第二篇 測量與定量語言

第五章 科學中的三種概念

科學的概念，如同日常生活的概念一樣，可以方便地劃分為三大類：分類的概念、比較的概念和定量的概念。

我用“分類的概念”來簡單地表示將一客體放入一定的類中這樣的概念。所有的植物學的和動物學的分類學上的概念——不同的種、科、屬等——都是分類的概念。它給予我們關于一客體的信息量異常廣泛。例如，如果我說某一客體是藍色的，或者是暖的，或者是立方體的，我是在做出關于客體的相對弱的陳述。將客體放入比較狹隘的類中，關于它的信息便增長了，盡管這增長仍是比較有限的。一個客體是一個生物體的陳述，比起一個客體是暖熱的陳述告訴我們關于這客體的更多一些的東西。“它是一個動物”就說了更多一點的東西。“它是一個脊椎動物”，就說得更多了。隨著類繼續走向狹窄——哺乳動物，狗，長卷毛狗，等等——我們得到不斷增加的信息量，盡管這信息量相對來說仍然是少的。分類概念對于我們來說是最為熟悉的。小孩學到的最初的一些詞——“狗”“貓”“屋”“樹”等——都是這一類概念。

在傳達信息方面比較有效的是“比較概念”。它起著在分類概念和定量概念之間的媒介物的作用。我想，對這種概念給以注意是合適的，因為甚至在科學家中間，這種概念的價值和力量是常常被忽略的。科學家常常說：“定量的概念，可用一定標度加以測量的概念，引進我們的領域當然會是很稱心如意的；不幸，現在還不能這樣做。這個領域只處于它的幼年時期。我們還沒有發展出一套測量的技術，因而我們只能限于使用非定量的定性的語言。也許在將來，當這個領域比較發展起來的時候，我們將能夠提出一種定量的語言。”在做這樣的陳述時，這個科學家也許是非常正確的；但是，如果他得出這樣的結論，認為由于他必須用定性的詞語來講話，所以他必須將他的語言限于分類概念，那就是不對的了。常常有這樣的情況，在定量概念能引入科學領域之前，是引進比較概念，它對于描述、預言和解釋來說，比之粗糙的分類概念，是更為有效的工具。

分類的概念如“暖”或“冷”，僅僅將客體置于一個類中，而比較的概念，如“比較暖”或“比較冷”，借助于多于或少于的詞，告訴我們一個客體與另一個客體有怎樣的關系。在科學提出可測量的溫度概念之前很久，就可以說“這個客體比那個客體暖熱些”。這類比較概念是極為有用的。例如，假定有35人申請一個要求有某種技能的工作，而公司有一個心理學家，他的任務是確定這些申請者們合格的程度怎樣。的確，分類的判斷比之全然沒有判斷好一些，他能夠決定，有5個申請者有好的想象力，而10個申請者想象力低，其余的人想象力不高不低。用類似的方法，他可以按照他們的操作技巧、數學能力、感情上的穩定性等對這35人做粗略的分類。當然，在某種意義上說，這些概念可以作為較弱的比較概念來使用；我們可以說，有“好想象力”的人在這種能力上高于“想象力貧乏”的人。但如果這個心理學家能提出一種比較的方法，置所有35人于每種能力的等級序列中，則我們關于他們比起當我們只對他們分為強、弱、中間三類時知道得詳細得多了。

我們永遠不要低估比較概念的用處，特別在那些科學方法和定量概念還沒有提出來的領域更是如此。心理學越來越多地運用定量概念，但仍然存在著很大的心理學領域，在那里只可以用比較的概念。人類學幾乎沒有定量的概念。它更多地與分類概念打交道并且需要經驗標準，運用它來提出有用的比較概念。在這樣的領域，提出這樣的概念是重要的，它比起分類概念強有力得多，即使它仍不能做出定量的測量。

我十分高興地向你們推薦卡爾·G.亨普爾和保羅·奧本海姆的專著Der Typusbegriff im Lichte der neuen Logik。它出版于1936年，其題義是“從現代邏輯觀點看的類型概念”。作者特別談及心理學和有關領域，在那里正如作者所強調的，類型的概念是貧乏的。當心理學家花費他們的時間，比如說，將個人分為外傾性格的人、內傾性格的人、居于外傾和內傾之間的中間類型以及其他類型時，他們并沒有做出了他們所能做的最好的東西。我們到處都發現引進能導出數值的經驗標準的各種努力，如威廉·謝爾登的人體類型學中所干的那樣，不過亨普爾和奧本海姆寫他們的專著時，這類事物是非常少的。幾乎所有討論性格、素質以及氣質的心理學家，都有他們自己的類型系統。亨普爾和奧本海姆指出，所有這些不同的類型概念都與分類概念差不多。他們強調這樣的事實，雖然引進測量和定量概念將會是不成熟的，但如果心理學家制定可行的比較概念，這將會向前跨進一大步。

常遇到這樣的情況，一種比較概念以后變成為定量概念的基礎。一個經典的實例乃是“較暖的”概念，它終于發展為“溫度”概念。在我們詳述給數量概念制定經驗標準的方法之前，看一看對于比較概念建立什么樣的標準會是有用的。

作為例證，我們考察一下在可能給出數值以前的重量概念。這時我們只有較重、較輕和等重這些比較概念。什么是我們所需要的經驗程序，借助于它我們能取任意兩個客體并確定怎樣用這三個概念來比較它們呢？我們需要的只是一個平衡天秤和下列兩條規則：

（1）如果兩客體在天平上彼此平衡，則它們等重。

（2）如果這些客體不平衡，則沉下的秤盤中的客體重于上升的秤盤中的客體。

嚴格說來，我們仍然不能說一個客體“大大地重于”另一個客體，因為我們仍然沒有弄明白重的定量概念；不過在實際的實驗上，盡管仍沒有獲得給這概念定出數值的方法，這樣的語言還是可用的。例如。剛才我們講到一個人比另一個人有“較大的想象力”，盡管不能給想象力以數值。

在平衡天秤的例解中，以及在所有其他為建立比較概念的經驗程序中，在這些程序的純粹約定的方面和這些程序的因依賴于自然事實和邏輯規律而造成的非約定的方面之間做出區別是重要的。為了看出這個區別，讓我們比較形式地陳述這兩個規則，運用這兩個規則，我們定義等重、重于和輕于等比較概念。對于相等，我們需要一種規則，以便定義對應于相等的可觀察的關系，我們稱之為“E”；對于其他兩個概念，我們需要一種規則來定義我們稱之為“少于”的關系，符號化為“L”。

E關系和L關系用經驗程序來定義。我們將兩個物體置于平衡天秤的兩個秤盤上。如果我們觀察到天秤保持平衡，我們說對于重量的性質，關系E在兩物體之間成立。如果我們觀察到一個秤盤上升另一個秤盤下降，則我們說，對于重量的性質，關系L，在兩物體之間成立。

看來我們好像采取了一種完全約定的程序來定義E與L，但情況并不是這樣。除非我們選擇的兩種關系滿足一定的條件，否則它們不能作為E與L充分起作用。因此，它們不是任意選擇的關系。我們的兩種關系被運用于所有具有重量的物體。這一組客體的集合是我們的比較概念的“定義域”。如果關系E與L對這個定義域成立，則將所有定義域里的客體，排列成一種有層次的結構，有時被稱為“準連續排列”，必定是可能的。這可用關系邏輯的某些術語來做出很好的解釋。例如，關系E必定是“對稱的”（若它在任意兩物體a與b之間成立，則它也在b與a之間成立）。它也必定是“可遷的”（若它在a與b之間以及b與c之間成立，那它必定在a與c之間也成立）。我們可用點來表示物體、雙箭頭表示相等關系來將此圖示出來。

清楚的是，若我們為E選擇一種非對稱的關系，就不會滿足我們的目的。我們必定會說一物體準確地具有與另一物體相同的重量而另一物體則不具有與前一物體相同的重量。的確，這不是我們想用“相同重量”一詞的用法。天秤的平衡是一對稱關系。如果兩物體平衡，在我們調換它們在秤盤中的位置之后，它們繼續保持平衡。所以E必定是對稱關系。類似的，我們發現，若a與b在秤盤中平衡，而b平衡于c，則a會平衡于c；因而關系E也是可遷的。若E既是對稱的也是可遷的，則它必定也是“自反的”；這就是，任何客體在重量上自身相等。在關系邏輯中，一種既是對稱又是可遷的關系叫作“等價”關系。我們選擇關系E明顯不是任意的。我們選擇天秤的平衡為E，因為我們觀察到這種關系是等價關系。

關系L不是對稱的，它是非對稱的。若a輕于b，則b不輕于a。L是可遷的：若a輕于b，而b輕于c，則a輕于c。這個L的可遷性，像關系E的性質一樣，對于我們是如此熟悉，以至于我們忘記了我們必須做出經驗的檢驗來確信它適用于重量概念。我們置a與b于天秤兩秤盤上，而a下降。我們置b與c于秤盤上，而b下降。若我們置a與c于這兩個秤盤上，我們期望a下降。在一個不同的世界上，那里我們的自然定律不成立，a會向上升；如果是這樣，則我們已檢驗的關系不能稱為可遷的因而也不能作L起作用。

我們可以用從一點到另一點的單向箭頭來圖示關系L，那可遷的與非對稱的關系是：

如果關系E與L對定義域中所有個體成立，則排列所有客體于如圖5—1所示的準連續序列中必定是可能的。在最低層級中，即在層次A中，我們有等重的但輕于所有不在這層次中的客體的客體。可能只有一個這樣的客體，也可能有千千萬萬個。圖5—1表示出4個。在層次B中，我們有另一個等重客體集，它們彼此的關系是E，它們全部重于A層次中的客體，而輕于所有不在A或B中的客體。這些層次繼續向上，直至我們最終到達那最重客體的層次。除非經驗檢驗表明定義域的客體能處于這種準連續的排列中，否則關系E與L對于分別定義等重和不重于的比較概念來說是不合適的關系。

圖5—1

在亨普爾的專著《經驗科學中概念形成的基本原理》[1]一書第十節和第十一節中，你們會找到關于這個問題的極為詳細的討論。他說，E與L必須滿足下列四個條件：

1.E必須是一個等價關系。

2.E與L必須互相排斥。沒有任何兩個物體可以是等重的同時又是具有一個輕于另一個的關系的。

3.L必須是可遷的。

4.對于任意兩客體a與b，下列三種情況之一必須成立（實際上，說至少有一個成立就足夠了，它可從其他有一個成立的條件中推導出）。

（a）E在兩客體之間成立。

（b）L在a與b之間成立。

（c）L在b與a之間成立。

換句話說，任何兩個具有重量的客體a與b或者重量相等，或者a輕于b，或者b輕于a。

如果兩種關系E與L滿足這四個要求，我們就可以說，它們組成一個準連續序列，它可以以圖5—1所表示的有層次的方式圖示出來。借助于等價關系E，我們能將所有客體劃分為等價類；然后，借助于關系L，我們能部署這些類于一連續的序列中并以這種方法提出有序層次的整個圖式。這里我要強調的一點是，完全撇開它是否適用于自然界的事實這個問題不談，比較概念由關系邏輯結構界定。

分類概念的情況就不是這樣。在定義一個類的概念時，我們可以指明我們所喜歡的任何條件。當然，如果我們包括了邏輯矛盾的條件，例如，我們說重三磅同時又少于一磅的物體，則我們是在定義一個在任何可能世界中都沒有元素的類。除此之外，我們可以以我們想要的任何連貫一致的方式來定義一個類，不管這個類在我們的世界里是否具有元素。這種類的實例是獨角獸的概念。我們把它當作一種身體似馬的但額上有直角的動物來定義。在給予“獨角獸”一詞以意義這個意義上說，這是一個完全好的定義。它定義了一個類。它對于動物學家來說并不是一個有用的類，因為在經驗的意義上說，它是空的——它無元素——但這不是邏輯學家解決的問題。

至于談到比較概念，情況便完全不同了。不像類的概念，它包含了一個邏輯關系的復雜結構；如果我們引進它，我們不能自由去拒絕或修改這個結構。亨普爾所說的四個要求必須被滿足。因此，我們看到，存在著兩條道路，在那里科學的比較概念都不是完全約定的：它們必須適用于自然的事實，以及它們必須符合關系邏輯結構。

現在我們轉到“定量概念”。每一個定量的概念都有一對相對應的比較概念，在某一科學領域的發展中它通常作為走向定量的第一步而起作用。在我們已引用的實例中，輕于或等重的比較概念容易引導到能測量和能用數字表示的重量概念。我們將討論定量概念的性質，為什么它們如此有用，在哪些領域它們可以被應用，以及是否存在著一些領域，在那里它們不能被應用。這后一點在科學方法論中是極為重要的，并且由于這個理由，我們將極詳細地討論它。但在著手處理這個問題之前，我將做出初步的一般論述，它使我們討論的課題更清楚一些。現在我就來講這個問題。

首先，我們必須強調，定量和定性之間的區別并不是性質上的區別，而是在我們的概念系統中的區別。我們可以說，如果我們用語言來表示概念系統的話，這種區別是在我們語言中的區別。我這里用的“語言”一詞，是邏輯學家所用的，并不是在這種意義上使用的：英語是一種語言而中文是另一種語言。我們有物理學的語言、人類學的語言、集合論的語言等。在這個意義上說，一種語言由詞匯規則、造句規則、從這些句子做邏輯演繹的規則以及其他規則組成。出現在科學語言中的概念種類是極為重要的。我要搞清楚的就是定性與定量的區別是語言之間的一種區別。

定性語言限于謂詞（例如“草是綠的”）；而定量語言引進所謂函子符號，即有數值的函數符號。這是重要的，因為認為自然界有兩種特征：質的和量的，這種觀點流傳很廣，特別是在哲學家中間更是如此。有些哲學家堅持說，由于現代科學的注意力越來越限制于量的特征，所以現代科學忽視自然界的質的方面，從而給出了一幅完全被歪曲了的世界圖景。這個觀點是完全錯誤的，如果我們引進性質地位的區別，則我們可以看出這個觀點是錯誤的。當我們注視自然界，我們不能問：“這里我所看到的現象是定性的現象還是定量的呢？”這不是一個正確的問題。如果什么人用一定的詞語來描述這些現象，定義這些詞語，并向我們給出它們的運用規則，則我們可以問：“這些詞是定量的語言還是準定量的語言，定性的語言？”

另一個重要觀點是，在引進定量概念時約定起了非常大的作用。我們絕不應小看這種作用。另一方面，我們必須小心謹慎，不要過分估計這種約定的方面。人們并不常常這樣做，不過有少數哲學家已經這樣做。在德國，雨果·丁格爾是一個例子。他采取了一種我認為是錯誤的、完全約定主義的觀點。他說，所有的概念，甚至科學的規律都是約定的事情。依我的觀點，這走得太遠了。彭加萊在這個極端激進的意義上也曾被人指責為約定主義，但我想，這是沒有正確理解他的著作。他的確常常強調約定在科學中起的重要作用，但他同樣很好地覺察到起作用的經驗因素。他知道，在創立科學系統時，我們并不總是自由地做出任意選擇；隨著我們發現自然界的事實，我們必須使我們的系統適應于自然界的事實。自然界提供了處于我們不能控制的狀態的因素。彭加萊只在這個意義上可以被稱為約定主義者，就是他是一個比起先前的哲學家更強調約定的偉大作用的哲學家。他并不是極端的約定主義者。

在我們著手研究測量在發展定量概念中的作用之前，我們必須提及，有一個比較簡單而又比較基本的定量方法——計數法。如果我們不首先有計數的能力，我們將不能測量。計數除了包括非負整數外，不包含什么別的東西。我之所以說“非負整數”而不說“正整數”，因為如果我們取廣泛充分的意義上的計數，則零也是計數的結果。給出一個有限的類——比如說這房間的所有椅子的類——計數是我們借以決定類的基數的方法。我們數這些椅子——1、2、3等——直至數完，數到20。假定我們要數一數在一房間中鋼琴的數目，我們四周環視，沒看到鋼琴，于是我們說其基數為零。這可以看成是計數的退化情況。在某些情況下，零是一個整數并可以作為基數運用于一個類中。在這種情況下，我們通常稱它為空類。

同樣的計數程序給予我們有限的連續事件的基數。我們數出在暴風雨中我們所聽見的雷聲的次數或時鐘敲打的次數。似乎這類計數在歷史上早于同時事物類（如房間中的椅子）的計數。事實上，兒童最先學計數也是這個途徑。他在房間中走著，當他說出數目字時，他正在觸及每一張個別的椅子。他計數的是什么呢？實際上是觸及的事件的系列。如果你要一個小孩去數一數遠距離的一組樹木，他會覺得很難辦到，因為對他來說，他難逐一觸及這些樹，指點這些樹木，做出這種觸及程序的一種形式。但是，如果他在計算指點著的事件中很小心，確信他指點著每棵樹一次并只有一次，則我們說，在樹的數目和指點事件的數目之間存在著一個同構。如果這些事件的數目是8，則我們將同樣的基數歸給遠距離樹木類的基數。

一個比較大的小孩或成年人可以不用指點就能數清這些樹木。但是，除非它是小的數目，例如3或4，那可以一瞥便辨認出來，他集中他的注意于第一棵樹，然后另一棵樹，等等。這個程序仍然是數連續事件的程序。用這種方法獲得的基數實際上是類的基數，這一點可以做出形式證明，不過這里我們不做詳細討論。這個觀點是這樣：在計算一個客體類時，我們實際上是數了某種其他的東西——事件的一個系列。我們因而在一種同構（事件與客體之間的一一對應）的基礎上進行推理并得出結論，事件的基數就是類的基數。

一個邏輯學家常常去尋找有關這樣簡單事物的如此復雜的情況！甚至計數，這個所有定量方法中的最簡單者，在分析之下也轉變成并非如它初次表現出來那樣簡單的東西。但是一旦我們能夠計數，我們就能運用規則于測量工作中，如同在第六章中解釋的那樣。

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[1] 見《統一科學的國際百科全書》，芝加哥，芝加哥大學版，1952。