第二章　超級(jí)任務(wù)與一致收斂

2.1　Ross-Littlewood悖論

知乎上曾經(jīng)有一個(gè)有意思的問(wèn)題，引起了火熱的討論。下面是它的簡(jiǎn)化版。

如圖2.1，我有一個(gè)罐子，一開(kāi)始是空的。在t = 1秒時(shí)，我往罐里放10個(gè)球（編號(hào)1~10），再把1號(hào)球拿出來(lái)；在t = 2秒時(shí)，我把11~20號(hào)球放到罐里，再把2號(hào)球拿出來(lái)；在t = 3秒時(shí)，我把21~30號(hào)球放到罐里，再把3號(hào)球拿出來(lái)；以此類(lèi)推。問(wèn)：到最后，罐子里有幾個(gè)球？

圖 2.1　最后罐子里有幾個(gè)球？

當(dāng)然你可能馬上反駁：“最后”是不可能達(dá)到的，問(wèn)題沒(méi)有意義。但把題目稍加修改，“最后”就可以達(dá)到了。

我有一個(gè)罐子，一開(kāi)始是空的。在t = 0.5秒時(shí)，我往罐里放10個(gè)球（編號(hào)1~10），再把1號(hào)球拿出來(lái)；在t = 0.75秒時(shí)，我把11~20號(hào)球放到罐里，再把2號(hào)球拿出來(lái)；在t = 0.875秒時(shí)，我把21~30號(hào)球放到罐里，再把3號(hào)球拿出來(lái)；以此類(lèi)推。問(wèn)：在t = 1秒時(shí)，罐子里有幾個(gè)球？

直覺(jué)告訴我們：每次操作后罐里都會(huì)增加9個(gè)球，所以最后罐里會(huì)有無(wú)數(shù)個(gè)球。但有人卻說(shuō)最后罐子是空的！你信嗎？

“最后罐子是空的”這個(gè)結(jié)論，可以這樣推理出來(lái)：對(duì)于n號(hào)球，它將在第n步被拿出來(lái)，所以最后它不在罐子里。上面這句話對(duì)于任意的n都成立，因此最后罐子是空的。

原來(lái)，這道題目描述的放球、取球過(guò)程，是一個(gè)超級(jí)任務(wù)。超級(jí)任務(wù)指的是步驟無(wú)限多，卻要在有限時(shí)間內(nèi)完成的任務(wù)。研究超級(jí)任務(wù)完成時(shí)的狀態(tài)問(wèn)題時(shí)，很容易產(chǎn)生悖論。上面的問(wèn)題，就是有名的Ross-Littlewood悖論。