第三章 歸納與邏輯概率

對(duì)于約翰·梅納德·凱恩斯來(lái)說(shuō)，概率乃是兩個(gè)命題之間的邏輯關(guān)系。他并不企圖去定義這種關(guān)系。他甚至走得這樣遠(yuǎn)以至于說(shuō)到，不可能制定一個(gè)什么定義。他堅(jiān)持說(shuō)，只有用直覺(jué)我們才能明白概率是什么意思。他的書《概率論》[1]，給出了幾個(gè)用符號(hào)邏輯表達(dá)的公理和定義，但從現(xiàn)代的觀點(diǎn)看，并不怎么健全。凱恩斯的有些公理事實(shí)上是定義，而他的一些定義事實(shí)上卻是公理。但他的書，特別是他討論概率理論的歷史以及今天我們能從早期的觀點(diǎn)中學(xué)到些什么的那些章節(jié)，從哲學(xué)的立場(chǎng)上看是很有趣味的。他的中心論點(diǎn)是，當(dāng)我們作一概率陳述時(shí)，我們并非做出關(guān)于世界的陳述，而只是做出關(guān)于兩個(gè)命題之間的一種邏輯關(guān)系。我們講的只是一個(gè)陳述對(duì)于另一個(gè)陳述來(lái)說(shuō)具有如此這般大小的邏輯概率。

我用“如此這般大小”這個(gè)詞組，實(shí)際上凱恩斯更為小心，他懷疑概率一般是否可以被當(dāng)作一個(gè)定量的概念即有數(shù)值的概念。當(dāng)然他認(rèn)為在特殊場(chǎng)合下，例如在投擲骰子（在那里舊的無(wú)差別原則可以應(yīng)用）的場(chǎng)合下，概率可以被當(dāng)作一個(gè)定量概念。骰子是勻稱的，所有的方面都是一樣的，我們沒(méi)有理由懷疑它是灌了鉛的等等。在其他的碰運(yùn)氣游戲中，情況是同樣的，在那里，條件被細(xì)心地安排得顯現(xiàn)出物理的對(duì)稱性，至少相對(duì)于我們的知識(shí)與無(wú)知來(lái)說(shuō)是對(duì)稱的。輪盤的輪子做得各個(gè)格子都相等。輪子小心地被保持平衡以消除任何引起滾球落于某一數(shù)格而不落于其他數(shù)格的傾向。如果某人拋出一錢幣，我們沒(méi)有理由假定是正面顯現(xiàn)出來(lái)而不是反面顯現(xiàn)出來(lái)。

凱恩斯說(shuō)，只限于這類情況，我們才能合理地運(yùn)用概率的經(jīng)典定義之類的東西，他同意無(wú)差別原則的批判者的意見(jiàn)：在經(jīng)典時(shí)期，這個(gè)原則在太廣的意義上被運(yùn)用了，并且被錯(cuò)誤地運(yùn)用于許多場(chǎng)合，例如預(yù)言明天太陽(yáng)將會(huì)升起等。他說(shuō)，在碰運(yùn)氣的游戲中以及在其他簡(jiǎn)單場(chǎng)合里，無(wú)差別原則是可用的，并且能給概率以數(shù)值，這是正確的。但在大多數(shù)的場(chǎng)合里，我們無(wú)法定義等可能事件，因而我們沒(méi)有理由運(yùn)用這個(gè)原則。凱恩斯說(shuō)，在這樣的情況下，我們不應(yīng)該運(yùn)用數(shù)值。他的看法是小心的而且是懷疑論的，他不想走得太遠(yuǎn)，以至于踏上他所說(shuō)的薄冰，所以他限制住他理論的定量部分。凱恩斯告誡我們，在許多情況下，不要毫不遲疑地去打賭，去用數(shù)值作概率預(yù)言。

在興起對(duì)概率進(jìn)行現(xiàn)代邏輯的研究的熱潮中，第二個(gè)重要的人物乃是哈羅德·杰弗里斯，他是英國(guó)的一個(gè)地球物理學(xué)家。他的《概率理論》一書（1939年首次在牛津出版）捍衛(wèi)了一個(gè)與凱恩斯概念密切相關(guān)的概念。當(dāng)凱恩斯出版他的書時(shí)（出版于1921年，因而他也許于1920年寫成），米西斯和賴辛巴赫論概率的著作才首次出現(xiàn)。凱恩斯看來(lái)還不知道它們，他批評(píng)頻率的方法，但并沒(méi)有作詳細(xì)的討論。到了杰弗里斯寫他的書的時(shí)候，頻率的解釋已充分地發(fā)展起來(lái)了，因而他的書更加明確地討論了這個(gè)問(wèn)題。

杰弗里斯直截了當(dāng)?shù)刂赋觯l率理論是完全錯(cuò)誤的。他肯定了凱恩斯的觀點(diǎn)：概率所談的不是頻率，而是邏輯的關(guān)系。他比那小心謹(jǐn)慎的凱恩斯大膽得多，他相信在大多數(shù)的情況下，特別是在數(shù)理統(tǒng)計(jì)可以運(yùn)用的所有場(chǎng)合，對(duì)概率是可以指定數(shù)值的。他想要處理R.A.菲希爾以及其他統(tǒng)計(jì)學(xué)家所感興趣的同樣的問(wèn)題，不過(guò)是在不同的概率概念的基礎(chǔ)上去處理它們。由于他運(yùn)用了無(wú)差別原則，我相信他的某些結(jié)果易受到異議，這種異議與反經(jīng)典理論所產(chǎn)生的異議是同樣的。但要在他的書中尋找一些特別命題來(lái)進(jìn)行批判是困難的，他的公理一個(gè)接一個(gè)地是可接受的。依我的觀點(diǎn)看，只有當(dāng)他企圖從某一公理中演繹出定理時(shí)，才犯了錯(cuò)誤。

成問(wèn)題的公理被杰弗里斯陳述如下：“在特定論據(jù)下，我們給有比較大的可能性的命題指定比較大的數(shù)值（因而給有同樣大的可能性的命題以相等的數(shù)值）。”括號(hào)里的部分只是說(shuō)，若p與q在證據(jù)r的基礎(chǔ)上有同等的可能性，則派給p與q以同樣的數(shù)值來(lái)表示它們對(duì)于證據(jù)r的概率值。這個(gè)陳述并不告訴我們?cè)谠鯓拥臈l件下我們能認(rèn)定對(duì)于r，p與q有同等的可能性。在這本書的其他任何地方杰弗里斯都沒(méi)有說(shuō)明這些條件。但在這本書的稍后的地方，他為了建立科學(xué)規(guī)律的定理，以極為驚人的方式解釋了這個(gè)公理。他寫道：“如果沒(méi)有理由相信某一假說(shuō)而不相信另一個(gè)假說(shuō)，則它們的概率相等。”換言之，如果我們沒(méi)有充分的證據(jù)來(lái)判定特定的理論是真是假，則我們必須得出結(jié)論說(shuō)，這個(gè)理論有1/2的概率。

這是無(wú)差別原則的一個(gè)合理的應(yīng)用嗎？在我看來(lái)，這正好是受到經(jīng)典理論的批評(píng)家譴責(zé)的一個(gè)應(yīng)用。如果無(wú)差別原則要得到完全的應(yīng)用，則事情必須有某種類型的對(duì)稱性如骰子各面相等或輪盤賭的輪子各格相同等，以至于我們可以說(shuō)這些事件是有等可能性的。在缺乏事情的邏輯上的或物理特征上的這種對(duì)稱性的情況下，僅僅由于我們不知道相對(duì)立的假說(shuō)的相對(duì)優(yōu)點(diǎn)，就假定它們是等概率的，這是毫無(wú)根據(jù)的。

一個(gè)簡(jiǎn)單的例證就會(huì)弄明白這個(gè)問(wèn)題。按照杰弗里斯對(duì)他的公理的解釋，我們應(yīng)該假定火星上有生命的概率為1/2，因?yàn)槲覀儧](méi)有充足的理由相信這個(gè)假說(shuō)，也沒(méi)有充足的理由相信這個(gè)假說(shuō)的否定。按照同樣的方法，我們應(yīng)當(dāng)有理由說(shuō)火星上有動(dòng)物的概率為1/2以及那里有人的概率為1/2。從斷言自身來(lái)考慮，每個(gè)斷言都是我們關(guān)于它無(wú)這樣那樣充分證據(jù)的斷言，但這些斷言彼此處于這樣的相互關(guān)系使得它們不能有同樣的概率值，第二個(gè)斷言比第一個(gè)斷言強(qiáng)，因?yàn)樗N(yùn)涵了第一個(gè)斷言，而第一個(gè)斷言并不蘊(yùn)涵第二個(gè)斷言。因此，第二個(gè)斷言比第一個(gè)斷言具有更小的概率；同樣的關(guān)系對(duì)第三個(gè)斷言與第二個(gè)斷言的相互關(guān)系也成立。因此，甚至運(yùn)用修正了的無(wú)差別原則，我們也必須十分小心，否則我們很可能陷入這種自相矛盾之中。

杰弗里斯的書受到數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)家的嚴(yán)厲批判。我只是對(duì)于少數(shù)幾個(gè)地方才同意他們的批判，在那里杰弗里斯提出的定理不能從他的公理中推導(dǎo)出來(lái)。另一方面，我應(yīng)該說(shuō)凱恩斯和杰弗里斯兩人仍是工作在正確方向上的先驅(qū)者。[2]我自己的關(guān)于概率的工作也是在同樣的方向上進(jìn)行的，我分享了他們的觀點(diǎn)，即邏輯概率乃是一種邏輯關(guān)系。如果你做出一個(gè)陳述，斷言對(duì)于某一特定假設(shè)，相對(duì)于給定證據(jù)的邏輯概率為0.7，則這個(gè)總的陳述是一個(gè)分析的陳述，它意味著這個(gè)陳述是從邏輯概率的定義中（或從邏輯系統(tǒng)的公理中）推出，而不訴諸任何邏輯系統(tǒng)以外的東西，這就是說(shuō)，不訴諸現(xiàn)實(shí)世界的結(jié)構(gòu)。

在我的概念里，邏輯概率乃是有點(diǎn)類似于邏輯蘊(yùn)涵的一種邏輯關(guān)系，真的，我想概率可以被看作一種部分的蘊(yùn)涵。如果證據(jù)是如此強(qiáng)，以至于假說(shuō)邏輯地由它導(dǎo)出——邏輯地被它蘊(yùn)涵——?jiǎng)t有一極端的情況，在那里概率是1（概率為1也在其他場(chǎng)合中發(fā)生，不過(guò)這是那里發(fā)生的一個(gè)特殊場(chǎng)合）。類似地，如果證據(jù)邏輯地蘊(yùn)涵一個(gè)假說(shuō)的否定，則這個(gè)假說(shuō)的邏輯概率為0。在它們之間，存在著情況的連續(xù)統(tǒng)。關(guān)于這個(gè)連續(xù)統(tǒng)，演繹邏輯除了否定的斷言，即這個(gè)假說(shuō)及其否定都不能從證據(jù)中演繹出來(lái)之外，并不告訴我們?nèi)魏螙|西。關(guān)于這個(gè)連續(xù)統(tǒng)，歸納邏輯必須把它接過(guò)來(lái)，但歸納邏輯如同演繹邏輯一樣，它們只與所包含的陳述有關(guān)，與自然界的事實(shí)無(wú)關(guān)。通過(guò)對(duì)所陳述的假說(shuō)h和所陳述的證據(jù)e的邏輯分析，我們得出結(jié)論，e并不邏輯地蘊(yùn)涵h，而是，可以這樣說(shuō)，e部分地蘊(yùn)涵h到如此這般大小的程度。

在這點(diǎn)上，依我的觀點(diǎn)看，我們認(rèn)為給這種概率指定數(shù)值是有道理的。如果可能，我們很想這樣構(gòu)造一個(gè)歸納邏輯體系，使得對(duì)于任意一對(duì)語(yǔ)句，其一斷言證據(jù)e，其二陳述假設(shè)h，我們能夠給h關(guān)于e的邏輯概率以一個(gè)數(shù)值（我們不考慮這種瑣碎的情況，在那里，語(yǔ)句e是矛盾的；在這種情況中，不能給h指定概率數(shù)值）。對(duì)于只包含一元謂詞的非常簡(jiǎn)單的語(yǔ)言，我已經(jīng)成功地提出這種概率的可能定義，而現(xiàn)在的工作是進(jìn)一步將這個(gè)理論推廣到比較綜合的語(yǔ)言中去。當(dāng)然，如果我企圖構(gòu)造在這樣基礎(chǔ)上的整個(gè)歸納邏輯要對(duì)科學(xué)有一些實(shí)在的價(jià)值，則它最后應(yīng)被運(yùn)用于定量語(yǔ)言，即如我們?cè)谖锢韺W(xué)中所看到的那樣的語(yǔ)言，在那里不僅有一元或二元謂詞，而且也有如質(zhì)量、溫度等數(shù)值。我相信，這是可能的，并且它所包含的基本原則和引導(dǎo)我們?yōu)橐辉^詞的簡(jiǎn)單語(yǔ)言構(gòu)造歸納邏輯的工作的原則是一樣的。

當(dāng)我說(shuō)運(yùn)用歸納邏輯于科學(xué)語(yǔ)言是可能的時(shí)候，我并不是說(shuō)可以制定一個(gè)規(guī)則的集合，一勞永逸地記住它，在任何領(lǐng)域自動(dòng)地引導(dǎo)我們從事實(shí)中得出理論。例如，能夠制定這樣的規(guī)則，使科學(xué)家能夠概覽給出不同觀察報(bào)告的十萬(wàn)個(gè)語(yǔ)句，并從這些規(guī)則的機(jī)械運(yùn)用中發(fā)現(xiàn)能解釋所觀察的現(xiàn)象的一般理論（規(guī)律系統(tǒng)），這看來(lái)是非常可疑的。這一般是不可能的，因?yàn)槔碚摚貏e是比較抽象的理論涉及那些諸如粒子與場(chǎng)等不可觀察的東西，它所運(yùn)用的概念框架遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出用以描述觀察材料的框架。人們不能簡(jiǎn)單地遵從建立在固定規(guī)則基礎(chǔ)上的機(jī)械程序去發(fā)明一個(gè)新的理論概念體系，并靠著它的幫助發(fā)明一個(gè)理論。創(chuàng)造性的機(jī)靈是需要的，這個(gè)觀點(diǎn)有時(shí)被表述為不可能存在一部歸納機(jī)器——一部這樣的計(jì)算機(jī)，我們能將所有有關(guān)的觀察語(yǔ)句輸進(jìn)去，而在輸出端可以取出能解釋被觀察現(xiàn)象的簡(jiǎn)潔的規(guī)律系統(tǒng)。

如果歸納機(jī)器的目的是發(fā)明新理論，則我同意不可能有這樣一部機(jī)器。但是，我相信可能存在一部具有不太過(guò)分的目標(biāo)的歸納機(jī)器。給定一定的觀察e和一個(gè)假說(shuō)h（例如，預(yù)言的形式或甚至規(guī)律集合的形式），則我相信用機(jī)械的程序在許多場(chǎng)合下，能確定其邏輯概率或h在e的基礎(chǔ)上的確證度。對(duì)于這個(gè)概率概念，我也用“歸納概率”一詞，因?yàn)槲掖_信這是一個(gè)包含于所有歸納推理中的基本概念，而歸納推理的主要任務(wù)乃是求出這種概率的值。

當(dāng)我們概觀概率理論的現(xiàn)狀，我們發(fā)現(xiàn)頻率理論的擁護(hù)者和像凱恩斯、杰弗里斯以及我自己這樣的人根據(jù)邏輯概率所講的理論的擁護(hù)者之間的論戰(zhàn)。但我的見(jiàn)解和凱恩斯與杰弗里斯的見(jiàn)解之間有一個(gè)重要的區(qū)別，他們拒絕概率的頻率概念，而我不拒絕。我想，頻率概念也稱為統(tǒng)計(jì)概率，是一個(gè)很好的科學(xué)概念，這個(gè)概念或者如在米西斯和賴辛巴赫系統(tǒng)中那樣通過(guò)明確的定義而引進(jìn)；或者如在當(dāng)代數(shù)理統(tǒng)計(jì)中那樣通過(guò)一公理系統(tǒng)與實(shí)際運(yùn)用規(guī)則（沒(méi)有明確定義）而引進(jìn)。在這兩種場(chǎng)合中，我認(rèn)為這個(gè)概念對(duì)科學(xué)來(lái)說(shuō)都是重要的。依我的觀點(diǎn)，概率的邏輯概念是第二類概念，它的性質(zhì)完全不同，雖然同等重要。

給統(tǒng)計(jì)概率以數(shù)值的陳述并非純邏輯的，它們?cè)诳茖W(xué)語(yǔ)言中是事實(shí)的陳述。當(dāng)一個(gè)醫(yī)生說(shuō)，一個(gè)病人對(duì)于某一種注射會(huì)有陽(yáng)性反應(yīng)的概率是“非常好的”（或者他用了一個(gè)數(shù)值，比如說(shuō)是0.7），他就做了一個(gè)醫(yī)學(xué)科學(xué)的陳述。當(dāng)一個(gè)物理學(xué)家說(shuō)這種特定放射現(xiàn)象的概率是如此這般大小時(shí)，他做的是物理學(xué)的陳述。統(tǒng)計(jì)概率是一種科學(xué)的、經(jīng)驗(yàn)的概念，有關(guān)統(tǒng)計(jì)概率的陳述是“綜合的”陳述，這種陳述不能用邏輯來(lái)決定而是建基在經(jīng)驗(yàn)探究的基礎(chǔ)上。關(guān)于這一點(diǎn)，我完全同意米西斯、賴辛巴赫以及統(tǒng)計(jì)學(xué)家的意見(jiàn)。當(dāng)我們說(shuō)，“用這個(gè)特別的骰子投擲得一點(diǎn)的概率是0.157”，我們陳述了一個(gè)科學(xué)假說(shuō)，這個(gè)假說(shuō)只能用一系列觀察來(lái)加以檢驗(yàn)。這是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)陳述，因?yàn)橹挥薪?jīng)驗(yàn)的調(diào)查研究才能確證它。

隨著科學(xué)的發(fā)展，這類概率陳述看來(lái)變得越來(lái)越重要，這不僅在社會(huì)科學(xué)中而且在現(xiàn)代物理學(xué)中也如此。統(tǒng)計(jì)概率不僅被包含于這樣的領(lǐng)域之中，在那里它之所以成為必要是由于人們的知識(shí)不足（如在社會(huì)科學(xué)中或當(dāng)物理學(xué)家計(jì)算液體分子軌道之時(shí)），而且它也作為一個(gè)本質(zhì)的因素包含于量子理論的基本原理之中。有一個(gè)統(tǒng)計(jì)概率理論對(duì)于科學(xué)來(lái)說(shuō)是極端重要的。這種理論已由統(tǒng)計(jì)學(xué)家們提出并且也由米西斯和賴辛巴赫以不同的方式提出。

另一方面，我們也需要邏輯概率的概念。在元科學(xué)的陳述即在關(guān)于科學(xué)的陳述中，它特別有用。我向一個(gè)科學(xué)家說(shuō)：“你告訴我說(shuō)我能依靠這個(gè)規(guī)律做出某種預(yù)言，這個(gè)規(guī)律是在怎樣好的程度上被確立了呢？這個(gè)預(yù)言有多大的可靠性呢？”今天這個(gè)科學(xué)家可能愿意或者可能不愿意用定量的語(yǔ)詞來(lái)回答這類元科學(xué)的問(wèn)題，但我相信，一旦歸納邏輯充分地發(fā)展起來(lái)，他會(huì)回答：“在有效證據(jù)的基礎(chǔ)上，這個(gè)假說(shuō)被確證到0.8的程度。”一個(gè)科學(xué)家用這種方式回答問(wèn)題，他就做出一個(gè)有關(guān)證據(jù)與所研究的假說(shuō)之間的邏輯關(guān)系的陳述，在他心中的這類概率乃是邏輯概率，這個(gè)概率我也稱之為“確證度”。他關(guān)于這個(gè)概率的值是0.8的陳述，在這個(gè)語(yǔ)境中，并非一個(gè)綜合的（經(jīng)驗(yàn)的）陳述，而是一個(gè)分析的陳述。它之所以是分析的，因?yàn)樗⒉灰蠼?jīng)驗(yàn)的調(diào)查研究，它表達(dá)了陳述證據(jù)的句子與陳述假說(shuō)的句子之間的一種邏輯關(guān)系。

在做出概率的分析陳述時(shí)，需注意的是，它總是需要明確地指明證據(jù)，科學(xué)家不應(yīng)說(shuō)“這個(gè)假說(shuō)有0.8的概率”，他必須補(bǔ)充說(shuō)“相對(duì)于這樣那樣的證據(jù)來(lái)說(shuō)是這樣”，如果不做這個(gè)補(bǔ)充，他的陳述可以作為統(tǒng)計(jì)概率的陳述。如果他意圖使它成為邏輯概率的陳述，那它是一個(gè)省略了的陳述，在那里一個(gè)重要的成分被省去了。例如，在量子理論中，要知道一個(gè)物理學(xué)家指的是統(tǒng)計(jì)概率還是邏輯概率常常是困難的。物理學(xué)家常常不作這種區(qū)分，他們講的好像只存在一個(gè)他們用以進(jìn)行工作的概率概念一樣。他們會(huì)說(shuō)：“我們指的是這類概率，它滿足概率理論的普通公理。”但兩種概念都滿足概率理論的普通公理，所以這個(gè)陳述并沒(méi)有明確地搞清他們的意思指的是概率的哪一種類型。

類似的混淆也可在拉普拉斯以及提出概率的經(jīng)典概念的其他人的陳述中找到。他們沒(méi)有覺(jué)察到我們今天覺(jué)察到的邏輯概率與頻率概率之間的不同，由于這個(gè)緣故，要確定他們所意指的是哪一種概念并不是總是可能的。但我確信，在大多數(shù)時(shí)候——當(dāng)然不全是如此——他們指的是邏輯概念。依我的觀點(diǎn)看，米西斯以及其他頻率論者對(duì)經(jīng)典學(xué)派做出的某種評(píng)論是不正確的。米西斯相信，除了頻率概念之外，不存在其他的科學(xué)的概率概念，所以他假定，如果經(jīng)典作家用“概率”來(lái)完全表示什么意思的話，那他們必定指的是統(tǒng)計(jì)概率。當(dāng)然，他們畢竟不能清楚和明確地說(shuō)明他們指的是相對(duì)頻率，但是按米西斯的說(shuō)法，他們暗含地意指這東西。我不同意這種意見(jiàn)。我相信，當(dāng)經(jīng)典作家們關(guān)于先驗(yàn)概率做出某種說(shuō)明時(shí)，他們講的是邏輯概率，它是分析的因而能先驗(yàn)地被知道的。我不像米西斯和賴辛巴赫那樣，認(rèn)為這些陳述違反經(jīng)驗(yàn)主義的原則。

讓我來(lái)補(bǔ)充一些謹(jǐn)慎的話。我在我的討論概率的書中表述了這些觀點(diǎn)以后，許多同事——有些是我的朋友——從經(jīng)典作家中引了一些話并說(shuō)明在經(jīng)典作家的心中并沒(méi)有邏輯概率。我同意這個(gè)意見(jiàn)，在他們的某些陳述中，經(jīng)典作家未能指出邏輯概率；大概，他們指的是頻率概率。然而，我確信，他們的基本概念乃是邏輯概率。我想，這個(gè)意思甚至包含于這個(gè)領(lǐng)域的第一本系統(tǒng)著作雅可比·貝努利的《猜測(cè)的藝術(shù)》一書的標(biāo)題之中。米西斯的概率理論并不是猜測(cè)的藝術(shù)，它是一種數(shù)學(xué)地闡明的關(guān)于大量現(xiàn)象的公理理論。關(guān)于它們，這里不存在猜測(cè)。貝努利所指的意思就很不相同，他說(shuō)，我們已經(jīng)看到一定的事件，如一骰子下落的方式，而我們想要做出關(guān)于如果我們?cè)僖淮螔仈S它，它會(huì)怎樣下落的猜測(cè)。我們想要知道的，是怎樣做出合理的賭博。對(duì)于經(jīng)典作家來(lái)說(shuō)，概率乃是我們獲得未來(lái)事件的肯定程度或有把握的程度。這是邏輯概率而不是統(tǒng)計(jì)意義的概率。[3]

關(guān)于我的概率觀點(diǎn)，我將不做較詳細(xì)的論述，因?yàn)樗嗽S多技術(shù)性的東西。但我將討論一個(gè)能將兩種概率概念結(jié)合起來(lái)的推理。當(dāng)歸納推理的一個(gè)假設(shè)或一個(gè)前提含有統(tǒng)計(jì)概率時(shí)，這個(gè)推理產(chǎn)生。我們通過(guò)修改一下我們用以討論全稱規(guī)律的基本圖式就很容易看出這個(gè)問(wèn)題。代替全稱規(guī)律（1），我們?nèi)〗y(tǒng)計(jì)規(guī)律（1′）為第一個(gè)前提，這個(gè)統(tǒng)計(jì)規(guī)律說(shuō)明Q對(duì)于P的相對(duì)頻率（rf）（例如）是0.8。和前面一樣，第二個(gè)前提（2）說(shuō)明一定個(gè)體a具有性質(zhì)P。第三個(gè)陳述（3）斷言a具有性質(zhì)Q。這第三個(gè)陳述Qa，是我們要在這兩個(gè)前提的基礎(chǔ)上考慮的假說(shuō)。

在符號(hào)形式

（1′） rf（Q，P）=0.8

（2）Pa

（3）Qa

中，關(guān)于（3）對(duì)于（1′）與（2）的邏輯關(guān)系，我們能說(shuō)些什么？在先前的場(chǎng)合——全稱規(guī)律的圖式——我們能做出下述的邏輯陳述：

（4）陳述（3）被（1）與（2）邏輯地蘊(yùn)涵著。

我們關(guān)于上面給出的圖式，不能做出這樣的一個(gè)陳述，因?yàn)樾碌那疤幔?′）弱于前面的前提（1）；它陳述了一種相對(duì)頻率而不是一種全稱規(guī)律。但，我們能做出下述的陳述，它也斷言著一種邏輯關(guān)系，不過(guò)這是借助于邏輯概率或確證度，而不是借助于蘊(yùn)涵：

（4′）陳述（3），在（1′）與（2）的基礎(chǔ)上，具有0.8的概率。

注意這個(gè)陳述，如陳述（4）一樣，并不是從（1′）與（2）得出的邏輯推理，（4）與（4′）兩者都稱為元語(yǔ)言的陳述；它們是關(guān)于三個(gè)斷言，即（1）[或分別是（1′）]、（2）與（3）的邏輯陳述。

精確地理解用諸如“Q相對(duì)P的統(tǒng)計(jì)概率是0.8”這樣的陳述來(lái)表示什么意思是重要的。當(dāng)科學(xué)家做出這樣的陳述，講到頻率意義的概率時(shí)，他們指的是什么頻率并不總是十分清楚的。它是Q在被觀察樣品中的頻率嗎？是Q在所考慮的總體中的頻率嗎？是在總體中頻率的一種估計(jì)嗎？如果在樣品中所觀察的實(shí)例的數(shù)目非常大，則在樣品中Q的頻率在任何有意義的程度上可能與Q在總體中的頻率或與這種頻率的一種估計(jì)沒(méi)有區(qū)別。然而，牢記這里所包含的理論上的區(qū)別是重要的。

假定我們想要知道生活于某一城市的10萬(wàn)個(gè)男人中用電動(dòng)剃刀刮胡子的百分率，我們決定去問(wèn)其中的1000個(gè)男人。為了避免有偏見(jiàn)的樣品，我們必須依據(jù)現(xiàn)代民意測(cè)驗(yàn)中工作人員所使用的技術(shù)方法來(lái)挑選這1000人。假定我們獲得無(wú)偏頗的樣品并且抽樣中的800人報(bào)告說(shuō)他們用了電動(dòng)剃刀，因而，這種性質(zhì)被觀察到的相對(duì)頻率是0.8。因?yàn)?000人是十分大的抽樣，我們可以得出結(jié)論，在總體中這種性質(zhì)的統(tǒng)計(jì)概率乃是0.8。嚴(yán)格地說(shuō)，這不是一個(gè)有保證的結(jié)論，只有樣品中的頻率的值是已知的，在總體中的概率的數(shù)值是不知道的。我們能做的最好也不過(guò)是做出在總體中的頻率的估計(jì)數(shù)字。這個(gè)估計(jì)數(shù)字不應(yīng)與在樣品中的頻率的值相混淆。一般的，這樣的估計(jì)在一定的方向上與抽樣中觀察到的相對(duì)頻率相偏離。[4]

假定（1′）已知：Q相對(duì)于P的統(tǒng)計(jì)概率是0.8（怎樣知道這些是我們無(wú)須考慮的問(wèn)題。我們可以通過(guò)逐一會(huì)見(jiàn)這城市所有的10萬(wàn)個(gè)男人來(lái)檢驗(yàn)）。當(dāng)然，這個(gè)概率的陳述是經(jīng)驗(yàn)的陳述。同樣地，假定第二個(gè)前提為已知，它是Pa。現(xiàn)在我們能夠做出陳述（4′），指明（3）Qa相對(duì)于前提（1′）與（2）的邏輯概率是0.8。但如果第一個(gè)前提并不是統(tǒng)計(jì)概率陳述，而是在抽樣中被觀察的相對(duì)頻率的陳述，則我們必須考慮樣品的大小。我們?nèi)匀荒軌蛴?jì)算出表現(xiàn)于陳述（4）的邏輯概率或確證度，但它將不是精確的0.8。它將會(huì)以我在前面的注腳中提到的專題論文中所討論到的那種方式發(fā)生偏離。

當(dāng)一個(gè)歸納推理以這種方式做出，它從一個(gè)樣品推到整個(gè)總體，從一個(gè)樣品推到未知的未來(lái)樣品，或從一個(gè)樣品推到未知的未來(lái)實(shí)例時(shí)，我是作為“間接概率推理”或“間接歸納推理”而說(shuō)及它們的，把它們看作與從總體到某一樣品或某一實(shí)例的歸納推理有區(qū)別的東西。正如我早就說(shuō)的，如果總體中實(shí)際的統(tǒng)計(jì)概率知識(shí)在（1′）中給定，則在（4）中斷言同樣數(shù)值的確證度是正確的。這樣一種推理不是演繹的，它在其他種類的歸納推理和演繹推理之間占著某種中間的地位，有些作者甚至稱它為“演繹概率推理”，但我寧愿說(shuō)它是歸納的而不是演繹的。無(wú)論什么時(shí)候，當(dāng)給出總體的統(tǒng)計(jì)概率而我們要去為抽樣決定概率，用我的歸納邏輯給出的值會(huì)與統(tǒng)計(jì)學(xué)家給出的值相同。但是，如果我們從一抽樣到這總體或從一抽樣到未來(lái)的個(gè)別實(shí)例或未來(lái)的有限抽樣（后兩種情況我稱之為“預(yù)言推理”）做出一種間接推理，則我相信統(tǒng)計(jì)學(xué)所用的方法并不是非常適當(dāng)?shù)摹Ｔ谖业膶ｎ}論文《歸納方法的連續(xù)統(tǒng)》中，我給我的這種懷疑態(tài)度作了詳細(xì)的說(shuō)理。

我想在這里強(qiáng)調(diào)的主要論點(diǎn)是：概率的兩種類型——統(tǒng)計(jì)的和邏輯的——可以在同一推理鏈條中共同出現(xiàn)。統(tǒng)計(jì)概率是科學(xué)對(duì)象語(yǔ)言的一部分。要陳述統(tǒng)計(jì)概率，我們可以運(yùn)用邏輯概率，它是科學(xué)的元語(yǔ)言的一部分。我深信，這個(gè)觀點(diǎn)比之通常在統(tǒng)計(jì)學(xué)的書中找到的觀點(diǎn)更能給出關(guān)于統(tǒng)計(jì)推理的清晰圖景，并為適當(dāng)?shù)目茖W(xué)的歸納邏輯建構(gòu)提供一個(gè)必要的基礎(chǔ)。

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[1] 約翰·梅納德·凱恩斯：《概率論》，倫敦，麥克米蘭公司1921年版。

[2] 凱恩斯和杰弗里斯以及其他支持邏輯概率的人們的工作的技術(shù)上的評(píng)價(jià)，見(jiàn)我的《概率的邏輯基礎(chǔ)》一書（芝加哥：芝加哥大學(xué)版，1950）第62節(jié)，這本書的六個(gè)非技術(shù)性的章節(jié)作為一個(gè)小的專題著作《歸納邏輯的性質(zhì)和運(yùn)用》重印（芝加哥：芝加哥大學(xué)版，1951）。

[3] 我認(rèn)為，無(wú)論統(tǒng)計(jì)概率還是邏輯概率，都是合理的、好的科學(xué)概念，它們起著不同的作用。這個(gè)觀點(diǎn)在前面注腳已引證的《概率的邏輯基礎(chǔ)》一書第二章中以及在我的1945年的論文《概率的兩種概念》中做了表述，后者見(jiàn)赫伯特·菲格爾與威爾弗里德·塞拉斯主編的《哲學(xué)分析讀本》（紐約：Appleton-Century-Crofts，1949），第330—348頁(yè)，以及赫伯特·菲格爾和梅·布羅德貝克主編的《科學(xué)哲學(xué)讀本》（紐約：Appleton-Century-Crofts，1953），第438—455頁(yè)。同樣觀點(diǎn)的比較通俗的作品，可參見(jiàn)我的文章《什么是概率？》，載《科學(xué)的美國(guó)人》，1953年9月號(hào)，第189期。

[4] 這個(gè)問(wèn)題在我的《概率的邏輯基礎(chǔ)》一書中沒(méi)有進(jìn)行討論，但在一本較小的專題著作《歸納方法的連續(xù)統(tǒng)》（芝加哥：芝加哥大學(xué)版，1952）中，我提出了在觀察樣品的基礎(chǔ)上對(duì)相對(duì)頻率進(jìn)行估算的若干技巧。