- 迷人的數學（全2冊）
- (英)伊凡·莫斯科維奇
- 19951字
- 2021-09-22 15:25:09
Chapter 4 點、拓撲與歐拉的七橋問題
計算力的一種優美方法——1580年
從16世紀80年代開始，西蒙·斯蒂文（1548—1620）和伽利略的研究成果讓工程師可以把機械原理轉化為數學形式。這樣的轉變通常涉及將一種作為準則的物理機理轉變為抽象的數學模型的過程，例如力的平行四邊形法則。
在數學與物理學領域，力的平行四邊形法則是計算兩個或兩個以上的力作用于同一個物體的合力的巧妙方法。
一個力就是一個矢量，由于一個力既有大小又有方向，因此可以通過一條有方向的直線去表示。
在物理學上，一個傾斜的表面通常被稱為斜面。對作用于斜面上的物體的力進行分析是很重要的。在我們給出的示意圖里，作用于斜面上的兩個力可以用斜面上某一點引出的矢量來表示。力的大小等于作用在這個斜面上的所有小金屬球的重力之和。這些力（黑色部分）表示重力，它是一種向下的力。但是，任何一個斜面上的物體都存在著至少兩個作用力。其中另一個作用力是正常的作用力（藍色的），這種作用力始終與斜面保持垂直狀態。根據力的平行四邊形法則，重力可以被分解為兩個分力：一是與斜面平行的力，另一個就是與斜面垂直的力。
西蒙·斯蒂文的球圈
西蒙·斯蒂文是一位來自佛蘭德的數學家和工程師（1548—1620），也是一位與笛卡兒、伽利略等人齊名的真正的文藝復興先驅，他最大的貢獻是對靜力學（對處于平衡狀態的力進行研究的科學）及流體靜力學等方面的研究。
斯蒂文最著名的貢獻就是發現了斜面定律——通過繪制“球圈”進行驗證。這個圖形曾出現在他1615年出版的著作《稱重法原理》（The Elements of the Art of weighing）一書的扉頁上。
斯蒂文提出的斜面定律以及用于分解各種力的矢量法則（力的平行四邊形法則），作為一種思維實驗是非常有價值的，因為它是從普遍的物理原理——能量守恒定律推演出機械定理的最早的例子之一。
他面臨的問題是：要確定力F的大小，就要將一個絕對光滑的物體（已知重量為W）放在一個絕對光滑、沒有摩擦力的斜面上。
他提出的法則有一個前提條件，那就是傾斜角較大的斜面上的一個較輕物體，可以抵消傾斜角較小的斜面上一個較重物體的力。他通過自己設想出的“球圈”進行思維實驗，試圖解釋這個問題。所謂的“球圈”，如圖所示，是一個雙斜面，周圍有一串連接起來的小球。斯蒂文的推理過程是這樣的：當斜面下方那部分小球被移走時，其他的事物依然處于一種靜止平衡狀態，不會發生任何改變。除了這種情況外，他還會讓“某些東西發生移動”，這時，球圈就會隨之變為類似于永動機的裝置了。因此，將懸掛在空中的“自由”小球移走后，整個系統依然會處于一種平衡狀態。正因為如此，斯蒂文意識到，當斜面上的重物處于一種平衡狀態時，那么重物本身的重量與斜面的長度是存在一定比例關系的。
他必須對斜面兩邊的空間的數值進行計算，接著他就找到了支持他提出的原理的依據。
斯蒂文對他提出的這個具有美感的幾何論題感到非常高興與自豪，于是他在卷首寫下一句話——這句話后來也成了他的座右銘：“看上去讓人驚訝的東西，其實沒有什么好驚訝的。”物體在斜面上維持的平衡狀態是由每一邊向下的力之間的關系以及支撐這些力的不同角度決定的。
用現代術語來說，這樣的一種力的分解就被稱為力的平行四邊形法則。
——伽利略·加利萊伊
伽利略·加利萊伊（1564—1642）
伽利略·加利萊伊是意大利著名的物理學家、數學家和天文學家，他的一生都與科學革命有著緊密的聯系。科學革命大約是從16世紀中期開始的。在他的諸多偉大成就里，就有他對勻加速運動的第一次系統研究。伽利略采用基于實驗的研究方法，這是自亞里士多德的抽象方法以來最具劃時代意義的突破，象征著實驗科學的開端。他只使用了一些相對簡單、粗糙的實驗工具，就取得了巨大的科學成就。
斜面與伽利略——1600年
如何計算地心引力所具有的加速度呢？
在那個時候，要想回答這個問題是非常困難的。伽利略在進行實驗時面臨的一個重大問題，就是物體在自由落體狀態下掉落的時間太短暫了，根本無法用現有的實驗工具去測量物體掉落的準確時間。他想出了一個創造性的方法，那就是將物體放在一個斜面上，減緩重力的作用，同時又能維持重力加速度。這樣的一種方法讓他能夠計算出地心引力造成的重力加速度的準確數值。
在鐘擺搖動的同時，他釋放了一個小球。鐘擺每擺動一次，這個小球都會在降落過程中擊打到一個小鈴。我們重復伽利略的實驗，在斜面上釋放一個小球，然后記錄小球在1秒內滑落的位置。
接著，我們可以將整個斜面劃分為多個長度單位（如圖所示）。你能夠在2秒、3秒、4秒、5秒、6秒、7秒、8秒或9秒的時間內記錄下小球所處的位置嗎？
如果斜面的坡度更大一些或高度更高一些，這些記號的位置是否會發生改變呢？
通過改變一個平面的傾斜角度，在小球落到斜面底端時，它的速度是否會發生改變呢？
伽利略的悖論——公元1600年
請看上圖提出的這個問題，你會有怎樣的想法呢？是不是真的有多少個數，就有多少個平方數呢？
伽利略的悖論展示了無限集所具有的一個驚人屬性。在他最后的科學著作《兩種新科學的對話》里，伽利略對正整數做出了明顯相悖的論述。首先，他認為一些數是平方數，而另一些數則不是，因此所有的數（包括平方數和非平方數）放在一起，必然要比單純的平方數更多一些。但是，對于每一個平方數，都必然存在著一個與此對應的正整數，也就是這個平方數的平方根；對每一個數而言，也都必然存在著一個它的平方數——因此不大可能出現一種數比另一種數更多的情況。在無限集中，這種一一對應的思想雖然不是他第一個提出的，卻是早期就被應用的。
伽利略總結出來一點，小于、等于或大于等概念只可以運用到有限集里，卻不能運用到無限集里。在19世紀，德國數學家格奧爾格·康托爾運用相同的方法，證明這樣的限制是不需要的。我們完全有可能以一種有意義的方式對無限集進行對比（他認為整數與平方數的無限集是同樣大小的），而某些無限集要比另一些無限集更大一些。
伽利略的鐘擺——1600年
在過去很長一段時間里，鐘擺一直讓科學家們為之著迷。伽利略是第一位發現鐘擺具有獨特屬性的科學家。他通過簡單的觀察，得出一個結論，即鐘擺能夠計算時間、測量地心引力并且檢測相對運動狀態。
他所設定的簡單實驗裝置不需要多加說明。在鐘擺處于擺動狀態時，在左圖中一個小洞里插入一根釘子。釘子的運用能夠縮短鐘擺的有效長度。這樣的做法會如何影響鐘擺的運動呢？如果連接鐘擺的線變得更短，又會發生什么呢？鐘擺擺動的速度是會變得更快還是更慢呢？
連接鐘擺的線變短，是否會改變鐘擺的擺動頻率呢？
通過這樣一個簡單的實驗與觀察，伽利略得出了一個革命性的結論，并且在1642年發明了擺鐘。
比薩大教堂圓頂，前面掛著伽利略吊燈，這些吊燈使伽利略發現了鐘擺的等時性原理。
雙錐體上坡——一個機械的反重力悖論
“向上滾動的雙錐體悖論”是威廉?利伯恩（1626—1719）提出的。利伯恩是一位土地測量員，同時也是位多產的作家，他出版了《有趣有益》這本娛樂性數學書，里面包括了“向上滾動的雙錐體悖論”這個巧妙的機械謎題——一個雙錐體在兩條傾斜的軌道上向上滑行。
這個模型的運轉方式是違反直覺的，因為當我們將雙錐體放在斜面的最低處時，它會向上滾動，這似乎違反了地心引力。你能解釋這個雙錐體的“奇怪表現”嗎？
反重力：從牛頓到愛因斯坦
反重力的概念與一個最宏大的科學論題——“宇宙的起源”——存在著聯系。當愛因斯坦發現廣義相對論時，他遇到了一個棘手的問題：為什么重力不會使宇宙中的物體向內坍塌呢？
艾薩克·牛頓（1642—1727）在研究萬有引力時也面臨著相似的問題。牛頓對此的解釋是：上帝讓物體處于分離狀態。在這個問題上，愛因斯坦不愿意牽涉到上帝，他的解答方法就是在重力的基礎上，加入一種反重力。在20世紀20年代，一切都發生了改變。宇宙學家們采用了一種全新的觀點，即宇宙是在某個有限的時刻被創造出來的，從最初一個極小的超原子開始，通過大爆炸與膨脹的方式慢慢形成。這種觀點逐漸演變成了現在的“大爆炸理論”，它不需要相信反重力的存在。這個理論看上去是正確的，愛因斯坦最終也認可了這一說法。但是，這個故事有了一點轉折。讓人感到驚訝的是，天文學家們后來發現，宇宙其實是在不斷加速的，銀河系中的星體則也在以越來越快的速度彼此分離。然而，由于重力的作用，宇宙大爆炸形成的擴張速度應該會減慢，這樣就又出現了一個問題。對此最好的解釋就是，宇宙中存在著一種反重力。因此，即便當愛因斯坦認為自己是錯誤的，并且準備承認這個事實的時候，他的理論最終還是被證明是正確的。
反重力鐵路——1829年
伽利略發明的反重力雙錐體讓人著迷，激發了一位維多利亞時代的發明家的靈感——他于1829年提出了在遵循雙錐體運動原理的基礎上，建造一條反重力鐵路的構想。
算額（Sangaku）——1603年
算額（日語意為“計算表”）是起源于日本江戶時代的一種極具美感、上面刻有幾何問題或數學定理的木板。它們通常會出現在神社或佛寺中，作為貢品或是對朝拜的人發出的一種挑戰。
在江戶時代，日本與其他西方國家的貿易往來是受到嚴格管控的，這也是算額上出現的日本數學與西方整體的數學發展相互孤立的原因。比如說，微分與積分的關系（微積分基本定理）就一直不為世人所了解。因此，算額在計算面積與體積等內容時，只能通過無窮級數的展開與逐項計算來解答。
日本著名數學家藤田嘉言（1765—1821）在1790年出版的《神壁算法》一書中首次收集并記載了算額問題，1806年這本書又出版了續集。
日本的算額定理
如圖所示，你可以看到左邊是一個隨意畫出，并用三角形分開的凸面不規則八邊形，每個三角形的內切圓如圖所示。
右邊是同一個八邊形用另一種方法進行的三角形劃分。
你能計算出兩種不同的三角形分割法中內切圓的大小關系嗎？
開普勒猜想——1600年
約翰尼斯·開普勒（Johannes Kepler）（1571—1630），德國天文學家。他發現了在一個平面內放置球體的兩種方法：方塊拼排與六方密堆積。
開普勒猜想是以約翰尼斯·開普勒的名字命名的，這是一個在三維的歐幾里得空間內關于球體填充問題的數學猜想。這個猜想是這樣闡述的：用大小完全相同的球體去填充一個空間，無論怎樣填充，都不會比六方密堆積具有更大的平均密度。這種方法的堆砌密度要高于74%。
1998年，托馬斯·黑爾斯在對費耶什·托特提出的一種觀點進行研究時，宣布自己找到了證明開普勒猜想的證據。黑爾斯通過運用復雜的電腦計算去對多個單獨的例子進行詳細檢查，從而得出這個證明。不少數學家都表示，他們“99%肯定”黑爾斯提出的證據是正確的，因此開普勒當年提出的猜想幾乎可以被視為一個定理。
方塊拼排是將球體一層層堆積起來，以一種彼此垂直的狀態進行排列，或者將第一層的球體都嵌入它下方四個球體圍成的空隙中。
在進行六方密堆積時，同樣存在著兩種可能性：對齊的方式或交錯的方式。但是六方密堆積的交錯層與對球體進行方塊拼排的交錯層達到的效果是一樣的。如果球體排列可以擴展的話，那么就形成了一些三維空間的形狀，包括立體晶格形狀的立方體、六方晶格、六角棱鏡以及面心立方晶格——開普勒的菱形十二面體，一種最為緊密的堆積方式。
堆積的效率可以通過堆積物體的密度去衡量（比如空間被球體填充的比例）。
這是在一個平面上填充物體的比例：
1.正方晶格0.7854
2.六邊形晶格0.9069
這是在三維空間內填充物體的比例：
3.立方晶格0.5236
4.六方密堆積0.7404
5.無規密堆積0.64
球體堆砌問題與用幾何實體徹底填滿空間密切相關。開普勒設想，每一個球體都能延伸，填滿中間的空隙，進而獲得這樣的幾何實體。
球體填充問題
如圖所示，在一個平面里，用球體填滿空間的辦法有兩種。
立方球體堆砌：在正方形層，相應的球體可以通過垂直堆積的方法完成。
六方密堆積：有兩種辦法可以添加一個六面體堆砌層。這兩種方法區別在于層與層之間是如何堆砌的。六方密堆積里，每隔兩個堆層，球體的堆砌方式是相同的，剛好在第一個堆層里的球所處的位置。在面心立方密堆積里，每隔一個堆層，球體的堆砌方式是相同的。
裝球的箱子——1600年
“從前，有一個國王將他的所有財富都做成大小完全相等的金球，他將這些金球緊密地堆放在一個大箱子里。他知道這個箱子是滿的，因為箱子不會發出任何聲響。很快王后就從箱子里拿走了一些金球，但箱子并沒有發出聲響；接著管理箱子的人又拿走了一些金球，箱子依然沒有發出聲響；接著首相又從箱子里拿走了一些金球，箱子依然沒有發出聲響。”
這個有關國王財寶的故事是否真實呢？在一個長方形的箱子里裝著23個金球，這些金球都以一種緊密的方式被堆積起來。你能從箱子內拿走幾個金球，并保證剩下的金球依然處于緊密的狀態嗎？當然，我們所說的“緊密”是指彼此接觸的球體再也無法移動其位置。
在一個正方形框里裝入105個球
如果每個填充球體的直徑是1個單位長度，你可以很容易地在一個邊長10個單位長度的正方形框里裝下100個球體。如果以一種六邊形的方式去排列這些球體，你可以在同樣大小的正方形里放下105個球體，如圖所示。
但是，你能做得更好嗎？
梅齊里亞克的砝碼問題——1612年
1612年，法國學者克勞德·加斯帕爾·巴謝·德·梅齊里亞克（Clauded Gaspar Bachet de Méziriac）（1581—1638）出版了一本名為《有趣且讓人愉悅的數字問題》的數學謎題集。這本書后來成了消遣數學的經典書籍，迄今出版了五版。這本書強調的是算術層面而非幾何層面上的謎題，其中包括這些經典問題：數的思考、過河問題、幻方、約瑟夫斯謎題、測重、傾倒流體以及其他謎題。
梅齊里亞克的書中包含著經典的測重問題。W.勞斯·鮑爾認為梅齊里亞克在17世紀早期對這一問題做了最早的記錄，并將這一問題稱為“梅齊里亞克砝碼問題”。然而，這一問題可以追溯到1202年的斐波那契數學問題，使之有可能成為最早的整數分拆問題。
這是一個著名的問題：假設你需要在一個天平上稱出1千克到40千克的任意整數重量。如果砝碼只能放在天平的一端，至少需要多少個砝碼？如果在天平的兩端放置砝碼，又需要多少個砝碼？
測量3個砝碼的重量
你有三個形狀完全相同的盒子，里面分別裝有重量不同的砝碼。在只能使用一個天平的情況下，你需要對三個盒子進行多少次的測量，才能分清楚哪個最輕、哪個最重呢？
測量21個砝碼的重量
你有21根形狀完全一樣的棍子，其中一根棍子的重量稍重于其他的棍子。在只有一個天平的情況下，你需要進行多少次測量才能知道哪根棍子是最重的？
測量八枚金幣的重量
假設你有八枚金幣，其中一枚是假幣，它的重量要輕于其他的金幣，剩下七枚金幣的重量是相等的。在不使用砝碼的情況下，你至少要在天平上進行多少次測量，才能發現那枚假幣？
稱重分揀
你有一組鋼球，每個鋼球的單位半徑如圖所示。你能將這些鋼球分在兩個組里，并讓每組鋼球的總重量完全相等嗎？
保持平衡
你能找到多少種方法擺放五個砝碼，使你在拿走兩個圓柱體支座之后，天平依然保持平衡狀態？
記住，砝碼距離支點的距離越遠，它所產生的力就越大。因此，位于刻度2處的一個砝碼產生的力是它位于刻度1時的兩倍。
如果你隨意地在天平上放置砝碼，這些砝碼處于平衡狀態的概率是多少呢？
你能找到多少種方法擺放六個砝碼，使得拿走兩個圓柱體支座之后，天平依然保持平衡？
正多邊形鑲嵌——1618年
所謂的“鑲嵌”，從一般意義上來說，就是將幾何形狀以馬賽克的方式鋪滿整個平面。羅馬時代的馬賽克就被稱為“鑲嵌”。今天，“鑲嵌”一詞被用來描述可以覆蓋一個面（這種覆蓋是指技術上完全填充，不留任何死角）的任何形狀的圖案。平面鑲嵌是三維多面體的一個基本元素。
一個正多邊形鑲嵌是由多個正多邊形構成的，這與填充一個平面的方式是完全一致的。
存在無數個正多邊形——從等邊三角形開始，接著就是正方形、五邊形、六邊形、七邊形、八邊形等，一直到圓形，這些圖形都被視為正多邊形，其邊數可以是無限多的。
幾何學最令人震驚的一個違反直覺的事實就是，只存在著少量的正多邊形鑲嵌。
驚人的是，正多邊形唯一的邊對邊的鑲嵌方式只適用于三種正多邊形，包括等邊三角形、正方形和正六邊形。
在為數不多的正多邊形鑲嵌背后隱藏著一個具有美感的幾何學邏輯。因為它們的基本元素都是正多邊形，其中一個必須滿足的條件就是：這種多邊形的每一個交點（頂點）所形成的角度之和都必須是360°。在一個正三角形（等邊三角形）里，每個內角為60°，因此，六個這樣的三角形必然能夠在一個頂點匯聚。在一個正方形里，每個內角是90°，因此四個正方形也能夠在一個頂點匯聚。在一個正六邊形里，每個內角是120°，因此，三個這樣的六邊形能夠在一個頂點匯聚。
除此之外，任何其他正多邊形無論有多少條邊，都無法在一個平面以正多邊形的形式進行鑲嵌——只存在三種正多邊形的鑲嵌方法。
半正則鑲嵌——1618年
一共有八種半正則鑲嵌的方法。如圖所示，它們是由五種不同的正多邊形組成的：三角形、正方形、六邊形、八邊形與十二邊形。與正多邊形鑲嵌類似，這也是一個小得驚人的數字。約翰尼斯·開普勒與他的后繼者們都在馬賽克鑲嵌問題上進行了先驅性的研究。它不僅是消遣數學方面的內容，也是結晶學、編碼理論和元胞結構等方面的重要研究工具。
半正則鑲嵌是指使用兩種或兩種以上的正多邊形來鑲嵌，并且在每個頂點周圍都有相同的正多邊形以相同的方式進行排列——用數學語言可以闡述為，每一個頂點都與另一個頂點全等。
這樣的信息可以用施萊弗利符號輕而易舉地表達出來。比如，｛3，12，12｝就是指每一個頂點上，按順時針方向，連接著一個三角形與兩個十二邊形。
我們不得不在一個頂點上，找尋一種能夠填滿360°的正多邊形的組合。每個角度的組合都符合這個條件的，就被稱為“頂點圖形”。這是創造任何形式的正多邊形鑲嵌的一個基本條件。
鑲嵌與施萊弗利符號
約翰尼斯·開普勒以他在天文學方面的成就聞名于世，但他同時對幾何鑲嵌和多面體研究也有著極大的興趣。在他1619年出版的《世界的和諧》一書中，記載了一系列關于正多邊形和星狀多邊形瓷磚形狀的內容。
“對外部世界研究的主要目的在于發現理性的秩序與和諧，這一切都是上帝創造的，并通過數學的語言向我們透露出來。”開普勒在書中這樣寫道。
如果我們將一致性的約束條件——每個頂點都必須等于其他頂點（在正多邊形鑲嵌中）省略掉的話，我們就可以創造出額外的鑲嵌組合。要想做到這點，也需要滿足一個基本要求：每個頂點上連接的正多邊形都必須形成一個完整的頂點圖形，即它們每個內角之和都必須等于360°。
那么我們能夠找到多少個完整的頂點圖形呢？
一個系統的程序只會做出21個不同的完整頂點圖形或頂點圖像（如圖所示），這些圖形都可以用施萊弗利符號去表達。考慮到正多邊形有無窮多個，這個數字實在是少得讓人震驚。
對于每一個可能形成的鑲嵌來說，都存在著一些基本的要求，但只滿足這些基本的要求是不夠的。
只有一些能夠形成完整頂點圖形的組合，才能擴展成鑲嵌圖形。圖1、圖2和圖3中的頂點圖形構成了三種正多邊形鑲嵌；圖4至圖11中的頂點圖形則構成八種半正則鑲嵌。兩個或三個頂點圖形的不同組合，至少會形成十四種非正則鑲嵌圖。擁有三個以上頂點圖形的正多邊形鑲嵌，其數量是無限的。
頂點圖片
上面的多邊形擁有二十一個頂點圖形，以施萊弗利符號表達如下：
1-3. 3.3.3.3.3
2-4. 4.4.4
3-6. 6.6
4-3. 6.3.6
5-3. 3.3.3.6
6-4. 8.8
7-3. 4.3.3.4
8-3. 3.3.4.4
9-4. 6.12
10-3. 12.12
11-3. 4.6.4
12-3. 4.4.6
13-3. 3.6.6
14-3. 3.4.12
15-3. 4.3.12
16-3. 7.42
17-3. 9.18
18-3. 8.24
19-3. 10.15
20-4. 5.20
21-5. 5.10
阿基米德多面體——半正則多面體
凸面半正則多面體，或者說阿基米德多面體，是由有著相同頂點的不同正多邊形組成的。
一共有13個不同的半正則多面體。阿基米德最早對這些立體進行了描述。文藝復興時期，這方面的知識重新被當時的數學家發現，并由開普勒在1619年構建了一個完整的體系。直到現在，在游戲或謎題領域，仍然存在著許多未被探索的可能性。比如對截角四面體（3，6，6）的記號法就意味著每一個頂點都包含著一個三角形、兩個六邊形，并且是以循環次序來排列的。在所有的立方體里，扭棱立方體與扭棱十二面體都是以兩種鏡像或是對映體的方式展現出來的。
卡瓦列里原理——1630年
博納文圖拉·弗朗切斯科·卡瓦列里（1598—1647）是一位意大利數學家、微積分學先驅，他以對光學與運動問題的研究聞名于世，他還將對數理論引入了意大利。
幾何學中的卡瓦列里原理在某種程度上是積分學的先聲。
卡瓦列里原理確立了這樣的事實：無論一個棱錐底面的形狀如何，它的體積都等于（1/3）×底面積×高。
圓錐體與角錐體的體積
三個圓錐體、三個角錐體與左側柱體都有著相同的底面積與高度，用水填滿錐體。然后將水從圓錐體里倒入圓柱體，從角錐體倒入棱柱體。
圓柱與棱柱體能裝入多少水呢？
笛沙格定理——1641年
1641年，吉拉德·笛沙格，這位法國數學家（1591—1661）出版了一本書，這本書有一個充滿美感與神秘色彩的書名——《影子游戲》。
書的主題是透視與投影之間的關系。今天，我們都知道這是簡單卻令人驚訝的笛沙格定理：三角形各邊的延長線與其投影各邊的延長線的交點位于一條直線上（當你去驗證它的時候，會發現這簡直就是一個奇跡）。
四個三角形的短邊都落在地面上，這四個三角形所形成的陰影面積有可能相等嗎？
布萊茲·帕斯卡（1623—1662）
布萊茲·帕斯卡，法國數學家、物理學家、發明家、作家和天主教哲學家。
帕斯卡的父親當時是魯昂地區的一位收稅員，他投入了極大的精力培養自己的兒子。帕斯卡早年的研究工作都專注于自然科學與應用科學上，并在液體靜力學研究方面做出了重要的貢獻。除此之外，他還對埃萬杰斯利塔·托里拆利（Evangelista Torricelli）的研究成果進行了總結，進一步定義了壓強與真空的概念。1642年，當時還是一位少年的帕斯卡，為了幫助父親改進工作，已經開始在計算機方面做出一些開創性的工作。最后，他終于發明了機械計算器。他一共制造了20個這樣的機器（被稱為加法器）。帕斯卡的健康狀況一直不是很好，特別是在他成人之后，身體每況愈下。在過了39歲生日后兩個月，他離開了人世。
帕斯卡三角形
數學領域最具美感與最實用的一種數字圖形就是著名的帕斯卡三角形。右圖顯示了前面十排的情況。你能發現它的構造模式，并且繼續往下添加多排數字嗎？
數學圖形的發明可以追溯到古代的中國，但正是布萊茲·帕斯卡發現了其中的模式及其應用，從而使帕斯卡三角形成為當今數學諸多領域最重要的研究工具之一。帕斯卡三角形中的數字顯示了從0排開始到達某個點的幾種可能的路徑。
魯珀特王子問題——1650年
作為皇家學院的創始成員，萊茵地區的魯珀特王子（1619—1682）提出了一個100多年來都無人能解的問題，這個問題現在被稱為魯珀特王子問題。問題是這樣的：能否在一個立方體中穿一個洞，使與之體積相等或更大的立方體從中穿過呢？
約翰·沃利斯（John Wallis）首次對一個立方體穿過另一個立方體的數學問題進行了認真的研究。1816年，沃利斯死后，荷蘭數學家彼得·紐蘭（Pieter Nieuwland，1764—1794）在其出版的書中，提出了解答方法——找到能夠通過單位棱長立方體的最大立方體。
紐蘭通過尋找能夠穿過單位棱長立方體的最大立方體回答了這個問題。若是我們從一個頂點去俯視的話，那么一個單位棱長立方體就會有一個正六邊形的輪廓，邊長的為3/2。
穿過一個立方體的最大正方形要有一個能夠內接這個正六邊形的面，這個正方形的邊長大約是：
32/4=1. 0606601…….
因此我們得出了有趣的結論：穿過另一個立方體的立方體，比被穿過的那個立方體還要大一些。
組合學——讓計算變得更加容易
從古代開始，組合學問題就一直吸引著數學家關注的目光。公元前12世紀的中國古書《易經》中就提到過幻方。帕斯卡三角形（當然那時還不叫這個名字）也出現在13世紀的波斯王國。
在西方，組合學始于布萊茲·帕斯卡與皮埃爾·德·費馬等人對概率論的研究，之后戈特弗里德·威廉·萊布尼茨進一步深化了這方面的研究。萊昂哈德·歐拉是18世紀推動組合學發展的主要人物。當歐拉解答了哥尼斯堡橋這個問題后，他就成了圖論的創始人。很多組合學方面的問題在19世紀都是以消遣問題的方式呈現出來的（比如八皇后問題與科克曼女生問題）。
最早專門論述組合學問題的著作是珀西·亞歷山大·麥克馬洪1915年出版的《組合分析》一書。
組合學是現代數學的一個分支，研究的是數字與物體組合方式的問題，它的名字也由此而來。
概率問題、電腦理論以及其他很多日常生活中的問題，都需要運用到組合學的定理，特別是在組合與排列方面。在一個系統內可能進行的數字排列方式一開始看上去很少，但是隨著元素的不斷增多，這種可能性會迅速提高，最終大到根本無法計算。
下面有關組合學的幾個基本的實例本身都是非常簡單的：
——韋納·馮·布勞恩
一般而言，計算n個物體有多少種排列組合情況，我們只需要將一個物體接著一個物體處理就可以了。第一個物體可以出現在n個可能的位置上，而第二個物體則只能出現在n-1個可能的位置上（因為它無法占據第一個物體已經占據的位置）。對于n（n-1）種組合中的每一個物體而言，第三個物體只能出現在n-2個可能的位置上，依此類推。
一般來說，n個物體可能出現的排列組合方式是n-1個物體排列組合方式的n倍。比如說，4個物體的排列組合方式是3個物體的4倍。換言之，4個物體的排列組合方式多達24種。也就是說，我們可以用120種不同的方法排列5個物體，或用720種不同的方法去排列6個不同的物體。
這些數字就被稱為階乘，用n！來表示。比如6！表示6的階乘，結果等于720。
因此，計算n個物體所有可能的排列方式可以用下面的公式表示：
p=n！=n×（n-1）×（n-2）×（n-3）×……3×2×1
這個數值會非常迅速地變大。對于n個物體來說，若是不需要處理與排序相關的問題，而只需要從n個物體中取出n個組成一組，求這n個物體能有多少種組合方式，那又該怎么辦呢？
這個問題要更加棘手一些。假設你從5個不同元素中拿出3個（可以是顏色、文字或其他東西）。那么，求有多少種拿法就可以這樣計算：
Pk=n！/（n-k）！=5！/（5-3）=120/2=60
有時，我們并不關注物體的順序（排列情況），而只需要關注某個具體樣本中的組合問題（可選擇的數量）。所謂一個組合，就是從某個特定小組里選擇物體，同時不需要考慮物體的排列順序。
因此，計算組合方式總數的一般公式是：
C=n！/k！（n-k）！=5！/3！（5-3）！=10
在我們上面提到的這個具體例子里，一共可以對這些元素進行十組的組合（注意，不需要在意每個小組內各個元素的排列順序）。
上面，我們已經對所有不同的物體進行了處理。有時，這些物體中可能涉及多種同一類型的物體，我們可以按類將之劃分，比如，某一類型的物體為a個，另一種類型的物體有b個，依次此類推。
在這種情況下，組合的數量就是：
Pa, b，c=n！/a！b！c！
大多數與游戲或謎題相關的概率，可以通過計算所有的可能性與滿足某種特性的結果數得出來。這兩個數字的比值就是所求的概率。排列與組合的公式有助于縮短計算的時間，使其變得更加容易。
求n個元素中k個元素有多少種組合方式，可以通過著名的帕斯卡三角形求得。
維維亞尼定理——1660年
維維亞尼定理是以溫琴佐·維維亞尼（Vincenzo Vivian）的名字命名的。這一定理是這樣闡述的：等邊三角形內任意一點與三邊的垂直距離之和等于三角形的高。
溫琴佐·維維亞尼（1622—1703）是一位意大利數學家和科學家。他是托里拆利的學生。1639年，他17歲，那時候他就已經成為伽利略·加利萊伊的助手了。
1660年，維維亞尼與喬瓦尼·阿方索·博雷利（Giovanni Alfonso Borelli）合作進行了一次實驗，研究聲音的傳播速度。他們分別記下了看到遠處加農炮發出光亮的時間與聽到炮聲的時間，然后計算出了聲音每秒傳播的速度值為350米/秒。
溫琴佐·維維亞尼
1661年，他就鐘擺的轉動進行實驗研究，這要比傅科那次著名的演示還早190年。
斷掉的木棍
如果一根木棍隨機地斷裂成三段，那么這三段木頭組成一個三角形的概率有多大呢？
這個問題的背后就隱藏著等邊三角形的一個明顯的屬性，這可以通過維維亞尼定理去表達。在一個等邊三角形內的任意一個點到三邊的距離加起來都等于這個三角形的高度。2005年，川崎（Kawasake）就利用轉動方式證明了如圖所示的這個定理。等邊三角形有助于解決這個經典的概率問題。這個等邊三角形的高就等于這根木棍的長度。
地球里的一個洞——餐巾環問題
瑪麗蓮·沃斯·莎凡特（Marilyn Vos savant）以她在《展示雜志》（Parade magazine）“問瑪麗蓮”專欄里提出的蒙提·霍爾問題聞名于世。她還提出了另一個具有挑戰性的問題。這個問題就是在某個特定的球體內，挖掘一個6英寸長的洞。你能用一個直徑6英寸的球體做到嗎？
17世紀的日本數學家關孝和就已經對這個問題進行了早期研究。這個洞是一個空心的圓柱體，高度有6英寸。
我們已經得出了這樣的結論：想通過一個直徑為6英寸的球體去挖掘出一個6英寸長的洞是不可能做到的。
要想在一個面積更大的球體里挖掘一個6英寸長的洞，你必須要有一個很厚的挖掘工具，將球體上下兩邊的蓋子以及中心大部分移走，只留下一個曲形環，就會形成如圖所示的高度為6英寸的餐巾環。
這個餐巾環的體積是多少呢？換句話說，這個球體剩下的那部分體積是多少呢？一個如地球這么大的球體的曲形環，它的體積又是多少呢？附圖也許會給出一些視覺提示。
有趣的結果是，一個帶環的體積并不取決于其半徑，而取決于其高度。因為當一個球體的半徑變小時，那么圓柱體的直徑必然要變小，才能保持高度一致。隨著體積的增加，帶環會變厚。但是，這會使帶環的周長變得更短，因此體積也會隨之變小。兩者的效果會相互抵消。在最為極端的情況下，假設一個體積最小的球體，那么這個球體的直徑將會與洞的高度相等。在這種情況下，這個帶環的體積就是整個球體的體積。
圓弦環
大圓的弦S與較小圓是正切關系，相交于T點。問題是要算出中間那個半徑為1的圓形周圍的12個圓環以及右邊3個淺藍色圓環的面積。
你認為自己有足夠的信息去計算這些圓環的面積嗎？提示：畢達哥拉斯定理可以幫到你。
二進制與電腦語言
最簡單的數制就是基于兩個連續數字的二進制。
古代的一些原始部落是以二進制方式計算的，中國古代的數學家已經對二進制有所了解。但二進制卻是在德國數學家戈特弗里德·威廉·萊布尼茨的研究下得到全面發展的。萊布尼茨在他的著作《二進制數入門》一書里對二進制進行了具體描述。
萊布尼茨對二進制非常著迷，對他來說，這個數制象征著一個形而上學的真理：那就是0與1這兩個數字足以描述任何數字。根據萊布尼茨的說法，整個宇宙都可以通過二進制數的不同排列組合去完成從無到有的過程。在萊布尼茨之前，還從未有任何一位數學家意識到，只需要0與1這兩個數就可以創造出一個運作良好的按位計數系統。
1666年，萊布尼茨認為，可以通過他的二進制（0-假，1-真）方法去創造出一個完全符合邏輯的數學方法。他的這一思想被同時代的其他數學家忽略。于是，萊布尼茨就將這個想法放在了一邊。十年之后，他讀到了中國的古書《易經》，就充滿熱情地重新提出了之前的觀點。
宇宙是由相互聯系的各種物質（1）與非物質（0）的相互吸引組成的。正是這樣的二進制排列才為宇宙萬物的存在提供了基礎。我們周遭存在著許多和電腦運轉方式相同的事物，它們以對立為基礎，非1即0——不是這個，就一定是另一個。
但是，萊布尼茨提出的二進制當時也不過是一個構思而已，直到幾百年之后，電腦的出現才改變了整個世界。
戈特弗里德·威廉·萊布尼茨
——凱麗·雷德肖
二進制算盤——1680年
二進制算盤運算的原理與古典的算盤沒有什么差別。數字0與1被寫在一排的時候，每個位置上的0與1都代表著不同的值。如圖所示，用二進制表示的前16個數字都已經顯示出來了。這些數字每加一個1時，它之前所占的位置就會空出來，數字1就會占據左邊的空位。
下面給出了四個十進制數，你能夠將這些數字轉化成二進制數嗎？
吻接球面——1694年
“吻接球面”的問題是1694年戴維·格雷戈里與艾薩克·牛頓在那次著名的對話之后被提出來的。
給定一個球，一共能有多少個相同大小的球與之同時接觸呢？
在一維空間里，吻接球面的數量只有2個，在二維空間里，吻接球面的數量是6個。
牛頓認為三維空間中會有12個吻接球面，而格雷戈里則認為有13個吻接球面。
在接下來長達250多年的時間里，這個問題始終都無法得到解答。
1953年，庫爾特·舒特與巴特爾·L.范·德·瓦爾登找到了最終答案。有趣的是，我們今天回過頭來看就會發現，這個問題可以在一個非常高的維度上得到解答，比如在二十四維空間里，會產生196560個吻接球面。你知道在格雷戈里與牛頓之間，誰的答案是正確的嗎？
最密堆積與立方八面體
圍繞一個單獨的球體，你最多能夠堆積多少個與之體積相等的球體并使其相接觸呢？這個數字就被數學家們稱為“吻接數”。要是我們按照這一原理去堆積第二層或更多的層，那么我們就能在前面三層范圍內做到最密堆積，如圖所示。最密堆積會形成立方八面體，這是屬于阿基米德多面體的一個類型。你能計算出前面三層堆積著多少個球體嗎？
最速降線與等時曲線問題
1696年，約翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667—1748）向全世界的數學家提出自己已解決了最速降線的問題。最速降線指物體在兩個點之間最快降落的路徑。也就是說，當一個球以零速度開始滾動，在時刻受到地心引力作用并且假設沒有任何外在摩擦力時，最快降落的路徑。
伯努利并不是第一個解答最速降線這個問題的人。伽利略1638年就在傾斜的平面上進行了類似的實驗，但是他卻得出了錯誤的結論，認為最速降線應該是一段凹形的圓弧。
在經過萊布尼茨、牛頓與約翰·伯努利等人的辛勤研究之后，伯努利的哥哥雅各布找到了最終的答案。你能找到嗎？
1659年，克里斯蒂安·惠更斯（Christian Huygens）解答了另一個問題——等時曲線問題。等時降落軌跡或等時曲線，都是指一個球在沒有受到任何摩擦力，只受到重力影響的情況下，從高處落到低處所形成的曲線。這個過程與球所放的起點無關。他證明了擺線也是一種等時曲線。他的發現對于設計等時性的擺鐘是至關重要的。
等時曲線上的四個球體在不同位置被同時釋放，它們將會在同一時間落到最低點。
最速降落——1696年
若是按照如下四種不同的路徑釋放這些球體，你知道哪個球會最先到達斜坡的底部嗎？換句話說，最速降線會形成怎樣的曲線呢？在重力作用下，一個物體沿著哪條線降落會比其他路徑要快一些呢？沿直線降落速度是不是最快呢？
佩格棋——1697年
這種游戲最早可以追溯到1697年路易十四的宮廷，當時，克洛德·奧古斯特·拜賴伊制作了一個蘇比斯王子的妻子安妮·德·羅昂-沙博的雕版，在她肖像旁邊刻上了這個游戲。從那時起，佩格棋游戲版被大量雕刻出來，表明這種游戲在那個時代是非常流行的。
標準的游戲規則是用棋子將整個棋盤填滿，但是中間那個“洞”是不能填的。游戲的目的就是通過有效的走位，將除了中間那個位置之外的其他棋子全部清空。
這種游戲最流行的變體就是在一個33個棋格的棋盤里進行的游戲。如圖所示，32個棋格都擺放著棋子，除了最中間的那一格（第17格）。更為簡單的佩格棋形式就是使用棋格數量更少的棋盤，然后將中間位置以外的其他棋子都清空。
“走一步”既可以是移動一枚棋子到相鄰棋子的位置上將它吃掉，也可以是將棋子挪到旁邊的空位。可以沿垂直方向走，也可以沿水平方向走，但不可以斜著走。每走一步必須“跳”一次，連續跳幾次也被視為一步。
沒有人知道有多少種解法。顯然，要想成功至少需要跳31次，但如果將連跳計算在內，那么步數可能就要少于31。
這個問題的世界紀錄是18步，這個紀錄是由數學家歐內斯特·貝霍爾特在1912年創造的。你需要走多少步才能成功呢？你走多遠才會發現無路可走呢？
——戈特弗里德·威廉·萊布尼茨，1716年
二進制記憶輪
三比特（比特是二進制數字中的位）、四比特、五比特與六比特等二進制數都可以用相應的開關表示，如圖所示。
這些數字代表著二進制系統的前面64個數（包括0）。
24個開關對于同時表達三比特的二進制數來說是必需的，64個開關用來表示四比特的二進制數，160個開關用來表示五比特的二進制數，而六比特的二進制數則需要384個開關。
但是，如圖所示的二進制輪子里，同等數量的信息可以被分別壓縮為8個、16個、32個以及64個開關，這是非常經濟的一種計算方法，可以通過讓開關重疊起來去完成。
你能找到一種方法將二進制數分布到二進制輪子上嗎？這樣，當你順時針轉動輪子時，所有的二進制數都用一套相鄰的“開”“關”轉換器表示。
雖然代表每個數字的開關都必須是連續的，但是這些數字本身卻不能按照連續的順序分布。
——佚名
繞地球一圈的繩索——1702年
最讓人驚嘆且違反直覺的悖論之一就是亨利·杜登尼提出的“繞地球一圈的繩索”問題。該問題在1702年威廉·惠斯頓（William Whiston，1667—1752）出版的書中首次被記載。
解答這個問題，我們得假設地球是一個絕對意義上的圓球體，而且赤道的長度剛好是4萬千米。
一條沿著赤道放置的繩索形成了一個封閉的圓，緊緊地圍繞著地球表面。接著，你可以切開這條繩索，將它的長度加長1米，接著繼續繞地球圍成一個正圓。
你認為繩索與地球表面之間的距離是多少呢？如果我們不以地球為實驗對象，而是對一個乒乓球、網球或其他球體進行相同的實驗，又會出現什么結果呢？
伐里農的平行四邊形
假設你隨意地畫出五個四邊形（有著四條邊四個角的多邊形）。下圖左上方第一個四邊形的每一邊都被二等分，四個中點連在一起就形成了一個平行四邊形。平行四邊形的每條邊都與這個四邊形的兩條對角線相平行，因此它們是成對地相等且平行的。
你能計算出這個平行四邊形與它外部的四邊形在面積與參數方面有何關系嗎？
你能在剩下的四個四邊形中以相同的方式做出一個平行四邊形嗎？你可以嘗試一下。
伐里農定理——1731年
伐里農定理是歐幾里得幾何學的一個陳述。1731年，皮埃爾·伐里農最早出版了與此相關的著作。這個定理是關于在任意四邊形里建構一個特殊平行四邊形（伐里農平行四邊形）的方法。
任意四邊形四條邊的中點連在一起可以形成一個平行四邊形。如果四邊形是一個凸四邊形或凹四邊形（不交叉的四邊形），那么這個平行四邊形的面積就是整個四邊形面積的一半。
力矩原理在機械學上又被稱為伐里農定理。其內容是：對于同一點或同一軸而言，任何力的力矩等于各分力的力矩之和。這是一個非常重要的原理，通常會與傳遞性原理一起，用來決定作用于某一結構或結構內部的力或力學系統。
派生的多邊形——1731年
伐里農的平行四邊形是通過連接任意四邊形每條邊的中點而派生出來的。這個定理同樣可以延伸到其他多邊形上。
你可以隨意地畫出一個不規則的多邊形，將這個多邊形每條邊的中點連在一起，就會派生出一個中點多邊形。
讓人驚訝的是，如果你繼續按照這樣的方式去做，那么派生出來的多邊形就會變得接近正多邊形，它們的每條邊在長度上也越來越接近。
更讓人驚訝的是，同樣的多邊形按不同比例去分割每條邊（右圖中不規則六邊形各邊被三等分），最終派生出來的多邊形也是相似的。
萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler，1707—1783）
萊昂哈德·歐拉是一位瑞士數學家，也是歷史上最為高產的數學家之一。他在巴塞爾大學學習，成為一名像他父親那樣的牧師，然而對數學的熱愛讓他改變了學習的方向。歐拉有13個孩子。人們常說他最偉大的數學發現就是在懷里抱著孩子時做出的。
他在數論、微分方程、變分法以及其他領域，都對數學發展做出了巨大的貢獻。在數學史上，他出版的專著比任何一位數學家都要多。他于1783年去世后，科學院在接下來50年的時間里，仍在陸續出版他生前尚未出版的著作。
哥尼斯堡七橋——1735年
下面這個問題可以追溯到1735年，那時，德國一座城鎮哥尼斯堡有七座橋。這個問題很簡單（雖然解答這個問題并不是那么簡單）：在散步的時候，有沒有可能每座橋只經過一次，然后返回家呢？
據說，住在這座鎮上的人們已經試過了，但始終都沒有找到解答這個問題的方法。歐拉在1735年解答了這個問題，并且為數學一個最重要的分支——圖論打下了基礎。
歐拉將圖形簡化為看上去非常簡單的點和線，從而以獨創的抽象方式解決了這個問題。歐拉的方法就是只用點與線去進行解答。通過這樣的方式，他創造出了如圖所示的數學結構，我們今天稱之為“歐拉圖”。
接下來，這個問題就變成了：一個由線與點構成的圖形，是否有可能一筆畫出來，使你的筆中途不離開紙并且每一條線都不重復呢？
歐拉證明，想要一次走完全程，那么最多只能有兩個奇點（連接到一點的線有奇數條，則為奇點）；如果需要返回起點，那么起點必須是偶點。明白了這一點，推理過程就容易理解了：除了起點和終點外，整個旅程只會經過每個匯合點一次。這樣我們就將哥尼斯堡七橋問題簡化成了一個有四個奇點的線網結構，并可以求解了。
結論是無解。歐拉提出的這個問題其實屬于數學的拓撲學范疇——專門用于處理連續變形圖形所具有的屬性。如果其中一個圖形能夠扭曲成另一個圖形，那么這兩個圖形在拓撲學上就是等價的。如果單條曲線能夠穿過一個網絡，那么任何在拓撲學上等價的網絡也會被穿過。這個開始看上去簡單的趣味數學問題，最終衍生出了當代數學的一個重要分支，也算很不錯啦！
歐拉的多邊形分割問題——1751年
三角形劃分是將一個平面多邊形劃分為多個三角形。
其中一個基本的三角形劃分問題就是“歐拉多邊形分割”問題。歐拉在1751年向克里斯蒂安·哥德巴赫提出這個問題：將一個有n條邊的平面凸正多邊形通過對角線分割為n-2個三角形（將旋轉與鏡像都計算在內），分割的時候不能與另外一個三角形相交，有多少種分割方式？
如圖所示，你能在五邊形與六邊形里找到多少種不同的三角形劃分方法呢？問題并沒有看上去那么簡單，這已經引起了許多人的關注。你能計算出邊數為n的凸多邊形有多少條對角線和三角形嗎？
歐拉公式——1752年
我隨意畫了一幅涂鴉畫。為了使涂鴉更隨機一些，我閉上眼睛，在白紙上亂畫，手不離開紙，畫出一條連續的線——注意不要超出這張紙的范圍，然后睜開眼睛，將起點與終點連接起來。你可以按這樣的方法去嘗試一番。這樣做是為了表明，即便是隨機的涂鴉都可能隱藏著一些具有重大數學意義的模式。
你能夠從中找到什么模式嗎？你一定對涂鴉畫背后隱藏的秘密充滿興趣：
1.這幅涂鴉畫有多少個交點（V）呢？
2.這幅畫有多少條邊（E）呢？一條邊指連接兩個點的部分。
3.這幅畫有多少個區域（F）呢？
當然，我們能統計出上面這些問題的答案，但還有另外一種解題方法。如果你知道三個參數中的兩個，那么第三個參數就自然會出現。
你能列出被稱為歐拉公式或歐拉示性數的公式嗎？
這是數學最具美感、最重要的表達，它對我們在平面上所做的任何相連接的涂鴉展現出了深刻洞察力。但事實還不止如此。
我們還可以看到，在所有的凸多面體里，每個頂點、邊與面在歐拉公式里都有相同的關系。
雖然這個數學公式是以歐拉名字命名的，但完整的證明方法并不是歐拉一個人想出來的。這個公式的形成歷時200年之久，經過許多數學領域里偉大的人物——包括勒內·笛卡兒（1596—1650）、歐拉（1707—1783）、阿德里恩·馬里·勒讓德（1752—1783），以及奧古斯丁·路易·柯西（1789—1857）的共同努力，才最終完成歐拉公式的證明。
致敬歐拉：隱藏起來的瓢蟲
花園里覆蓋著落葉。如圖所示，一只雄性瓢蟲進入了其中的某個點。對瓢蟲的行進路線有以下要求：每片樹葉至少要經過一次，絕對不能離開樹葉，只能經過兩片葉子的重疊處一次，從而形成一條連續的線。最后，在旅程的終點，雌性瓢蟲會待在一片樹葉上等著雄性瓢蟲。你能說出它們最后會在哪片樹葉上相遇嗎？
致敬歐拉：星際間諜
星際安保人員在電腦屏幕上追蹤著一艘入侵的飛船。外星人的間諜飛船從北面進入了我們的行星系統，并且沿著一條連續的路徑橫穿行星間固有的路線，到其他行星收集秘密情報。它不會兩次經過同一條路線，其明顯的意圖就是不希望被我們的安保系統發現，并盡可能快速地離開。
但是，我們的軍事力量已經在它想要離開的地點等候多時，因此對方的飛船能逃脫的概率是非常小的。
你能夠猜出我們的星際防御力量在哪個點進行了防御部署嗎？
投針
如果將一根針或一根火柴從某個高度投下，使之落在一個棋盤上，這個棋盤表面畫著許多條平行線，平行線之間的距離都與針的長度相等。那么這根針下落后碰到一條線的概率有多大呢？
投一根火柴100次，統計出火柴落在一條線上的次數。然后用200除以這個數字，你的結果有多接近π（3.14）呢？
布豐投針實驗——1750年
布豐的投針實驗是幾何概率領域內最古老的問題之一，也是在奇怪的地方意外展示出數學π的驚人例子。
喬治斯·路易斯·勒克萊爾（1707—1788）——布豐伯爵——將自然界的所有事物都寫入了他那本厚達44卷的百科全書《自然史》里。
在這本書的附錄里，布豐將投針實驗寫了進來（雖然這個問題與自然史沒有任何關系）。忽然間，他成了那個時代最重要的博物學家。
投擲硬幣：達朗貝爾的悖論——1760年
投幣實驗揭示了很多概率原理。早期有關概率的悖論之一被稱為“達朗貝爾悖論”，是以讓·勒朗·達朗貝爾（1717—1783）的名字命名的。
在投擲兩個硬幣時，會出現三種可能的結果。這是否能說明出現每一種結果的概率為1/3呢？事實上，這些結果出現的概率并不是相等的，這一事實是達朗貝爾和其他同時代數學家都沒有注意到的。實際上，在投擲兩個硬幣（或投擲一個硬幣兩次）時會出現四種結果，今天一般人都會意識到。
要是一個幸運的人在了解了這一事實之后，穿越時空回到那個時代，他一定能夠成為當時舉世無雙的賭博大王。
對硬幣的兩面進行著色或標上數字，可以使硬幣的正面與反面一目了然。事實上，在投擲兩次硬幣的時候，會出現四種可能的結果：
1.正面（1）—正面（2）
2.反面（1）—反面（2）
3.正面（1）—反面（2）
4.反面（1）—正面（2）
當一個硬幣被拋向空中時，誰也無法說清楚最終會出現哪個面。但如果我們投擲100萬次，那么結果的變化會越來越小，正反面出現的次數幾乎各占一半。事實上，這就是概率論的基礎。
從根本上來說，概率論的背后存在著兩個法則，一個是“兼容并蓄”，就是計算兩個事件同時發生的概率；另一個法則則是“二者擇一”，就是計算兩個事件其中之一發生的概率。
“兼容并蓄”法則是指兩個獨立事件同時發生的概率，等于一個獨立事件發生的概率乘以另一個獨立事件發生的概率。
比如說，投擲一個硬幣出現的正面結果是1/2，那么兩次投擲硬幣都出現正面的概率就是1/2 x 1/2等于1/4。
“二者擇一”法則是指兩個相互獨立的事件，其中一個或另一個事件發生的概率等于每一個事件發生的概率相加。比如說，投擲一個硬幣出現正面或反面的概率就等于出現正面的概率加上出現反面的概率，也就是：1/2+1/2=1。
但是，如果進行三次或三次以上的投擲，又會出現什么情況呢？著名的帕斯卡三角形（參見第142頁）就給了我們任何投擲次數可能出現的答案。在帕斯卡三角形中，每行的第一個數字代表著所有硬幣都出現正面的次數，第二個數字就是除了一個硬幣之外所有硬幣中都出現正面的次數，依此類推。
比如說，在投擲四個硬幣時，投擲結果都為正面的概率為1/16。參考帕斯卡三角形，你能計算出在投擲10個硬幣的時候，出現五個正面的概率嗎？
首先，你要計算出這種投擲結果出現的不同方式。對角線5與第10排上的數字的交點就提供了答案：252。現在，你可以將第10排的數字相加，就得出了投擲10個硬幣出現的全部結果。這里有一個較快的方法：第n排的數字總和始終是2n。因此，出現五次正面結果的概率是252/1024。
扔四個硬幣的實驗
概率論是行之有效的。從下圖中，你能看到四個硬幣投擲100次的統計結果。在每次投擲時，出現正面結果的數量都被記錄下來，形成了一個結果頻次圖。我們可以將依據概率法則算出的結果與這個圖表進行對比。
如果我們增加投擲的次數，那么結果就會更加接近理論上的曲線。即便如此，從帕斯卡三角形的第四排可以看到，這個數字已經相當接近實際的概率了。你可以嘗試一下，然后將得出來的結果與概率法則相對比，看看是否吻合。
連續出現100次正面的情況
要是你投擲一個硬幣100次，想要獲得100個正面的概率有多大呢？想要正反兩面交替出現的概率有多大呢？連續投擲出50次正面，接著連續投擲出50次反面的概率有多大呢？這些情況哪種最有可能發生呢？
最短路徑
在許多點中找尋一個最短路徑的問題是很難的。
比如，你能猜到連接兩個、三個、四個、五個或六個點的最短路徑是什么樣子嗎？這些點可能代表地圖上的一座城鎮或其他東西。
雅各布·斯坦納的最小生成樹
如果在平面上有一定數量的點，一個顯而易見的問題就出現了，那就是這些點如何通過最短距離的直線去相互連接。
在這些問題上，我們能夠區分最小生成樹與最小斯坦納樹之間的不同之處。后者就是通過加入一個或一個以上被稱為斯坦納點而形成的最短距離。
斯坦納點與斯坦納生成樹都是以瑞士幾何學家雅各布·斯坦納（1796—1863）的名字命名的，他是第一個研究最短路徑問題的幾何學家。
肥皂泡與普拉托的問題
有另一種方法可以研究這類難題——通過肥皂泡。
肥皂泡似乎與嚴肅的科學和數學研究相距甚遠。但是，不僅是小孩子會吹肥皂泡，科學家們也會利用肥皂泡設計空間站或尋找自然界一些最艱深問題的答案。
肥皂膜似乎“知道”一些法則——放入肥皂液的簡單金屬絲模型通常會在瞬間幫助科學家們找到復雜問題的解決方案。
在進行這些簡單的實驗時，我們都應該意識到，我們是在解答變分法這個數學領域內的問題。這樣做背后的一個主要理念，就是要學會利用最少的建筑材料去建造一個結構。
為什么肥皂泡是圓的呢？因為表面張力會讓肥皂泡表面盡可能地收縮。肥皂泡形成的形狀會以最少的表面——也就是球面去囊括特定的體積。
普拉托問題就是要找尋特定范圍內的最小表面，這個問題是約瑟夫·路易斯·拉格朗日（Joseph Louis Lagrange）在1760年首先提出的。
這個問題是以比利時的物理學家約瑟夫·普拉托（1801—1883）的名字命名的，他是第一個用肥皂膜進行實驗的人。（1832年，他第一個使用被他稱為轉盤活動影像鏡的儀器去演示移動畫面景象。）
直到1930年，杰西·道格拉斯與蒂博爾·勞多才各自獨立地找到了這個問題的一般性解法。他們兩人的解法完全不同。
