- 迷人的數學（全2冊）
- (英)伊凡·莫斯科維奇
- 16113字
- 2021-09-22 15:25:13
Chapter 6 維度、隨機性與河內塔游戲
盧卡斯的謎題——1883年
在我九歲生日的那天，我得到了人生中的第一個游戲裝置。這個游戲裝置有一個木質的底座，上面有七個木樁與兩組放在木樁上的圓環（每組三個）：一組是紅色的，另一組則是藍色的，如圖所示。游戲的目標就是根據一些簡單的原則，將兩組圓環位置互換。在當時的我看來，這是非常簡單的。但在玩了一小時之后，我放棄了。我得出了結論：這是不可能做到的。
但在幾天之后，我又重新去玩這個游戲，并且深深沉浸其中。這個游戲必然是有解的，因為這個游戲的說明書上是這樣寫的。于是，我下定決心去解開這個謎題。我頑強地面對解答過程中面臨的各種困難。一小時后，我突然找到了解開謎題的方法。我感到非常高興，為自己感到無比驕傲。
從那時起，我覺得自己是喜歡謎題的。我那個時候不知道的是，這是謎題進入我生活的開始。在解答謎題的過程中，我使用了一種名為“暴力算法”的方法。
我遇到的第一個謎題就是所謂的“盧卡斯謎題”，它是法國著名數學家愛德華·盧卡斯（1842—1891）發明的。他還發明了其他一些著名的消遣數學游戲。盧卡斯的謎題是最早的需要重組籌碼，形成某種特殊隊列結構的謎題與游戲之一。
之后，當我開始設計與發明謎題與游戲時，我最早的一個發明就是“棘手的按鈕”這個游戲。它受到了盧卡斯謎題的基本組合概念的影響，并且擴展到了任意數量的游戲組合。這里的四個謎題都是對盧卡斯謎題的拓展。下一頁的游戲板就是為了能在這本書中直接玩這個游戲而設計的。
棘手的按鈕游戲
下面一頁中四個游戲的目標，就是根據下面的簡單規則，通過交換兩組籌碼（數量分別是3，4，5與6），使之交換位置。
在初始圖形里，兩組籌碼分別是放在左邊的紅色硬幣與放在右邊的藍色硬幣，如圖所示，要完成交換，需要八步。
規則如下：
1.一次只能移動一枚硬幣。
2.硬幣可以移動到相鄰的空位置。
3.硬幣可以跳過與其顏色相反的位置，移動到它相鄰的空位置。
4.硬幣不可以跳過與其有著相同顏色的硬幣。
5.紅色的硬幣只能向右移動，而藍色硬幣只能向左移動。
要解答每一個謎題，至少需要多少個步驟呢？你能找到一般規律，使其適用于兩組任意數量的籌碼嗎？比方說，要將兩組硬幣，每組十枚位置互換，至少需要多少步呢？
謎題二
三枚硬幣交換
河內塔——1883年
河內塔游戲是最具美感的游戲之一，是法國數學家愛德華·盧卡斯于1883年發明的。
這個游戲源于一個傳說：在貝納爾斯有一座雄偉的宮殿，宮殿里面有一個黃銅盤，上面插著三根大針。一開始，64個黃銅圓盤按照由大到小的順序套在一根大針上，最大的圓盤放在底部。無論白天還是黑夜，一位祭師都會以相同的速度將一個圓盤從一根大針上轉移到另外一根大針上，且不允許任何一個圓盤放在一個比它小的圓盤之上。當這座由圓盤搭建的塔在另外兩根大針中的一根上重建的時候，宇宙就會終結。
即便這個傳說是真實的，我們也沒有任何擔心的理由。即使每秒移動一個圓盤，完成這項工作也要花費6000億年的時間，這個時間大約是太陽壽命的60多倍。在某個較小數量的圓盤上完成河內塔所需的必要步驟為2n-1。因此，兩個圓盤就需要三個步驟，而三個圓盤則需要七個步驟，依此類推。
巴比倫
這個游戲是經典的河內塔游戲的一個衍生版本。
你可以選擇不同的難度級別，下面給出了幾個樣板。
如圖所示，左邊的卡槽里碼放著一些圓盤，每個游戲的目標就是將這些圓盤按照相同的順序轉移到右邊，數字最大的圓盤要放在卡槽底部。
這四個游戲的目標就是要分別將3、4、5、6個圓盤按照相同的順序轉移到右邊的卡槽，數字最大的圓盤放在最底部，越往頂部，圓盤數字越小。記住要遵循下面的規則：
1.一次只能移動一個圓盤。
2.不要將任何圓盤放在一個比它數字小的圓盤之上。
3.可以利用中間的卡槽，但需要遵循第一條與第二條規定。
要想完成這樣的轉移，你需要走多少步呢？你可以試著完成第一個游戲，然后再去嘗試難度更高的游戲。
河內塔游戲板
用圓盤或兩組小硬幣來玩，試著解答上一頁的四個謎題。
船只相遇
這一具有美感的問題是19世紀法國著名數學家愛德華·盧卡斯提出來的。這個問題是這樣的：在每天中午時分，一艘船離開勒阿弗爾港口，前往紐約；另一艘船則在同一時間離開紐約，前往勒阿弗爾港口。這趟旅程要持續七天七夜。往返于紐約與勒阿弗爾港口之間的船會在這趟旅程中相遇多少次呢？
平原地區與二維世界——1884年
天體物理學家們認為，宇宙是由四維空間組成的——其中三維是空間，剩下一維則是時間——學界最近的一些理論則認為，甚至還可能存在著更高的維度。
我們該怎樣去理解這種假想的更高維度呢？要解答這個問題可以通過類比的方式，從我們日常的世界中抽離出來，想象一個二維的世界。
1884年，英國牧師廉科學傳播者埃德溫·A.阿博特進行了一次激動人心的嘗試，描繪了一個二維的世界。在他那本名為《平原地區》的諷刺小說里，里面的人物基本都是幾何圖形，在一個無限伸展的二維平面上不斷滑動。除了這個平面所具有的微不足道的厚度之外，生活在這個平原上的人對于三維空間或三維以上的空間都缺乏認知。
雖然阿博特并沒有在書中描述平原地區的任何物理法則與科技創新，但這本書卻催生了許多解答這些問題的方法。與此相關的一本書名為《平原地區的一個章節》，是查爾斯·霍華德·欣頓在1907年寫的，這本書巧妙地拓展了阿博特之前的想象。
欣頓書中的一切動作，顯然都發生在一個名為阿斯特里的二維星球上。阿斯特里星球只是一個巨大的圓，上面的居住者都住在圓周上，并且始終面對著同一個方向。所有的男性都面對著東方，所有的女性都面朝著西方。每個人要想看到背后的東西，就必須向后彎曲、倒立，或利用一面鏡子。
阿斯特里星球上有兩個國家，尤納尼安是一個文明國家，位于這個星球的東方；而野蠻的國家塞西亞則位于星球的西方。這兩個國家爆發了戰爭，賽西亞人擁有巨大的優勢，能夠從背后襲擊尤納尼安。無助的尤納尼安人民被迫退回到一片臨海的狹小區域。
在種族滅絕的危險時刻，一項科技發明拯救了尤納尼安人民。他們的天文學家發現這個星球是圓的。于是，一隊尤納尼安士兵穿越大海，對塞西亞軍隊發動了突然襲擊，結果打了塞西亞軍隊一個措手不及，因為他們根本想不到對方會從后方發動襲擊。就這樣，尤納尼安人民擊敗了他們的敵人。
阿斯特里星球上的房子只有一個大門，管道與水管都是不存在的。繩索也無法系在一起，只有杠桿、鉤子與鐘擺能夠使用。
平原地區的等級制度
阿博特在他的《平原地區》一書里呈現了一個二維的數學世界。
·女性是一條鋒利的直線。
·士兵與工人是等腰三角形。
·中產階級是等邊三角形。
·專業人士是正方形與五邊形。
·上層人士從六邊形開始，一直到圓形，這些人是平原地區的高級牧師。
若是從后面看的話，女性是根本看不見的，而且存在著相互碰撞的高度危險。因此，法律規定女性只能永遠扭曲蠕動，好讓別人能夠看到她們。
平原地區的災難
想象一下，生活在二維世界里具有智慧的外星人被限制在一個叫“平原地區”的二維表面上。這些外星人不僅身體被限制在平原地區，就連感官上也是如此。他們沒有任何能力感覺二維世界之外的其他東西。
每隔一萬年，一個三維的巨大隕石立方體就會撞上這個二維表面，并將之擊穿。生活在平原地區的外星人將會經歷怎樣的天文災難呢？
立方體切割——1885年
1880年，歷史上第一個提出幼兒園概念的發明家弗德里希·福祿貝爾（Friedrich Froebel）強調了讓幼兒玩幾何游戲的重要性。
當一個球體穿過一個平面，就像阿博特提到的平原地區一樣，我們很容易就能想象到這樣的穿透次序：點，不斷增大到極限的圓形，接著又回歸到之前的狀況，不管是從哪一點切入的。
但如果面對的是一個立方體，又會出現怎樣的情形呢？當一個立方體穿過一個平面時，又會創造出什么形狀呢？上面所示的圖形都可以通過立方體切割一個平面得到嗎？
附加題：你該怎樣切割一個四面體，才能獲得一個方形截面呢？
約當曲線定理——1887年
所謂的約當曲線就是在一個平面上，一條非自相交的連續線圈，這是一個簡單的封閉曲線的別稱。
約當曲線定理認為，每一條約當曲線可以將平面分為一個被曲線圍起來的“內在”區域與一個能夠包含附近或遠處外在點的“外在”區域，因此，任何一條連接不同區域中兩個點的連續路徑都會與約當曲線在某處相交。
約當曲線定理認為，如果一個點在任意一個方向上形成的直線交叉數都是奇數的話，那么這個點就在簡單封閉曲線內部。雖然這一定理的闡述看上去是不證自明的，但是要想通過基本的數學方法去進行證明卻并不容易。更為明晰的證據依賴于代數拓撲學工具，利用這些工具可以讓我們對更多維度的空間進行概括總結。
約當曲線定理是以數學家卡米耶·約當（Camille Jordan，1838—1922）的名字命名的，他是第一個證明這個定理的人。長期以來，他的證明都被認為是不成立的，不過，這種觀點近年來已受到了挑戰。
對于光滑曲線來說，顯然如此。但是，曲線也可以是非常復雜的。在這種情況下，這一定理就不適用于科赫雪花那樣的曲線了。
貓和老鼠
花園被一個不相交的彎曲的柵欄分為了兩個區域——一個是內部的區域，一個是外部的區域。花園的某些部分是可以看到的，而其余的部分則被樹木所遮擋。
約當曲線定理在這種情況下是否依然適用呢？
兩只想要捕捉老鼠的貓都在柵欄外面。它們無法跨越柵欄。請問，有多少只老鼠會被貓捉到呢？
貝特朗悖論——1888年
1888年，約瑟夫·貝特朗（Joseph Bertrand，1822—1900）在他的著作《概率計算》一書里提出了一個關于概率論的經典而重要的問題：如果產生隨機變量的方法不明確，那么概率也不可能明確。
他提出的問題是這樣的：以一個圓的內切等邊三角形為例，如果我們隨機選擇一條弦，那么這條弦比三角形的一條邊更長的概率是多少呢？
貝特朗就選擇隨機弦提出了三個論點，這三個論點都是合理的，但卻會推導出不同的結果，這就產生了一個以他名字命名的悖論。因為并不是什么獨一無二的選擇，因此當然也不可能找到獨一無二的解決方案。只有當隨機選擇的方法被明確規定之后，我們才能找到解決這個問題的方法。我們可以對三種不同的選擇方法進行解釋，也可以進行視覺化的呈現。
解法一：隨機端點方法
在一個圓的圓周上隨機地選擇兩個點，其中一個點剛好與三角形的一個頂點重合。如果弦上的其他點都落在三角形另外兩個頂點之間的弧上，那么這條弦就比這個三角形的邊更長一些。弧長是圓周長的三分之一，所以隨機選擇的一條弦的長度比三角形一條邊更長的概率是33%。
解法二：隨機半徑方法
選擇一條半徑將三角形的一條邊二等分。在半徑上選擇一個點，以此作一條經過該點的弦，使它與這條半徑垂直。
如果選擇的點比三角形一邊與半徑相交的點更接近圓心，那么弦的長度就要長于三角形的邊長。因此，隨機選擇一條弦比三角形一條邊更長的概率是50%。
解法三：隨機中點方法
在圓內隨機選擇一個點，以這個點作為中點，作出一條弦。
如果選擇的點落在一個半徑為大圓半徑二分之一的同心圓上，那么這條弦的長度就要比三角形的邊更長一些。較小圓的面積是較大圓面積的四分之一，因此概率就是25%。
超正方體與超立方體——1888年
在幾何學上，超正方體是立方體在四維空間里的模型。超正方體之于立方體，就好比立方體之于正方形。正如立方體的表面是由六個正方表面組成的，超正方體的超級表面則是由八個立方體組成的。
超正方體是六凸正則四胞形。超過三個維度的立方體被稱為“超立方體”，或“n立方體”。
超正方體是四維的超立方體，又稱為四立方體。
超正方體謎題
謎題一：在一個超正方體里，一共有多少個角、多少條邊、多少個面與多少個立方體呢？
謎題二：將0到15的數字填入上面的超正方體的頂點圓內，使骨架立方體上正方形面的數量能夠達到30個。
謎題三：如圖第一個超正方體所示，你能從左邊的二維圖形里找到多少個骨架立方體？
亨利·珀里加爾的爬行正方形——1891年
復制并剪切出一個被截斷的三角形的八個部分，然后將它們重新組裝成一個完整的正方形。
亨利·珀里加爾（1801—1898）
亨利·珀里加爾是一位英國業余數學家，倫敦數學協會1868年到1897年的會員，因他對畢達哥拉斯定理進行的基于剖分的證明而聞名于世。在他的《幾何剖分與移項》（Geometric Dissections and Transpositions）一書里，珀里加爾通過對兩個較小正方形進行剖分，使之變成一個較大的正方形，從而證明了畢達哥拉斯定理。他發現的五塊式剖分可以通過重疊一塊方磚的方式，用兩個較小正方形組成的畢達哥拉斯瓷磚鋪成一個較大的正方形。
珀里加爾在同一本書里也表達了這樣的希望，即基于剖分的思想同樣能夠解決化圓為方這個古老問題，然而，在1882年，林德曼-魏爾斯特拉斯定理已經證明，這個問題是不可能解決的。
點肖像
需要多少個點才能做出一幅神似瑪麗蓮·夢露的畫像？粗略估計一下，然后看你是否能用不多于25個點做到。
一個圓內的200萬個點
想象一下，在這個圓內剛好有一個隨機的200萬個點的集合，但是以目前的放大程度，你無法看到它們。是否存在一條經過圓的直線，剛好將這200萬個點二等分呢？你能找到一種理論依據、一種思維實驗來解決這個問題嗎？
西爾維斯特定理——1893年
如圖所示，你能找到一條直線穿過該圖，讓直線兩邊的點的數量都相等嗎？
1893年，詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特（1814—1897）提出了一個猜想：在一個平面上分布著有限數量的點，那么至少有一條線上剛好有兩個點（否則所有的點都會在相同的一條直線上）。1944年，這個猜想被匈牙利數學家蒂博爾·加萊證明。
西爾維斯特定理就是今天著名的以證明形式呈現出來的西爾維斯特-加萊定理，這條定理是這樣闡述的：給定有限數目的點，如果過任意兩點的直線都經過第三點，則所有點共線。
六角幻方
有關幻方的內容已經有很多了，但是幻方不僅與正方形相關，而且還與其他多邊形相關，比如，三角形、六邊形、圓形、五角星形以及其他多邊形。
謎題一：二階六角幻方有可能存在嗎？換句話說，將1到7的數字分別填入六角圖中所示的圓圈里，使兩層的六角圖中任意一條直線上的數字之和都等于同一個數，能否做到？可以告訴你們，無論你以怎樣的方式去安排這些數字，這個問題都是無解的。二階六角幻方顯然是不可能存在的。你能找到它不可能存在的證據嗎？
謎題二：另一方面，三階六角幻方則如圖所示。
六角幻方謎題——1895年
1895年，威廉·拉德克利夫在經過大量的試錯之后，終于發現：將數字1到19分別填入由19個六角形組成的圖形中，讓每一行中三個、四個或五個六角形中的數字之和都等于38，這是可以做到的。1963年，查爾斯·特里格證明了，這是唯一一種可以是任何尺寸的六角幻方。
拉德克利夫的六角幻方是一個獨特且讓人驚訝的數字模型謎題。你能將從1到19的數字填入六邊形的棋盤里，使任意一條直線上的數字總和都等于38嗎？
皮克定理——1899年
假設你有一個簡單的格點多邊形（這是指沒有自相交也沒有“洞”的多邊形），并且多邊形的每個頂點都在一個正方網格里，如圖所示。
我們的目標就是要計算出被多邊形包圍的區域的面積。我們可以先將多邊形劃分為多個部分，將每個部分的面積相加，就可以得到整個多邊形的總面積（我用這種方法得到了84.5平方單位的面積）。
但是，還有一種具有美感的簡單方法可以計算出這個多邊形的面積，即利用皮克的精彩公式。皮克定理提供了一種優雅的捷徑，可以得到一個簡單格點多邊形的面積。
皮克定理——格點多邊形的面積：A=i+b/2-1，這里，i=內點（藍色點）的數量，而b=邊界點（紅色點）的數量。利用皮克的公式，可以得到這個區域的面積是84.5平方單位，這與我們之前的計算結果是一樣的。
喬治·亞歷山大·皮克（1859—1942）
喬治·亞歷山大·皮克是一位奧地利數學家，作為納粹政權的受害者，皮克于1942年死于特來西恩斯塔德集中營里。皮克以計算格點多邊形面積的公式而聞名于世。他在1899年的一篇文章里發表了這個理論，但這個理論是在雨果·斯坦豪斯將其收錄到他的《數學速覽》一書中之后，才逐漸為世人所了解的。
——喬治·亞歷山大·皮克
——喬治·亞歷山大·皮克
三角形的內等分角
歐幾里得證明了，在一個三角形內，任意兩個角的二等分線的交點，距離三條邊的距離都是相等的。這一點就是三角形內切圓的中心，叫做內心。
一個相關的問題就是，一個三角形的三等分線是如何相交的呢？但是，這個問題要等上兩千多年，直到莫利提出了三等分線定理才找到解決辦法。
莫利定理——1899年
1899年，英國數學教授弗蘭克·莫利（Frank Morley，1860—1937）發現了一個具有美感的定理，該定理揭示了幾何學上一個讓人感到震驚的關系。
他的定理是這樣闡述的：將三角形的每個角三等分，相鄰兩個角的三等分線的交點連在一起，就能生成一個等邊三角形。
以任意一個三角形（綠色）為例，將每個角三等分，然后將相鄰兩個角的三等分線的交點連接起來，那么你將會得到一個等邊三角形（紅色）。
情況總是如此嗎？
你可以用任意形狀的三角形去嘗試。請注意，六個三等分點會形成六個內交點。將另外三個交點連接起來，另一個三角形就形成了。這一次形成的三角形不是等邊三角形。這是第二個莫利三角形（黃色）。
總的來說，莫利定理是指，將內角的三等分線都考慮在內的話，會再生成四個等邊三角形，如圖所示。
地圖著色問題——1890年
著名的四色定理直到最近才被電腦解答。來自南加州大學的赫伯特·泰勒注意到，地圖著色這個問題推而廣之就是對地圖上m個彼此分割的國家或區域進行著色的問題。
當一個國家的所有區域都必須用同一種顏色去著色時，那么至少需要多少種顏色對這張地圖進行著色，才能使兩個有共同邊界的區域不會有相同的顏色呢？按照上述說法，四色問題其實是m=1時的一個特例。此時正好需要四種顏色。
有趣的是，當m=2的時候，這個問題其實在1890年就已經被數學家珀西·約翰·希伍德（Percy John Heawood，1861—1955）證明了。他是第一個證明對地圖著色不需要6種以上顏色的人，他還做了一份m=2時用12種顏色著色的地圖。右圖就是希伍德制作的地圖。你能用12種顏色去著色嗎？這個地圖已經部分著色，你可以接著涂色。
珀西·約翰·希伍德（1861—1955）
珀西·約翰·希伍德是一位英國數學家，曾在牛津大學接受教育。他幾乎將自己的一生都投入到對四色定理的研究當中。1890年，他發現艾爾弗雷德·肯普（Alfred Kempe）的證明方法存在著一個漏洞。在這之前的11年里，肯普的證明方法被認為是正確的。既然四色定理備受爭議，他于是選擇了研究五色定理。1976年，通過電腦計算，人們終于找到了四色定理的證明方法。
G. A.狄拉克在《倫敦數學協會期刊》上發表的一篇文章里這樣寫道：“從他（希伍德）的形象、舉止與思維習慣上看，他是一位極不尋常的人。他留著濃密的胡須，身體消瘦，有點駝背。他經常披著一條古怪的具有復古氣息的披肩，提著一個古典的手提包。他的步伐是優雅且匆忙的。他的身邊經常會有一只狗相伴，甚至在他發表演說時也是如此。他為人非常坦率、虔誠，充滿善意。他那糅合著天真質樸與精明古怪而有趣的性格，不僅讓他吸引了很多人的興趣，還贏得了同事的敬仰與尊重。
他喜歡到鄉村玩耍，他的一個興趣愛好是希伯來語，這對數學家來說并不常見。他的綽號是‘貓咪’。杜倫大學每年都會向那些取得優異數學成績的畢業生頒發希伍德獎。”
多米諾組
三角形、正方形與立方體的邊、頂點、面與角都分別用兩種、三種、四種與六種顏色去著色——創造出顏色完全不同的廣義多米諾組。這個游戲的目的就是找出每組中不同的多米諾骨牌的數量，然后將完整的多米諾組放入不同形狀與大小的游戲盤上，并且要符合多米諾的基本原則——每一對接觸面都必須有相同的顏色。
彩色三角形
如圖所示，一個三角形被劃分為三個部分。用四種顏色對三角形的邊或頂點進行著色，你能夠創造出多少個不同的三角形呢？
彩色正方形
如圖所示，一個正方形被劃分為四個部分。用四種顏色對正方形的邊或頂點進行著色，你能夠創造出多少個不同的正方形呢？
彩色六邊形
如圖所示，一個六邊形被劃分為六個部分，用三種顏色對每條邊進行著色，你能創造出多少個不同的六邊形呢？
彩色立方體
你有多少種放置立方體的方法，從而讓這個立方體占據相同的三維空間呢？
二色、三色與六色立方體
一個立方體的每個面都用兩種、三種或六種顏色去著色。你能夠創造出多少個二色、三色與六色立方體呢？
二色角錐與棱柱
若是只用紅黃這兩種顏色給一個立方體與三棱柱的角著色，有多少種不同的著色方式呢？
麥克馬洪的廣義多米諾——1900年
經典的多米諾游戲其實就是一個線性的數字游戲。添加顏色或更為復雜的形狀（包括三維的立方體），就能夠創造出有趣的組合游戲（有關組合數學的美感問題，可以參考第4章的內容）。
亞歷山大·麥克馬洪（Alexander MacMahon，1854—1929）發明了多種類型的多米諾游戲，其方法就是將多邊形瓷磚平鋪在平面上，并且以對稱的方式去著色。
麥克馬洪的瓷磚組并不是任意擺放的：相同形狀的瓷磚被以各種可能的方式去著色，形成一個完整的瓷磚組，保證沒有任何兩塊瓷磚是一樣的。鏡像被認為是不同的，但是旋轉則被視為是相同的。這是一種很自然的假設，因為瓷磚通常都只是一邊著色，因此它們不可能翻轉，但在平面上卻可以沒有任何難度地轉動。這個游戲的目的就是根據多米諾原則，按照已有的幾何或對稱模式，擺放好一組完整的瓷磚。
麥克馬洪的數學工作基于對稱函數理論，即使其中的字母發生置換，代數表達式也不會發生改變。比方說，a×b × c與ab× bc × ca都是a, b，c的對稱函數。如果一個完整的麥克馬洪多米諾組的顏色發生了置換，我們還是會得到與之前顏色完全相同的瓷磚。這些多米諾組合所具有的美感是從這種深層次的置換對稱中衍生出來的。直到如今，麥克馬洪提出的思想依然為我們發明全新的拼圖游戲提供了許多探索的空間。
30個彩色立方體
珀西·亞歷山大·麥克馬洪引入了廣義的多米諾骨牌的概念，將標準的多米諾骨牌延伸到鑲嵌平面的多邊形上，通過添加顏色與限制多米諾骨牌的數量，從而完成一個組合的形態。
他的經典多米諾組合包括30種顏色的立方體，這是他在1893年提出的，可以說是消遣數學領域里的一顆明珠。它基于以下這個問題：如果你給一個立方體的六個面都涂上不同的顏色，對所有的立方體都使用同一組顏色，你能夠得到多少種不同的立方體呢？
旋轉并不被視為不同，但是鏡像卻被視為不同。右圖是30個立方體形成的網狀結構。你能夠利用6個顏色（或從數字1到6）創造出30個有顏色的立方體嗎？
一種單調枯燥的方法就是找到這6種不同顏色或數字的720種可能的排列置換。因為你能夠把立方體放在24個不同的方向上，因此每個立方體就有24種外觀，這樣，不同立方體的數量能達到30。但是，一個更好的方法就是通過系統的方式對立方體進行著色。
伊凡的立方體
麥克馬洪具有原創性的立方體可以進行改良，拓展該游戲使其適合所有年齡段的人玩，甚至很小的孩子都能玩。
鉸接多邊形——1902年
將一個等邊三角形切割成四個部分，然后將這四個部分重新組裝起來，形成一個正方形。這就是亨利·杜登尼于1902年首次發表的“雜貨商拼圖”游戲。
這個游戲的解答方法有一個顯著特征，就是三角形的每一個部分都以鉸鏈的形式固定在一個頂點上，按順時針方向能夠組裝成原來的三角形，按逆時針方向能夠組裝成正方形。
亨利·歐內斯特·杜登尼（Henry Ernest Dudeney，1857—1930）
亨利·歐內斯特·杜登尼是一位作家兼數學家，英國最偉大的發明家與謎題創作者。杜登尼認為，解答謎題是一種創造性的活動，對于提升人類的思考與邏輯判斷能力具有極為重要的意義。他最重要的數學成就就是發現了被稱為“雜貨商拼圖”的剖分謎題，即用幾條直線將一個等邊三角形切割成四個部分。
杜登尼的郵票問題——1903年
亨利·歐內斯特·杜登尼的經典郵票問題是與多聯骨牌，特別是五個四聯骨牌相關的最早問題之一。購進一批郵票，這些郵票有三排，每排四枚，組成如圖所示的長方形。這個游戲的目的就是將四枚郵票撕下來，然后沿著它們的邊拼接起來。按下圖幾種拼法去拼，各有多少種不同的拼接方法？將不同拼法的數值填入下面的空格中。
自作聰明的家伙——1903年
移走一個等腰三角形、一個正方形四分之一的部分，就形成了一個凹面五邊形，這個凹面五邊形可以分割為四個部分，重新組裝成一個正方形。山姆·勞埃德提供了一個存在缺陷的解答方法——這樣的“正方形”其實是一個長方形。到目前為止，我們還沒有找到四個部分重組的解答方法。杜登尼找到了五片重組法，很好地解答了這個問題。
杜登尼的棉被
好看的棉被一開始是由許多大小相同的方塊縫制而成的。中間八個方塊損壞了，必須裁掉，留下一條長長的洞口。你能夠沿著方格網將其切分為兩個部分，使這條棉被可以縫合在一起而不會留下任何洞口，實現修復的目的嗎？
斜方拼圖
在斜方拼圖里，勞埃德用四種顏色將凹面五邊形分為24個大小完全相等的三角形，如圖所示。
你能對五邊形內的三角形進行重組，從而做出四個完全相同的拼接圖形嗎？要求：四個圖形中的每一個圖形都必須涂與其他圖形不同的顏色，這些圖形也必須是全等的，即便它們是彼此進行鏡像或旋轉的結果。
最小的完美長方形——1903年
一個長方形能被細分成若干個更小的正方形，且沒有任何兩個正方形的大小是完全相同的嗎？1903年，馬克斯·德恩（Max Dehn）證明了這個定理，即如果一個長方形被分割成若干尺寸不等的正方形，那么這個長方形本身就具有可公度性——即某個數字的整數倍。
選擇一個測量單位，使基礎正方形的每條邊的長度都是整數。
1909年，Z.莫倫發現一個長方形可以切割成九個大小不同的正方形。1940年，圖特、布魯克斯、史密斯與斯通等數學家證明這個長方形是“最小”的，就是指沒有更小的長方形能夠被分割為九個大小不同的正方形了，而且也根本不存在能夠被切割為八個或八個以下大小不同的正方形的長方形。
最小的完美長方形由邊長為下列數字的正方形組成：1-4-7-8-9-10-14-15-18。
這是一個32×33的長方形。你能用九個不相互重疊的正方形組成一個最小的完美長方形嗎？
雪花曲線與反雪花曲線——1904年
黑色與紅色的圖形顯示了著名的雪花曲線與反雪花曲線最初的四代衍生圖形，這些雪花曲線又被稱為科赫分形。假設有一個等邊三角形，每條邊的長度都是單位長度。在每條邊中間的三分之一處都添加（或減去）一個邊長為其三分之一的等邊三角形，然后重復這個過程。
當這個過程無限延續下去的時候，你能計算出這條曲線的長度以及這條曲線所包圍的面積嗎？這些曲線基本呈成長模式，創造出一系列多邊形。是否存在類似雪花曲線的三維物體呢？
雪花曲線以及與此相似的所謂病理曲線證明了一個重要的原則：那就是復雜的圖形是可以通過對非常簡單的規則的重復運用得到的。
這樣的形狀就稱為分形圖。雪花曲線是數學家黑爾格·馮·科赫（Helge von Koch）于1904年發現的，這種曲線是最早發現的分形圖之一。
隨機漫步——1905年
所謂的隨機漫步，就是用數學形式展示由一系列隨機步伐所形成的軌跡。比如，一個分子在液體或氣體里前進的路線，動物覓食所走的線路，股票價格的升降以及一位賭徒的金融狀況都可以視為一種隨機漫步模型。
隨機漫步這個名詞是卡爾·皮爾遜（Karl Pearson）在1905年提出來的。現在，隨機漫步的理論已經在多個領域內得到了運用：生態學、經濟學、心理學、計算機科學、物理學、化學以及生物學。隨機漫步理論能夠解釋這些領域內觀察到的行為過程，因此是記錄隨機活動的一個基本模型。
投擲硬幣
在這個游戲里，你需要多次投擲硬幣。如果落下的硬幣是正面朝上，那么走路的人就朝右走一步，如果落下的硬幣是反面朝上，那么他就要向左走一步。
在投擲36次硬幣之后，你能猜到這個人離他出發的位置有多遠嗎？在猜想之后，你再投擲36次硬幣，然后檢查自己的預測是否正確。
你能計算出這個人走到某個點上再回到出發點的概率是多少嗎？（假設這種走路方式無限地持續下去。）
——巴魯赫·斯賓諾莎
醉漢的隨機漫步——1905年
一名醉漢在進行隨機漫步，他從位于中央位置的燈柱出發，他要前進的方向受制于兩枚硬幣的投擲結果（一枚硬幣是紅色的，一枚是黃色的），如圖所示。這是對隨機過程的一次最簡單的演示，也是對布朗運動的很好模擬：在布朗運動中，懸浮在液體或氣體中的微小粒子總是被其周圍的分子“推動”著。
在投擲了一定次數的硬幣之后，你覺得醉漢會停留在哪個位置呢？你能計算出在某個點上這名醉漢回到原先出發點的概率嗎？你可以將網格大小視為界限，那么這種漫步就是有限的。
五聯骨牌——1907年
多米諾骨牌是可以玩耍的棋子或瓷磚，這是一種流行了數百年的游戲。瓷磚是由兩個有著公共邊的方格單元組成的。兩個相同的正方形只能以一種方式鑲嵌（多米諾骨牌）。但很多數學家出于娛樂消遣的需求或其他目的，都通過持續地添加更多的方格單元，詳細地闡述了基本的多米諾形狀。
這樣做的結果是出現了三個正方形的三聯骨牌、四個正方形的四聯骨牌，以及五個正方形的五聯骨牌等，這些骨牌都被稱為多聯骨牌。
如果我們現在有三個正方形，那么我們能夠做出多少個三聯骨牌呢？如果我們手里有四個或五個正方形，又能做出多少個四聯骨牌或五聯骨牌呢？
與此相應的一般性問題就是：一定數量的方格單元能夠構成多少種不同的形狀？或者在一般情況下，能夠形成多少個等積異形的多邊形呢？沒有任何關于幾何組合學與智力拼圖方面的專著能回答這個問題，也沒有任何專著提及或研究過等積異形問題，特別是將多聯骨牌的問題單獨拿出來研究。
第一塊多聯骨牌是在1907年出現的。但是，無論是作為數學消遣的全新形式還是作為豐富學校教學資料的形式出現，這些形狀之所以那么受歡迎，在很大程度上取決于所羅門·哥隆、唐納德·克努特以及馬丁·加德納等人的努力。正是他們以拼圖游戲以及謎題等形式推介了這些圖形。
一塊多米諾骨牌（2個方格單元）就是最簡單的多聯骨牌。它只有1種可能的形狀——多米諾長方形。一個三聯骨牌（3個方格單元）擁有2種可能的形狀，四聯骨牌（4個方格單元）擁有5種可能的形狀，五聯骨牌（5個方格單元）擁有12種可能的形狀，六聯骨牌（6個方格單元）擁有12種可能的形狀，七聯骨牌（7個方格單元）擁有108種可能的形狀，八聯骨牌（8個方格單元）擁有369種可能的形狀。
現在已經出版了大量有關等積異形與多聯骨牌，特別是五聯骨牌等方面的書籍。
等積異形問題是對哥隆多聯骨牌問題的總結，其中正方形被其他多邊形所取代。多面方塊是以等邊三角形為基礎的，而六面方塊則是以正六邊形為基礎的，依此類推。
最小的五格骨牌游戲
在8×8的游戲棋盤上，最少需要擺放多少個五聯骨牌，才能讓棋盤上無法再多擺放一個五聯骨牌呢？
五聯骨牌顏色字謎
在8×8的游戲棋盤里，你能將12塊著色的五聯骨牌分別拼入這六個拼圖里，從而讓四個正方形不會彼此覆蓋嗎？
三倍五聯骨牌——1907年
一種讓人著迷的五聯骨牌拼圖涉及三倍復制問題。已有了一塊五聯骨牌，使用另外九塊五聯骨牌按比例拼出一個復制品，這個復制品是原先那個五聯骨牌的三倍寬與三倍高。所有十一塊五聯骨牌都能夠三倍復制。你該如何進行三倍復制呢？
三聯骨牌分割——1907年
三聯骨牌就是一個3階的多面骨牌。也就是說，平面內的一個多邊形是由三個面積相等的正方形以邊對邊的形式組成的。如果旋轉與鏡像所形成的圖形不被視為不同的圖形，那么只有兩種不同的三聯骨牌：I與L形，其中L形又被稱為V形。
L形的三聯骨牌，有時也被稱為彎曲三聯骨牌或正三聯骨牌，如圖所示，可以分割為2、3、4、6、8、9個全等的圖形。你能夠證明它可以被分割為16個全等的部分嗎？
三聯骨牌裝箱
L形三聯骨牌在任意大小的棋盤上都占據著三個正方形。這種三聯骨牌通常被稱為正三聯骨牌。我們準備將L形三聯骨牌包裝起來，放入一個2n×2n的棋盤里，其中n＞1。
從這個棋盤里拿走一個正方形，用適當數量的L形三聯骨牌去覆蓋棋盤的其他位置。
在上述棋盤里，無論移走哪一個正方形，任務都可以達成嗎？當n=1時，我們會有一個2×2的棋盤，如圖所示。當n=2，n=3，n=4時，無論缺失的那一個正方形在哪個位置，你都能將L形三格骨牌裝入這個棋盤嗎？
爬行圖——1907年
你知道嗎？一些圖形若是以一定數量的復本組合起來，就能創造出更大的復本。與此對應的是，當這些圖形以恰當的方式進行細分，是否同樣能夠獲得比自身更小的復本呢？
爬行圖就是指那些具有較大復本或較小復本的多邊形。所羅門·哥隆給這些圖形起了這個名字。通過對這些圖形的研究，他為多邊形復制的一般性理論打下了堅實的基礎。
下面提到的魚、小鳥與紀念碑等拼圖都屬于爬行圖。在下面的圖形中，有多少個圖形是自身圖形的復制版本呢？
漁網
你能在不相互重疊的情況下，將18條魚放入這個漁網嗎？
紀念碑
這座紀念碑是以一定數量、形狀大小完全相同的較小圖形建構起來的，每一個圖形都是這個較大的紀念碑圖形的一個較小復制品。
你能計算出較小復制品的圖形數量是多少，以及它們在網絡中的擺放方向嗎？
貓與鳥
九只較小的鳥存在著被一只較大的餓貓吃掉的危險。這只貓能夠吃掉多少只小鳥呢？或者說，在貓的輪廓之內，在不相互重疊的情況下，能夠擺放多少只小鳥呢？
無限猴子定理與概率——1909年
有關無限性最有趣的一個思想實驗是“無限的猴子定理”，這個想法可以追溯到埃米耶·博雷爾在1909年出版的一本有關概率的書。無限的猴子定理是這樣闡述的：一只猴子在一部打字機的鍵盤上隨意打字，打字時間是無限的，那么它必然能夠打出一個完整的文本，比如莎士比亞的一部完整作品。
即使這種實驗可以實施，這只猴子以準確的方式打印出一個文本的概率也是極小的。它需要有宇宙那樣大的年齡才有可能完成，而這種情況是不存在的。
無限的猴子定理及相關的圖像被認為是對概率數學的一種流行的例證。一個名為“猴子莎士比亞模擬器”的網站在2003年上線，網站上有一個很小的程序模擬大量的猴子隨機地打字，目的是要計算出從頭到尾準確打印莎士比亞一本劇本所需的時間。比方說，要想讓猴子打印出莎士比亞劇本《亨利四世》下篇里的一個片段，據說即使打出24個符合要求的字母，也需要“2737850千萬兆億個猴年”，而這已經是一個不錯的結果了。
或許，思考這個問題的一種較為簡單的方法，就是彩票數字的選擇。想象一下你非常富有，決定買下一大堆彩票，以求中獎。因為你非常富有，所以你可以將所有可能的彩票組合全部買下來，確保自己中獎。
用骰子搖出一個“6”
思考無限的猴子定理的另一種方法，就是想象你投擲一個六面的骰子，等待著搖出“6”這個數字。你可能在第一次就搖出了“6”，但你也可能在搖了很長一段時間都無法將“6”搖出來。當然，你最終還是會搖出一個“6”的。如果你搖骰子的次數只有6次，那么你至少搖出一次數字“6”的概率是多少呢？
康托爾的梳子——1910年
已知一條長度為1個單位的線（藍色），移走這條線中間的三分之一。現在，移走剩下部分中間的三分之一，無限重復這樣的過程。最后剩下的就是康托爾的梳子。第五代圖形如圖所示。經過第n次這樣的過程之后，你能找到計算康托爾梳子總長度的公式嗎？
康托爾集具有一個驚人的屬性：無論你走多遠，總能夠從剩下的康托爾集里找到兩個點，它們之間的距離必然是從0到1之間的任何一個數，盡管一開始的線已經被移走了一大部分。如圖所示，一條長度為0.4單位的線出現在康托爾梳子上（黃色的部分）。你可以嘗試其他長度的線段。
格奧爾格·康托爾（Georg Cantor，1845—1918）
格奧爾格·費迪南德·路德維希·康托爾是一位德國數學家，他最著名的成果是創立了集合論，這是數學領域內的一個基本理論。康托爾證實了兩個集合內元素之間存在一一對應關系的重要性，定義了無限有序集，證明了實數比自然數“更多”。事實上，康托爾證明這種定理的方法表明了“無窮大”的存在。
康托爾提出的超限數理論，一開始被人們認為是違反直覺與不可思議的，遭到了那個時代許多數學家的猛烈抨擊。從1884年直到他生命的盡頭，他飽受抑郁癥的折磨。據說，這是因為他的同行都對他持有敵意造成的。
萬幸的是，他晚年時終于時來運轉了。1904年，英國皇家學會向康托爾頒發了西爾維斯特獎章，這是當時的數學家所能獲得的最高獎項。達維德·希耳伯特為康托爾進行了一番著名的辯護，他說：“任何人都無法將我們從康托爾創造的伊甸園里趕走。”
謝爾賓斯基分形——1915年
謝爾賓斯基三角形又被稱為“謝爾賓斯基密封墊”或“謝爾賓斯基篩子”。這是一個分形圖，是以波蘭數學家瓦茨瓦夫·謝爾賓斯基（Waclaw Sierpinski）的名字命名的有趣的固定組合，謝爾賓斯基在1915年對此進行了描述。但是，相似的圖形模式早在13世紀就在意大利阿納尼教堂（柯斯馬蒂馬賽克）以及其他地方出現了。位于羅馬科斯梅丁的圣母教堂里也曾出現過。
謝爾賓斯基地毯分形
將一個單位的正方形的每條邊三等分，形成九個正方形，將中間的那個正方形涂上金色。在接下來衍生的圖形里，剩下的藍色正方形都以同樣的方式進行分割，將中間的那個正方形涂成金色，依此類推。如果這個過程無限次進行下去，你能夠計算出涂成金色區域的面積與原始的藍色正方形面積之間的比例關系嗎？
謝爾賓斯基三角形分形
謝爾賓斯基三角形的三代衍生形式如圖所示。你能在給出的三角形網格里畫出第四個衍生圖形嗎？你能夠在每代衍生圖形里，找到展現黑色區域面積與大三角形面積之間的比例關系的數字系列嗎？這個三角形首先是從等邊三角形開始的，然后被劃分為四個較小的等邊三角形，其中中間的部分被拿走了——形成了一個黑色的三角形洞。這三個剩下的三角形接著也以相同的方式進行分割，這個過程也是無限次地進行的。以這種方式得到的圖形模式就被稱為謝爾賓斯基分形圖。
掛谷宗一的轉針問題——1917年
著名的掛谷宗一轉針問題是這樣闡述的：在一個平面上，至少需要多大的面積才能讓一根大頭針（一個單位長度的線段）轉成180°。這個問題首先是日本數學家掛谷宗一（1886—1947）在1917年提出來的。
顯然，大頭針會在一個圓里旋轉（直徑為1時面積為0.78），或在一個等邊三角形里（高為1時面積為0.58）旋轉。但是，掛谷宗一提出了一個更好的解答辦法：最小的面積應該是一個三角肌的形狀，這是由三個尖點組成的圓內旋輪線（面積為0.39）。在很長一段時間里，這都被認為是最佳的解答辦法。在這個階段，我要求你們去想是否還存在更好的解答方法，但這樣的要求可能不是很公平，因為的確是沒有更好的解答方法了。
數學家貝西科維奇在1928年給予的結論無疑像是一枚炸彈，讓整個數學界都為之轟動。因為這實在是太違反人類的直覺了。貝西科維奇證明了三角肌形狀曲線可以擁有許多個尖點，而最小的面積可以要多小有多小，甚至零面積都是可能的。
貝西科維奇的證明
貝西科維奇（1891—1970）證明，掛谷宗一的轉針問題是沒有答案的。用更準確的話來說，他證明，答案就是不存在最小的面積，因為這個面積要多小有多小，但沒有最小。這到底是怎么一回事呢？可以將等邊三角形的底部截成一半，然后再切一半。將相鄰的三角形朝彼此移動，直到它們稍微重疊，重復這一過程直到這些三角形的面積達到讓你滿意的大小。這種迭代的建構方式就被稱為柏龍樹（如圖所示）。一般來說，當圖形被限制為凸面的時候，掛谷宗一證明了最小的凸面區域是單位高度的等邊三角形。
貝西科維奇證明了，對一般圖形來說，不存在最小面積。如果你轉動一個三角形、五角星形或七邊形里的一條線段，就會發現這點。
維恩圖謎題
22名學生加入棋牌俱樂部。
27名學生加入音樂俱樂部。
50名學生加入戲劇俱樂部。
10名學生加入棋牌俱樂部與音樂俱樂部。
14名學生加入音樂俱樂部與戲劇俱樂部。
10名學生加入戲劇俱樂部與棋牌俱樂部。
8名學生加入這三個俱樂部。
請問，一共有多少名學生參與了這些活動呢？
維恩圖——1920年
數學推理建立在具有精確意義的邏輯的符號與思想系統基礎之上。我們每個人對許多重要的邏輯原理都具有一種直覺性的把握能力。數學家們通常能夠運用這些邏輯思想，從一些更為復雜的前提（從一連串符合邏輯的點出發）去總結出一些結論，而這些結論本身是無法通過直覺得到的。
我們可以運用“維恩圖”，簡化兩個或兩個以上組合的關系，從而更加輕易地得出結論。維恩圖是約翰·維恩（John Venn，1834—1923）這位在劍橋大學執教的邏輯學家與牧師首先提出來的。
維恩圖是一種能夠以視覺方式將多個組合之間的關系展現出來的模型。維恩圖有助于描述與比較任何數量的對象的元素與特征。在面對一個已有的維恩圖時，你必須從一個普遍性的組合出發，這可以用“U”和一個長方形來表示。任何組合都可以用一個長方形內的封閉圓來表示。圓內部的區域與組合里的元素是存在聯系的。相互重疊的部分則意味著屬性共享的情形出現了。
利用維恩圖有助于挖掘潛在的邏輯關系，這可以通過上面的維恩圖謎題呈現出來。你知道如何解答嗎？