結(jié)果。你知道這是怎么做到的嗎？在最優(yōu)堆積問題上，使用4塊積木能夠讓懸垂距離超過一個單位。如圖所示。

內(nèi)克爾立方體——1832年

內(nèi)克爾立方體是瑞士晶體學(xué)專家路易斯·阿爾貝特·內(nèi)克爾（Louis Albert Necker）在1832年首次提出的一種視錯覺現(xiàn)象。

這是有關(guān)知覺模糊的最早科學(xué)演示之一——當(dāng)我們認(rèn)真觀察這個迷人的簡單圖形時，就會發(fā)現(xiàn)令人吃驚的現(xiàn)象。所謂的內(nèi)克爾立方體是指等角透視時一個線框立方體呈現(xiàn)出來的線圖。

這是三維的立方體里一個二維的框架，前面與后面無法區(qū)別。

內(nèi)克爾立方體與很多之后出現(xiàn)的變相圖都說明了一點：我們能夠用兩種（或兩種以上）方式去“看到”某些東西，雖然我們所看到的東西并沒有發(fā)生改變。

我們在觀察一個內(nèi)克爾立方體時，很難區(qū)分看到的是立方體的前面還是后面。你看到的到底是前面還是后面完全取決于你對此的看法。這樣的反差并不在繪畫本身，而在于你自身的視角。

你主觀上首先會以一種方式去觀察物體，接著會以其他的方式去進(jìn)行觀察。但奇怪的是，這樣的反差暗示了你在空間里所處的位置。當(dāng)你看到紅色平板的方位是水平的時候（可以參看下面的圖形），那么整個立方體都是在你的視線之下的，你就是在向下俯視這個立方體。如果你看到紅色平板是以垂直方向豎立的，那么這個立方體就在你的視線之上。

因為你無法在同一時間身處兩個位置，因此你不可能同時從兩個方位去看內(nèi)克爾立方體。因此，對內(nèi)克爾立方體的視覺建構(gòu)就要比我們一開始想象的更加復(fù)雜與模糊。我們絕對無法同時看到兩個方位，因為我們的視覺系統(tǒng)取決于我們在空間里所處的位置。

相同的推理情況也能運(yùn)用到所謂的埃舍爾、格里格爾與彭羅斯等人所說的“不可能圖形”的繪制上。

隅角立方體

你能看到多少個不同的圖形呢？小立方體是在大立方體前面還是在它的內(nèi)部？又或是從大立方體上面被切割下來，使大立方體缺了一部分呢？

內(nèi)克爾立方體里的瓢蟲

如圖所示，你能看到瓢蟲在立方體內(nèi)處于多少個不同的位置嗎？

模棱兩可的內(nèi)克爾立方體

如圖所示，在你觀察這些立方體時，這些立方體似乎會突然反轉(zhuǎn)位置，之前看上去是前面突然變成了后面，反之亦然。內(nèi)克爾立方體表明，我們所見到的任何東西都只不過是我們視覺系統(tǒng)的“最好的判斷”而已。

紅色平板會讓內(nèi)克爾立方體看上去不那么模糊，這樣你就能清晰地看到每一次翻轉(zhuǎn)與定位。

內(nèi)克爾盒子

當(dāng)你盯著看內(nèi)克爾盒子的線框模型時，就會發(fā)現(xiàn)，缺掉部分盒壁的立方體，可以翻轉(zhuǎn)成右圖所示的任何一種盒子。

鴿舍原理——1834年

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，鴿舍原理是這樣闡述的：如果n個物體被放入m個鴿舍，并且n＞m，那么至少有一個鴿舍存放的物體多于一個。

這個原理就像現(xiàn)實生活中“在三個手套里，必然至少有兩只左手手套或右手手套”一樣。

這個定理通過計算就可以證明，雖然看似不證自明，但它還是能夠給出一些出人意料的結(jié)果。比方說，住在倫敦的兩個人都有相同數(shù)量的頭發(fā)（參見下文）。

約翰·狄利克雷（Johann Diri-chlet）被認(rèn)為是提出這種原理的第一人，1834年，他以抽屜原理來為它命名。正因為如此，鴿舍原理通常也被稱為狄利克雷盒子原理，或簡單地說成“狄利克雷原理”。

頭發(fā)數(shù)量的謎題

在今天世界上所有活著的人中，有沒有兩個人的毛發(fā)數(shù)量是完全相等的呢？

50個郵箱謎題

郵遞員將151份郵件送到50個郵箱。在所有的信件都被派送之后，肯定有一個郵箱里的郵件要比其他郵箱里的郵件多出一份。

一個郵箱所能裝的最少郵件數(shù)量是多少呢？

米克爾的五圓定理——1836年

如圖所示，五個紅色圓的圓心都在一個固定的黑色圓上。每個圓都與相鄰的圓在兩點上相交，其中一個點在固定的黑色圓（綠色的點）上，另一個點在固定的黑色圓（黃色的點）內(nèi)。將相鄰的黃色點連接起來，一個不規(guī)則的五角星形就形成了，這個五角星形的五個頂點都在五個圓上面。請問，無論這五個圓的大小如何，這種情況總是會發(fā)生嗎？你可以試試看。

奧古斯特·米克爾（Auguste Miquel）的五圓定理是這樣闡述的：若是五個圓的圓心都在第六個普通的圓上，并且在相同的圓上鏈?zhǔn)较嘟?，那么連接它們的第二個交點就會形成一個五角星形，而且這個五角星形的每個頂點都在這五個圓上面。

六圓定理（一）

另一個有趣的問題是米克爾的六圓定理：如果一個圓上的四個點與穿過這四個點的四個圓（如圖所示）各有兩個交點。那么，這四個圓的第二個交點也會落在這個圓上。

如果初始圓變成了一條直線，這樣的情況還會出現(xiàn)嗎？你不妨一試。

六圓定理（二）

在一個三角形里，畫出一個與三角形兩邊相切的圓。

接著，畫出另一個與之前那個圓相切，并且與這個三角形兩邊相切的圓。

接著，按照這樣的方式繼續(xù)進(jìn)行。

結(jié)果令人驚訝：一連串相互正切的圓，當(dāng)?shù)诹鶄€圓與第一個圓正切的時候，這一過程就結(jié)束了，形成一條完全封閉的相切鏈條。

即便某些圓是在三角形之外，這樣的情況也總會出現(xiàn)嗎？你不妨一試。

七圓定理（一）

從一個紅色圓開始，讓六個圓與這個紅色圓相切，并且讓這六個圓分別與相鄰的兩個圓相切。連接對面的切點形成的三條直線交于一點。

可能會存在不同的組合形式，左圖給出了四種可能性。

如果三個圓（藍(lán)色與綠色）的半徑趨于無窮大的時候，你能想象出將會發(fā)生什么嗎？

（這一定理是伊夫林、莫尼·庫茨與蒂勒爾在1974年共同發(fā)現(xiàn)的。）

七圓定理（二）

六個完全相等的圓形成一個如圖所示的圖形，并且和第七個與它們大小完全相等的圓相切。

當(dāng)我們在六個外圓的基礎(chǔ)上加入一個圓，那么這些圓就形成了兩組圖形。六個完全相等的圓在一個大圓里面、小圓外面。小圓的直徑是大圓直徑的三分之一。

你能計算出紅色與黃色這兩組圖形的面積嗎？

九圓定理

九個相切的圓能夠出人意料地形成一個封閉的鏈條。

在一個平面上畫出標(biāo)記為1、2、3的三個圓，然后畫出與圓2和圓3相切的第四個圓。接著，你可以畫出八個與之前圓相切的圓，再加上初始三個圓中的兩個圓。雖然一系列逐個相切的圓都有不少自由的選擇，但第九個圓與最后一個圓仍然與鏈條上的第一個圓相切。你可以試試看。

九點圓

對于任何給定的三角形來說，都可以做出一個九點圓。之所以會有九點圓的名稱，是因為對于每個三角形來說，這個圓都會經(jīng)過這個三角形的九個特殊點。這九個點是：

——三角形每條邊的中點。

——每條垂線的垂足。

——從三角形的每個頂點到三條垂線的交點所形成的三條線段的中點。

九點圓又被稱為費(fèi)爾巴哈圓，這是以德國著名哲學(xué)家安德烈亞斯·馮·費(fèi)爾巴哈（Andreas von Feuerbach，1804—1872）的名字命名的。

對一個銳角三角形而言，九個點中的六個點（三條邊的三個中點與垂足）都在三角形的邊上。對一個鈍角三角形而言，兩條垂線的垂足都在三角形之外，但這些點依然屬于九點圓。

科克曼女學(xué)生問題——1848年

托馬斯·P.科克曼（Thomas Penyngton Kirkman，1806—1895）牧師是一位業(yè)余數(shù)學(xué)家。他在1848年提出了一個著名的組合數(shù)學(xué)問題。這個問題是這樣的：“十五名在校女生以三人為一組，她們要在七天內(nèi)分五組去散步，規(guī)定任意兩名女生出現(xiàn)在一組的次數(shù)不能超過一次，該怎么安排呢？”

這個問題可以用數(shù)學(xué)語言描述為：從1到15這十五個數(shù)字（每個數(shù)字都代表著一個女生），將它們分入七個矩陣，使每一個矩陣對應(yīng)一個星期中的每一天，要求五組三元數(shù)組（三個女生分為一組）中任意兩個數(shù)組在同一個矩陣?yán)锍霈F(xiàn)的次數(shù)不能超過一次。該如何分組？

上面的圖形將七個矩陣形象地表現(xiàn)出來了。一共有七種獨(dú)特的解決方法，你能找到嗎？

數(shù)字1到15能組成多少種三元數(shù)組呢？在所有可能的組合里，一共有35組可以解答這個問題，這已經(jīng)是一個非常大的數(shù)字了。正因為如此，要想解答這個謎題其實并不容易。科克曼的謎題對揭示矩陣?yán)碚撚兄匾囊饬x。

從數(shù)學(xué)角度去看，一個矩陣就是數(shù)或符號，根據(jù)某些預(yù)先要求的模式，以行或列的方式分布開來。

科克曼的女學(xué)生問題是一個具有美感的古典組合數(shù)學(xué)問題，涉及斯坦納三元數(shù)組。一個斯坦納三元數(shù)組系統(tǒng)就是將n個物體（數(shù)字、符號等）以三個一組的方式去排列，使三元數(shù)組里的每一對物體只能出現(xiàn)一次。一般來說，斯坦納三元數(shù)組系統(tǒng)有可能適用于任意數(shù)量的n個物體嗎？

八皇后問題——1848年

與棋類游戲中棋子擺放相關(guān)的問題，幾百年來一直讓謎題專家樂此不疲。

你能在棋盤上擺放八個“皇后”棋子，使得任何一個“皇后”棋子都不會被另一個“皇后”棋子“吃掉”嗎？（記住，“皇后”棋子可以按直線、垂線或?qū)蔷€方向移動到棋盤上的任何空位。）

這個問題是馬克斯·貝策爾（Max Bezzel）首先提出來的，這個問題曾被視為消遣數(shù)學(xué)中的一顆“珍珠”。

這個問題有十二種解答方法。你能想到多少種方法呢？當(dāng)n取5到7時，你至少能找到一種解答這個問題的方法嗎？

默比烏斯的魔法——1850年

默比烏斯環(huán)是一個美麗而又神秘的扭曲狀物體。19世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家A.F.默比烏斯（1790—1868）發(fā)現(xiàn)，讓一個平面只擁有一邊與一角，并且沒有“內(nèi)部”與“外部”之分是可能做到的。你可以用一種顏色去描繪出來。

假設(shè)一支箭在一個默比烏斯環(huán)上前行，它將會在轉(zhuǎn)了一圈之后又回到之前出發(fā)的地方，這個地方將處于默比烏斯環(huán)的“反面”。

雖然這樣的物體是我們難以想象的，但制作出一個默比烏斯環(huán)卻是很簡單的：截取一段普通的紙張，扭曲一端，然后用膠水將兩端粘在一起。

默比烏斯環(huán)的各種變異形狀是無數(shù)種有趣結(jié)構(gòu)與謎題的原型，它們具有的許多令人驚訝與自相矛盾的屬性使拓?fù)鋵W(xué)得到了真正意義上的發(fā)展。其中一些屬性是可以展現(xiàn)出來的。玩默比烏斯環(huán)是很有趣的。但是，默比烏斯環(huán)是否具有任何實用價值呢？傳送帶就是按照默比烏斯環(huán)的原理做成的，兩個“面”都具有相等的摩擦力與牽引力。一些盒式磁帶也會讓磁帶扭曲成默比烏斯環(huán)的形狀，從而讓持續(xù)播放的時間增加一倍。

默比烏斯環(huán)的二等分與三等分

沿著紅線的中心位置去切割默比烏斯環(huán)，直到你回到切割的起點。你會得到什么結(jié)果呢？

接著，你可以沿著距離邊緣三分之一處的綠線去切割默比烏斯環(huán)，你又會得到什么結(jié)果呢？

克萊因瓶——1882年

科學(xué)家們將克萊因瓶——最初由德國數(shù)學(xué)家菲立克斯?克萊因（Felix Klein）提出——定義為一種無定向性的平面，通俗來說，它就是一種二維形式呈現(xiàn)出來的平面，你無法對這種平面的左面與右面進(jìn)行始終如一的定義。

如果一個平面有兩個面，那么這個平面就是可定向的。我們可以將其中的一面定義為正面，將另一面定義為反面。

任何具有默比烏斯環(huán)屬性的平面都是無定向性的。不過默比烏斯環(huán)有邊界，克萊因瓶卻沒有邊界。相比之下，球體具有可定向的面，但卻沒有邊界。

默比烏斯環(huán)

直到你創(chuàng)造出了一個默比烏斯環(huán)，你才會明白，原來只具有一個面的表面是存在的。

默比烏斯環(huán)是最簡單的只具有一面的表面。默比烏斯環(huán)有邊界，而球體則是沒有邊界的。

一個只有一面的表面是否真的可以沒有任何邊界呢？答案是肯定的，但是這樣的表面不可能存在于任何三維空間里，除非這個表面與自身相交。

如圖所示，你可以看到一個具有美感的克萊因玻璃瓶，這是艾倫·本內(nèi)特制作的。這個克萊因玻璃瓶在一條較小的圓形曲線里與自身相交。拓?fù)鋵W(xué)家在考慮一個理想狀態(tài)下的克萊因瓶時，往往會忽略這樣的相交情況。

“一位名叫克萊因的數(shù)學(xué)家認(rèn)為，默比烏斯環(huán)是具有神性的。他說：‘如果你用膠水將兩邊粘合起來，那么你將會像我一樣得到一個古怪的瓶子。’”

——萊奧·莫澤（1921—1970）

默比烏斯連體

如圖所示，將一張紙條切割出兩個縱向的凹槽。

將紙條的上半部分以半扭曲的方式連在一起，從而讓A點連接著A點，B點連接著B點。然后，再將紙條的下半部分連在一起，但是朝著相反的方向扭曲，將A'點與A'點連接在一起，B'點與B'點連接在一起。

你就會得到如圖所示的圖形。

如果你沿著紅線去切割這個結(jié)構(gòu)，你能想象到會出現(xiàn)什么結(jié)果嗎？

真假默比烏斯

馬丁·加德納將奧羅拉的喬塞亞·曼寧給他寄來如圖所示的紙張結(jié)構(gòu)展現(xiàn)出來，向他的讀者提問，這個表面在拓?fù)鋵W(xué)上是否與一個默比烏斯環(huán)相等呢？

如果我們沿著紅線去切割這個表面，你知道會出現(xiàn)什么結(jié)果嗎？

傅科擺——1851年

我們是怎樣知道地球在轉(zhuǎn)動的？從柏拉圖那個時代到16世紀(jì)的諸多天文學(xué)家都認(rèn)為，地球是靜止不動的，而其他星體則圍繞著地球旋轉(zhuǎn)。

與這樣的觀點相反的理論并不少，但問題就在于許多天文學(xué)家都無法找到反駁這個觀點的令人信服的證據(jù)。我們當(dāng)然感覺不到自己置身在一個移動的地球上，但是我們真的能夠看到地球在轉(zhuǎn)動嗎？

我們是否真的有可能看到地球在轉(zhuǎn)動呢？

1543年，哥白尼將他的著作《天體運(yùn)行論》送給教皇保羅三世，同時還寫了一句著名的謙遜之語：“我可以很容易地想到，人們一看到這本書中描述的地球在轉(zhuǎn)動的觀點，一定會叫嚷起來；而我和我的理論立刻就會被他們所拒絕?！?/p>

在1851年舉辦的巴黎展覽會上，法國物理學(xué)家讓·貝爾納·傅科（Jean Bernard Foucault）受邀前來，做了一番科學(xué)演示，可還是有不少人不愿意相信這一理論。

傅科在萬神廟的拱頂上懸掛了一個鐘擺，這個鐘擺是由一根61米長的鋼琴線與一個27千克重的加農(nóng)球組成的。在加農(nóng)球下面的地板上，傅科涂抹了一層細(xì)沙。在加農(nóng)球的底部固定著一根鐵筆，用來追蹤球體在沙子上劃過的痕跡，記錄鐘擺的運(yùn)動過程。一小時之后，沙子上的線已經(jīng)移動了11度18分。如果這個鐘擺始終處于同一個平面，它怎么會在沙子上留下不同的軌跡呢？

傅科的鐘擺演示肯定是有史以來最具美感與震撼力的科學(xué)演示之一。到目前為止，在世界各地的科學(xué)博物館與科學(xué)展覽館里，經(jīng)常還可以看到這一演示模型。傅科對科學(xué)的巨大貢獻(xiàn)就在于他制造的鐘擺，讓每個人都能很好地理解地球是轉(zhuǎn)動的這一復(fù)雜的思想。

四色定理——1852年

1852年，21歲的弗朗西斯·格恩里（Francis Guthriee）闡述了直到最近才被稱為“四色定理”的法則。這個定理闡述起來很簡單，但要想加以證明卻并不容易。

要想對地圖上的每個部分都進(jìn)行著色，從而讓相鄰的區(qū)域（相鄰區(qū)域是邊接觸，而不只是點接觸）都沒有相同的顏色，共需要多少種顏色呢？

顯然，我們不難想到至少需要四種顏色。19世紀(jì)，一位名叫肯普的數(shù)學(xué)家證明，任何一張地圖都不需要五種顏色去著色。十年之后，人們發(fā)現(xiàn)肯普犯了一個不易察覺但致命的錯誤，那就是他在證明過程中只得出了任何地圖都不需要六種顏色來著色。從那以后，這個問題就留下了一個誘人的缺口。

在接下來的100年里，不少數(shù)學(xué)家都在研究這個問題。沒有人找到一張需要五種顏色著色的地圖，但是也沒有人能夠充分證明這樣的地圖不存在。這個問題作為最簡單的懸而未決的經(jīng)典數(shù)學(xué)問題而聲名狼藉。更糟糕的是，更復(fù)雜表面上類似的問題都已經(jīng)得到了充分的證明。比方說，一個圓環(huán)圖上的地圖始終都可以用七種顏色著色，也存在著只用六種顏色就能做到的圓環(huán)圖。要給一個名為克萊因瓶的只有一個表面的古怪形狀分區(qū)涂色，六種顏色就足夠了。

20世紀(jì)70年代末期，伊利諾伊大學(xué)的兩位數(shù)學(xué)家利用超級計算機(jī)解答了這個問題，最終回答了四色定理的問題。因此，我們現(xiàn)在可以將之稱為“四色定理”了，其他很多具有美感的拼圖都是基于這個定理的。

在為地圖著色的時候，我們就預(yù)見到這個過程會面臨許多死胡同，看上去需要第五種顏色，從而讓這個問題與拼圖游戲變得更具挑戰(zhàn)性?？夏岫鳌ぐ⑴鍫柵c沃爾夫?qū)す希╓olfgang Haken）首次運(yùn)用電腦具有的超級運(yùn)算能力工作數(shù)千小時，從而很好地解出了四色定理。

這是第一個無法通過手工計算加以證明的數(shù)學(xué)定理。

著色的圖案

對這些圖案進(jìn)行著色，讓兩個相鄰的區(qū)域沒有相同的顏色。你需要使用多少種顏色呢？

第五種顏色

1975年4月1日，馬丁·加德納發(fā)布了威廉·麥格雷戈設(shè)計的著色圖（左邊），這一著色圖至少需要用到五種顏色。右邊的這張圖還沒有著色，你能做得更好嗎？

雞尾酒杯

三個雞尾酒杯放在一個水平位置上，下面是三個形狀的東西，其中一個是圓形，另外兩個則是不規(guī)則的圖形。

要是這三個圖形可以轉(zhuǎn)動，會出現(xiàn)什么情況呢？雞尾酒會灑出來嗎？

勒洛三角形與勒洛多邊形——1854年

圓就是最簡單的“等寬”封閉曲線——這條等寬曲線就是這個圓的直徑。正因為如此，多年前使用的圓柱滾子才是將重物從一個點移動到另一個點的理想形狀。

除了圓之外，是否還有其他的曲線也具有相似的屬性——也就是等寬的曲線呢？可以說，這樣的曲線是數(shù)不盡的。

最簡單的一種等寬非圓曲線就是勒洛三角形，它是以德國工程師弗朗茨·勒洛（Franz Reuleaux，1829—1905年）的名字命名的，雖然萊昂哈德·歐拉在18世紀(jì)已經(jīng)知道了這個形狀。勒洛三角形形狀也可以在建于13世紀(jì)的布魯日圣母大教堂的窗戶上找到。

這種曲線在每個方向上的寬度都等于等邊三角形的邊或三角形頂點到對面弧形的垂直距離。這也是兩條與圖形相切的平行線之間的距離。即便這樣的曲線轉(zhuǎn)動起來，這個距離也是一樣的。

勒洛三角形及其具有的機(jī)械屬性可以在汪克爾1957年對內(nèi)燃機(jī)的初始設(shè)計里找到實際的應(yīng)用。

這樣的圖形是很容易建構(gòu)出來的。你可以畫出一個等邊三角形，然后以三角形的每個角為中心，畫出一條經(jīng)過另外兩個角的圓弧線。在勒洛三角形具有的諸多驚人屬性里，有一個屬性就是它的周長與寬度的比例也等于圓周率π的數(shù)值。

勒洛三角形是最簡單與最著名的等寬勒洛多邊形，勒洛多邊形的數(shù)量是無限的。

三角形輪子

三角的曲線形狀在一個固定的正方形框架里轉(zhuǎn)動。

你能想象“三角形輪子”上的藍(lán)點的運(yùn)動軌跡嗎？

威廉·羅恩·哈密頓（1805—1865）

威廉·羅恩·哈密頓（William Rowan Hamilton）是愛爾蘭物理學(xué)家、天文學(xué)家與數(shù)學(xué)家，他是一個神童，在經(jīng)典力學(xué)、光學(xué)與代數(shù)學(xué)方面做出了重要的貢獻(xiàn)，發(fā)現(xiàn)了許多新的數(shù)學(xué)概念與技術(shù)。他最偉大的貢獻(xiàn)也許就是對牛頓力學(xué)的重新定義，現(xiàn)在被稱為哈密頓力學(xué)。他的研究成果奠定了現(xiàn)代電磁學(xué)的核心理論，也大大推動了量子力學(xué)的發(fā)展。在數(shù)學(xué)上，他最為世人稱道的也許是他發(fā)現(xiàn)了四元數(shù)。

環(huán)繞十二面體的“旅行”——1859年

我們已經(jīng)做過平面上的遍歷題，但更難的是在三維物體上尋找遍歷路線。其中一個經(jīng)典的例子就是威廉·羅恩·哈密頓在1859年發(fā)明的。這個例子與十二面體有關(guān)。哈密頓提出的問題是，是否存在一條遍歷各邊的路線，這條路線在經(jīng)過20個頂點之后，會重新回到起點（這條路線被稱為哈密頓回路），且路線中并無折返。

請注意：在哈密頓路或哈密頓回路里，所有的頂點都是必須要經(jīng)過的，雖然其中一些邊可能沒有經(jīng)過。為了更加容易地解決這個三維問題，哈密頓利用了一個十二面體的二維圖表（這就是所謂的施萊格爾圖表），從拓?fù)鋵W(xué)層面來看，這與三維的物體是等價的。哈密頓發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)的一個分支，從而解決了三維物體上與回溯路線相關(guān)的問題，這就被我們稱為頂點微積分學(xué)。他的頂點游戲拼圖已經(jīng)得到了商業(yè)應(yīng)用，就是將一個十二面體圖形的節(jié)點打成洞形成的一個拼板游戲，這種游戲發(fā)明后不久就以多種形式在歐洲多個國家里銷售。

有向圖剖分——1857年

如果在一個圖形的每條線上加上一個箭頭，讓每條線都有一個方向的話，那么這個圖形就變成了有向圖。一個完整的有向圖就是指一個圖形里的每兩個點都用箭頭連接。如圖所示，這就是一個七點完全圖。

這個游戲的目的就是通過在每條線上添加“一個箭頭”，使之轉(zhuǎn)變成一個完整的有向圖，讓任何兩個點都只需一步就能與任意的第三個點連在一起。比方說，我們給三條線加上箭頭，對于點1與點2而言，我們可以看到，只需要一步就可以從點7到達(dá)它們。

你能在這個圖形剩下的線上加上其他的箭頭，完成上述目標(biāo)嗎？

有向圖的概念是圖論里最豐富的一個部分，主要是因為這個概念能夠用來解決物理學(xué)上的問題。

世界旅行圖

如圖所示，選擇到任意一個城市去游玩，并且按照每條線上所指的方向到每座城市旅行，要求到達(dá)每座城市的路線不能重復(fù)，你可以做到嗎？比方說，要想從柏林出發(fā)，最終到達(dá)倫敦，且在這個旅行途中游覽了所有其他城市，你能做到嗎？

一個完整的有向圖，如我們在七個點上構(gòu)建的圖形，被稱為一個巡回。

完整有向圖具有一個驚人的屬性，那就是無論這個箭頭的方向如何，每一個巡回都會形成一條哈密頓路，這條路只能經(jīng)過每個頂點一次。我們應(yīng)該注意到，要想完成一條哈密頓路，我們在這個旅程中可能就不會經(jīng)過某些邊。

流動推銷員的問題——1859年

與哈密頓回路相關(guān)的一個問題，就是流動推銷員問題。

流動推銷員問題實際上就是要在一個加權(quán)完全圖里找尋一條哈密頓回路，讓所有邊的權(quán)值之和最小。

完全圖是指圖中每兩個頂點都由一條邊連接起來。

加權(quán)圖是這樣一種圖形，圖中每條邊都添加了一個被稱為權(quán)值的數(shù)字（可以是距離或另一個數(shù)值）。所有加權(quán)值的總和被稱為回路的加權(quán)值。流動推銷員這個問題就是要找到加權(quán)值最小的回路。在絕大多數(shù)問題中，一個特定的頂點已經(jīng)被設(shè)為起點。

如圖所示，你能在五點加權(quán)圖上找到加權(quán)值最小的回路嗎？

霍迪克定理——1858年

長度固定的一條弦被點P分為兩段，長度分別是p與q，沿著凸?fàn)畹那€滑行，滑行曲線的兩端始終接觸到曲線。給出兩個例子：一個圓與一個雞蛋形狀的曲線。點P將會在這兩個原始的曲線里分別繪制出一個全新的曲線。圓內(nèi)部的曲線將是另外一個圓。

問題就是要尋找原始曲線與衍生出來的曲線之間的面積（如藍(lán)色區(qū)域所示）。

哈姆內(nèi)特·霍迪克牧師（1800—1867）于1858年發(fā)表了他發(fā)現(xiàn)的定理。這條定理闡述了兩條曲線之間的面積是πpq，這是一個讓人驚訝的結(jié)果，因為這個區(qū)域的面積與曲線的形狀沒有任何關(guān)系。

哈密頓路與哈密頓回路

歐拉路與歐拉回路關(guān)注的是找尋能夠覆蓋一個圖形每條邊的路線。哈密頓路與哈密頓回路則主要解答經(jīng)過一個圖形每個頂點的問題，而不需要關(guān)注是否經(jīng)過了圖形的所有邊。

這類問題是愛爾蘭數(shù)學(xué)家威廉·羅恩·哈密頓爵士首先進(jìn)行研究的，他對于找尋一個只能經(jīng)過圖形每個頂點一次，然后返回到起點的回路這種問題非常感興趣，這個回路就是我們今天所說的哈密頓回路。

經(jīng)過了圖形每個頂點，最終卻沒有回到起點的路線，就被稱為哈密頓路。與歐拉路以及歐拉回路不同的是，判斷一個圖形是否有哈密頓回路，并沒有一個快速的方法。

哈密頓回路

謎題一：如圖所示，你能在一個有十一點的圖形上找到一條哈密頓回路嗎？

謎題二：如圖所示，從綠圈出發(fā)，到達(dá)中間較大的紅圈，然后再返回，你能找到一條回路嗎？如果這不可能做到的話，至少需要回溯幾條邊才能做到呢？

令人困惑的錯覺世界——1860年

在視覺現(xiàn)象中最有趣的就是視錯覺，有時也被稱為“幾何悖論”。

在視錯覺情況上，我們看到的事物是我們認(rèn)為的樣子，而不是事物的真實面貌，因為我們之前的人生經(jīng)驗與受到的各種影響都會影響我們看待事物的方式。我們感知系統(tǒng)所具有的這種視覺屬性可以廣泛應(yīng)用到日常生活當(dāng)中，應(yīng)用在科學(xué)、數(shù)學(xué)、藝術(shù)與設(shè)計等方面。

我們的觀察與感知能力在可靠程度上值得警惕，尤其在測量方面。

視錯覺會以其他方式呈現(xiàn)出來，使我們看到的形狀似乎能發(fā)生變化，也確實如此。用更精確的語言說，我們對所看到的事物的理解，同樣基于一套規(guī)則。這些是不成文的規(guī)則，但卻可以通過人生經(jīng)驗習(xí)得。

正如邏輯層面上的規(guī)則似乎會分解為多個悖論，感知的法則似乎也會出現(xiàn)錯誤。

當(dāng)這種情況發(fā)生的時候，就會出現(xiàn)錯覺。明白這一點，有助于我們清楚了解這些規(guī)則的重要性，明白我們是多么依賴這些規(guī)則。

我們可以相信：事物可能要比它們看上去更大一些；我們能看到二維平面上的深度，能看到不存在的顏色與不存在的運(yùn)動形態(tài)。

感知的許多方面，都像是一門需要學(xué)習(xí)的語言。

每天，我們與這個世界的接觸，90%都是靠眼睛，除非我們閉上眼睛，關(guān)上了解世界的心靈窗戶。人的視覺系統(tǒng)并不單純像攝像機(jī)那樣，只是直接接收信息，并且對這樣的信息加以記錄。

眼睛與大腦協(xié)同合作，就像一個處理裝置，能夠?qū)碜酝獠渴澜绲暮Ａ啃畔⑦M(jìn)行分析與處理。視覺器官不僅能夠排除許多不相關(guān)的信息，識別許多不熟悉的信息，而且正如我們所看到的，我們的視覺器官還能在信息有限的情況下運(yùn)轉(zhuǎn)，“填補(bǔ)”信息的空白。

也許，這就是所謂的“附加原則”，意思是指當(dāng)我們看到一系列事物的局部，以及剩余部分的暗示時，就可以呈現(xiàn)事物的全貌。

藝術(shù)創(chuàng)作在很大程度上就基于這種填補(bǔ)、補(bǔ)充與組織，我們一般人的視覺系統(tǒng)也是這樣運(yùn)轉(zhuǎn)的。一般說來，感知系統(tǒng)具有更多神奇之處，你可以通過研究這個問題去發(fā)現(xiàn)更多。

在任何情形下，我們都應(yīng)該意識到，我們的感知系統(tǒng)是存在局限的，無論進(jìn)行多少訓(xùn)練，視覺系統(tǒng)都無法完全適應(yīng)某些特殊的任務(wù)。解決這個問題的方法就是拓展我們的感知系統(tǒng)——去發(fā)明能夠幫助提升我們感知系統(tǒng)的工具。

幸運(yùn)的是，在過往的歷史里，每當(dāng)有現(xiàn)實的需求時，人類總能成功地發(fā)明出這樣的工具。

措爾納錯覺——1860年

措爾納錯覺是一個經(jīng)典的視錯覺現(xiàn)象，這是以它的發(fā)現(xiàn)者，德國天體物理學(xué)家卡爾·弗里德里?！ご霠柤{（1834—1882）的名字命名的。1860年，措爾納以信件的方式將他的發(fā)現(xiàn)成果寄給物理學(xué)家兼學(xué)者約翰·克里斯蒂安·波根多夫。之后，波根多夫發(fā)現(xiàn)了與此相關(guān)的波根多夫錯覺現(xiàn)象。

如圖所示，黑色的線似乎是不平行的，但實際上它們是平行的。較短的線與較長的線形成一個角度。這個角度會給人留下這樣一種印象，那就是，較長的線的一端要比另一端離我們更近一些。

波根多夫錯覺

波根多夫錯覺是一種幾何光學(xué)錯覺，一條橫線被一個遮蔽結(jié)構(gòu)（在這里是一個長方形）的輪廓所打斷，讓我們對其中一個部分所處的位置產(chǎn)生錯誤的認(rèn)知。

謎題一：在不使用直尺的情況下，你知道哪一條有色線是黑色積木背后隱藏的兩條線的延伸嗎？

謎題二：只需通過觀察的方式，你能說出哪一條有色線是黑色積木背后黑色圓的延伸嗎？

三只狗為一組——1863年

謎題一：六個女孩與三個男孩按照三只狗為一組的方式，在十二天里輪流遛狗，每一對都只能出現(xiàn)一次，你能找到問題的解嗎？

謎題二：這個問題的一個變種同樣是斯坦納提出的。假設(shè)九個孩子在四天時間里按照三只狗為一組的方式遛狗，同樣每一對都只能出現(xiàn)一次。在這種情況下，又會形成怎樣的組合呢？請?zhí)钤谏厦娴谋砀窭铩?/p>

線與連桿——點與線

連桿的運(yùn)動存在著某些讓人著迷的地方。你可以利用紐扣或金屬圈輕而易舉地將紙片連接起來，做成一個簡單的連桿裝置。平面上的連桿就是一個通過各個可移動的點去連接其他滾軸的系統(tǒng)，或是通過樞軸將桿固定在平面上，使它們成為能夠自由移動的系統(tǒng)。

那么，可以通過點與線的運(yùn)動，制造出一個連桿嗎？早先，人們認(rèn)為這樣的問題是無解的。

將一根木棍一端固定，自由的一端會怎樣運(yùn)動呢？對連桿來說，做圓周運(yùn)動是很容易的，也是非常自然的。關(guān)鍵就在于如何在沒有一條固定直線的情況下，建構(gòu)一個直線的運(yùn)動。

這在幾何學(xué)上不只是一個理論問題。蒸汽機(jī)產(chǎn)生的自然運(yùn)動方式就是轉(zhuǎn)動，雖然它可以通過活塞的直線運(yùn)動轉(zhuǎn)化而產(chǎn)生，但是活塞需要軸承，而軸承必然磨損。

連桿提供了一個更加令人滿意的解決方案。連桿的第一個實用的解決方案是詹姆斯·瓦特（1736—1819）設(shè)計的，他發(fā)明的蒸汽機(jī)也只是近似于連桿而已。

“要是人們從一開始就知道，自然界根本就不存在嚴(yán)格意義上的直線、圓及絕對星等，那么數(shù)學(xué)肯定是不會存在的?！?/p>

——弗里德里?！つ岵?/p>

波塞利耶-利普金與瓦特的連桿——1864年

波塞利耶-利普金連桿發(fā)明于1864年，這是第一個能夠?qū)⑿D(zhuǎn)運(yùn)動轉(zhuǎn)變?yōu)橐环N完美直線運(yùn)動的平面連桿。這種連桿是以法國陸軍軍官查爾斯?尼古拉斯?波塞利耶（1832—1913）與著名的立陶宛拉比猶太人撒蘭特的兒子利普曼?利普金（1846—1876）的名字命名的。

在這種連桿發(fā)明之前，人們在沒有相關(guān)指引的情況下，根本找不到一種方法能在平面上產(chǎn)生直線運(yùn)動。因此，作為一種機(jī)器構(gòu)件，這種連桿就顯得特別重要，對制造業(yè)來說也是如此。

以傳動軸有效密封來維持驅(qū)動介質(zhì)的活塞頭就是一個特例。可以說，波塞利耶連桿對蒸汽機(jī)的發(fā)展至關(guān)重要。

波塞利耶連桿體現(xiàn)的數(shù)學(xué)知識與圓反演直接相關(guān)。

薩魯斯連桿是稍早一點的直線機(jī)構(gòu)（straight-line mechanism），盡管它在當(dāng)時少為人所關(guān)注。在波塞利耶-利普金連桿出現(xiàn)前11年，皮埃爾?薩魯斯就已經(jīng)發(fā)明了這種連桿。這種連桿包括一系列的鉸鏈?zhǔn)骄匦伟?，其中兩個矩形板處于平衡狀態(tài)，但能夠相互關(guān)聯(lián)運(yùn)動。波塞利耶-利普金連桿是一種平面機(jī)構(gòu)，而薩魯斯連桿則是三維的，被稱為空間曲柄。

觀察下面兩種連桿裝置，你能猜出當(dāng)藍(lán)色連桿沿著圓形路徑旋轉(zhuǎn)時，白色的點所要經(jīng)過的路線是什么樣子的嗎？

機(jī)械學(xué)是數(shù)學(xué)的天堂，因為通過機(jī)械學(xué)，我們可以收獲數(shù)學(xué)結(jié)出來的果實。

——列奧納多·達(dá)·芬奇

穿過地球的旅行——1864年

好吧，假設(shè)我們已經(jīng)在地球上鉆了一個洞。

這只是一個思維實驗。假設(shè)一個人掉進(jìn)了這個洞——如果上帝允許的話，那會出現(xiàn)什么情況呢？

在你的這趟旅行里，我們假設(shè)地球的密度是均勻的，而且忽視空氣阻力以及地球內(nèi)部極高溫度等因素。

解決問題與謎題游戲

馬塞爾·達(dá)內(nèi)西在他那兩本著名書籍《騙子悖論》與《河內(nèi)塔：有史以來最著名的十個謎題》里，就提到了山姆·勞埃德的“逗馬”謎題，認(rèn)為它是展現(xiàn)洞察思維的最好例子，而洞察思維對于解答此類問題是如此之重要。

一般來說，在解決這類問題的時候，有三種不同的策略可以選擇：

1.演繹推演：這種策略要求我們之前就要對解答問題所需的知識有所掌握。

2.歸納法：觀察問題所包含的諸多事實，通過邏輯推理方式找到解決問題的辦法。

3.洞察思維：這種方法可能首先是以反復(fù)試驗的方式進(jìn)行的，然后通過猜想與直覺的方式，憑借直覺獲得被隱藏起來的答案。洞察思維是人類在數(shù)學(xué)領(lǐng)域取得重要進(jìn)步的基礎(chǔ)。很多數(shù)學(xué)方面的問題最初都是被設(shè)計成具有挑戰(zhàn)性的謎題游戲，其中的數(shù)學(xué)定理就隱藏在這些謎題游戲里。

“逗馬”謎題

“逗馬”謎題基于原始的“逗騾子”謎題，這個謎題是美國著名謎題專家山姆·勞埃德發(fā)明的。

勞埃德少年時期就發(fā)明了這個謎題，該謎題可以說是有史以來最具美感的謎題之一，也可以說是橫向思維的一次視覺杰作。

只運(yùn)用你的想象力，你能以正確的方式把騎手和馬鞍放在馬背上嗎？

如果你無法通過想象回答這個問題，可以將這兩位騎手及馬鞍剪下來，然后以恰當(dāng)?shù)姆绞綄ⅠR鞍放在馬匹的后背上。

提示：這個問題看上去極為簡單，只有當(dāng)你嘗試去解答這個問題時，才會發(fā)現(xiàn)它并不簡單。當(dāng)你以正確的方式將馬鞍放置好了之后，之前看上去疲憊不堪的馬匹就會奇跡般地飛奔起來了。

不準(zhǔn)耍任何把戲，不能彎曲，允許折疊或剪切。

面對這個謎題時，很多人的大腦都會產(chǎn)生概念性的“積木”，導(dǎo)致無法將騎手放在正確的位置上。但是，解決這個謎題的方法其實非常簡單。

勞埃德將“逗馬”謎題賣給了P.T.巴納姆，巴納姆賣出了數(shù)百萬份這樣的商品，而勞埃德也在幾個星期內(nèi)就得到了一筆超過一萬美元的版權(quán)費(fèi)——在那個時候，這可是一筆不小的數(shù)目。從此以后，這個游戲的數(shù)以百計的衍生版本紛紛面世。山姆·勞埃德的這種“逗馬”游戲可能是受到17世紀(jì)的墨水畫《波斯馬》的影響。

“他們找不到解決的方法，是因為他們看不到真正的問題。”

——G. K.切斯特頓

“一個問題如果能被充分地闡述，其實就解決大半了。”

——巴克敏斯特·富勒

山姆·勞埃德的火星謎題

從“T”點出發(fā)，拜訪火星上20個站點，然后拼寫出一個完整的英文句子。你必須沿著“隧道”前進(jìn)，并且不能兩次經(jīng)過同一個站點。

當(dāng)山姆·勞埃德第一次發(fā)布他的“火星謎題”時，他收到了超過一萬封回信，很多人都在信中說：“這是不可能做到的?！蹦隳芙獯疬@個謎題嗎？

幾何消失——1871年

“幾何悖論”或“幾何消失”的神奇圖像非常微妙，直到如今仍然讓人著迷，令人驚訝，成為人們談?wù)摰慕裹c。即便在對幾何消失的原理進(jìn)行解釋之后，我們依然會對感知系統(tǒng)產(chǎn)生懷疑。

美國謎題發(fā)明者山姆·勞埃德是這類游戲最著名的開發(fā)者，其中一個著名的游戲就是“離開地球”。

梅爾·斯托弗（Mel Stover，1912—1999）與其他人完善了這種藝術(shù)，創(chuàng)造出了一個微妙的變異版本，繼續(xù)完善這個原理。幾何悖論涉及對總長度或總面積的拆分與重組。在重組之后，其中一部分圖形就會莫名其妙地消失不見。這背后的解釋就是馬丁·加德納所謂的隱藏分布原理，這取決于我們的眼睛對重組之后的版本的容忍程度。我們的眼睛經(jīng)常會忽視各個部分或重新組裝部分之間的細(xì)小差別，認(rèn)為這兩個部分都擁有相同的長度或面積。

比方說，如下面左圖所示，當(dāng)下半部分往右平移時，12條垂直的線就變成了11條。

如下面右圖所示，當(dāng)內(nèi)部的輪子沿著逆時針的方向轉(zhuǎn)動一個刻度，12條軸射線就會變成11條。顯然，在這兩種情況下，并沒有任何東西真正消失。

神奇的鉛筆（一）

在下圖中，當(dāng)內(nèi)部的輪子以順時針方向轉(zhuǎn)動三個空間位置，那么這幅圖中的7支藍(lán)色鉛筆與6支紅色鉛筆就會轉(zhuǎn)變成6支藍(lán)色鉛筆與7支紅色鉛筆，如圖所示。你能說出哪一支鉛筆的顏色發(fā)生了改變嗎？這個游戲是梅爾·斯托弗經(jīng)典謎題的一個全新設(shè)計版本。

神奇的鉛筆（二）

7支紅色的鉛筆與6支藍(lán)色的鉛筆。想象一下，交換圖形下面兩個較低部分的位置。你猜會出現(xiàn)什么情況呢？

裝箱問題——1873年

裝箱問題無論在工業(yè)里還是技術(shù)上都是很重要的。裝箱的目的就是將一組物體裝入一定數(shù)量的箱子里，讓總數(shù)（總長度或總體積）不會超過某個特定的數(shù)值（也就是打包箱子的體積大?。?/p>

按任意順序?qū)⑽矬w裝入首次適合其大小的箱子里，這就被稱為“首次適應(yīng)裝箱”，這樣做并不是很高效。簡單的生活經(jīng)驗與邏輯學(xué)將大幅度提升裝箱效率。我們可以采用所謂的“首次適應(yīng)，從最重到最輕”的方法：按照從最重到最輕的順序?qū)ξ矬w進(jìn)行排列，然后將物體放入箱子里。這種算法的誤差絕對不會超過22%。

1973年，戴維·約翰遜在美國電話電報公司任職時，就證明了不可能做到比22%更好。

羅恩·格雷厄姆發(fā)現(xiàn)了一個有趣的裝箱問題，這個問題與一個違反直覺的悖論存在著聯(lián)系。這個悖論是這樣說的：利用“首次適應(yīng)，從最重到最輕”的算法，在每個箱子可以裝載524千克物體的情況下，需要多少個箱子才能裝入如下重量的33個砝碼呢？這些砝碼的重量（千克）分別是442，252，252，252，252，252，252，252，127，127，127，127，127，106，106，106，106，85，84，46，37，37，12，12，12，10，10，10，10，10，10，9，9。

裝箱游戲

根據(jù)“首次適應(yīng)，從最重到最輕”算法來裝箱。

要想將這33個砝碼全部裝在箱子里，需要多少個箱子呢？

現(xiàn)在，若是將46千克的那個砝碼拿掉，根據(jù)相同的法則重新裝箱，又需要多少個箱子呢？

著名的滑塊游戲及其背后的故事——1880年

滑動1到15的方塊，你能通過將15-14這樣的順序改為14-15這樣正確的順序，使每個數(shù)字的方位按順序排列嗎？

滑塊游戲的鼻祖，無疑就是著名的“十五格拼圖”。直到現(xiàn)在，這個游戲依然以不同的形態(tài)與其他版本在市場上銷售。

如果你試圖破解14-15謎題，可能就會失望地發(fā)現(xiàn)，你無法做到。千萬不要對此感到氣餒！這個14-15謎題多年前就已經(jīng)被山姆·勞埃德思考過。這個謎題是無解的。

消遣數(shù)學(xué)歷史上有兩個拼圖游戲曾在世界范圍內(nèi)引發(fā)狂熱，一個是14-15謎題（這已經(jīng)是120多年前的謎題了），另一個則是最近出現(xiàn)的魯比克魔方（參見第9章）。

山姆·勞埃德曾懸賞1000美元，獎給任何能夠解決這個謎題的人。他肯定是深信沒有人能夠獲得這筆獎金的。在14-15謎題里有超過6000億種可能的組合，其中有一半的組合無法將數(shù)字恢復(fù)到順序的狀態(tài)。勞埃德的拼圖只不過是其中的一種而已。勞埃德知道，要想將這些積木按順序排列，只在交換次數(shù)為偶數(shù)時才有可能。

因此，一個簡單的奇偶校驗就會讓你明白能否找到解答的方法。我們可以將一對數(shù)字變換位置，計算變換的次數(shù)，直到獲得滿意的結(jié)果。如果變換次數(shù)是偶數(shù)的話，那么通過滑動方塊做出的變換就是有可能的，否則就是不可能的。在電腦語言里，十五格拼圖與相似的滑塊游戲都是時序機(jī)模型。每一個滑塊的移動都代表著一種輸入，代表著滑塊的每一種排列狀態(tài)。解答這個問題的人很快就會發(fā)現(xiàn)，他們深深著迷于找尋能達(dá)成目標(biāo)的最小輸入鏈條。這絕不全是試錯！我們很快就會“看到”某些線路會引領(lǐng)我們走向一條死胡同，而其他的線路看上去則很有希望，而且你的直覺最終會帶領(lǐng)你找到解答。

山姆·勞埃德宣稱他發(fā)明了十五格拼圖。事實上，這個游戲是諾伊斯·帕爾默·查普曼（Noyes Palmer Chapman）這位紐約加納斯托塔地區(qū)的郵政局長于1874年發(fā)明的，被冠以“寶石拼圖”的名字。1880年3月，他申請專利，但遭到了拒絕，因為專利局的人認(rèn)為這與歐內(nèi)斯特·U.金西在1878年發(fā)明的“拼圖塊”專利（US207124）并沒有明顯的區(qū)別。

想了解十五格拼圖的真實故事，可以查閱斯洛克姆與松內(nèi)維德有關(guān)十五格拼圖的有趣書籍。