1.3　把橢圓“捏”成圓

可以注意到圖1.5中弧、、、、所對的“橢圓周角”（角、、、、）都是相等的，等于。弧與對稱，也可以讓它對應“橢圓周角”，這個角也等于。聯想到圓中有“等弧所對圓周角相等”的性質，而橢圓中沒有，于是想到如果把橢圓“捏”成圓，會不會有意外發現？

將圖1.5整體在橫向上壓縮到原來的倍，則橢圓就變成了單位圓，如圖1.6所示。

圖 1.6　把橢圓“捏”成單位圓

這樣一壓縮，線段、、的斜率就都從變成了，各段圓弧（除了）所對的圓周角也都變成了。現在可以利用“等弧所對圓周角相等”了——這些圓弧的長度，都等于這個圓周角的2倍，即。

滑塊的碰撞，可以看成從單位圓上不斷切下一段長度為的圓弧，直到剩余部分長度不超過為止。而整個單位圓的周長是（注意出現了！），于是可以得到總的碰撞次數：

這里的取整符號看起來較復雜，實際想要達到的效果是，一般情況（不能整除時）向下取整，特殊情況（能整除時）取商再減一。請讀者自行驗證。

由式(1.4)可以算出，當兩個滑塊質量相等時，，碰撞總次數為3。而當兩個滑塊質量懸殊時，會很小，此時可以直接用來近似表示，于是碰撞總次數約為。當兩個滑塊的質量之比是100的冪時，就是10的冪，這就解釋了碰撞總次數為什么會恰好是去掉小數點后的前若干位。