第二章　超級任務與一致收斂

2.1　Ross-Littlewood悖論

知乎上曾經有一個有意思的問題，引起了火熱的討論。下面是它的簡化版。

如圖2.1，我有一個罐子，一開始是空的。在t = 1秒時，我往罐里放10個球（編號1~10），再把1號球拿出來；在t = 2秒時，我把11~20號球放到罐里，再把2號球拿出來；在t = 3秒時，我把21~30號球放到罐里，再把3號球拿出來；以此類推。問：到最后，罐子里有幾個球？

圖 2.1　最后罐子里有幾個球？

當然你可能馬上反駁：“最后”是不可能達到的，問題沒有意義。但把題目稍加修改，“最后”就可以達到了。

我有一個罐子，一開始是空的。在t = 0.5秒時，我往罐里放10個球（編號1~10），再把1號球拿出來；在t = 0.75秒時，我把11~20號球放到罐里，再把2號球拿出來；在t = 0.875秒時，我把21~30號球放到罐里，再把3號球拿出來；以此類推。問：在t = 1秒時，罐子里有幾個球？

直覺告訴我們：每次操作后罐里都會增加9個球，所以最后罐里會有無數個球。但有人卻說最后罐子是空的！你信嗎？

“最后罐子是空的”這個結論，可以這樣推理出來：對于n號球，它將在第n步被拿出來，所以最后它不在罐子里。上面這句話對于任意的n都成立，因此最后罐子是空的。

原來，這道題目描述的放球、取球過程，是一個超級任務。超級任務指的是步驟無限多，卻要在有限時間內完成的任務。研究超級任務完成時的狀態問題時，很容易產生悖論。上面的問題，就是有名的Ross-Littlewood悖論。