第二章 歸納與統(tǒng)計概率

在第一章中，我們假定科學(xué)的規(guī)律是可以得到的。我們看到在科學(xué)和日常生活中，這些規(guī)律是怎樣被應(yīng)用來做已知事實的解釋和未知事實的預(yù)言的工具?，F(xiàn)在讓我們問我們怎樣得到這些規(guī)律的？我們對于一個規(guī)律成立的信念是在什么基礎(chǔ)上得到辯護的？當然，我們知道，所有的規(guī)律都是建立在對某種規(guī)則性觀察的基礎(chǔ)上的，它們組成與關(guān)于事實的直接知識相對立的間接知識。是什么東西使我們能夠證明從直接的事實觀察中得出表達自然界的某種規(guī)則性的規(guī)律是正當?shù)哪?？在傳統(tǒng)的術(shù)語中，這就是所謂“歸納問題”。

歸納常被拿來與演繹相對照，演繹是從一般走向特殊和個別，而歸納走的是另一條道路——從個別到一般。這是過分簡單化的誤導(dǎo)。在演繹中，有著各種推理而不單是從一般到特殊；在歸納中，同樣有許多推理的種類。這種傳統(tǒng)的區(qū)分也會引起誤導(dǎo)，因為它暗示著演繹與歸納只不過是單一的邏輯的兩個分支。約翰·斯圖爾特·穆勒的名著《邏輯系統(tǒng)》對他所謂的“歸納邏輯”有一段很長的描述并說明歸納步驟的各種標準。今天我們比較不愛用“歸納推理”一詞。如果要用，我們必須認識到它所訴諸推理的性質(zhì)與演繹基本上不相同。

在演繹邏輯中，從一組前提中推導(dǎo)出結(jié)論，其確鑿程度正好與這個前提一樣。如果你有理由相信這個前提，你就有同樣有效的理由去相信那個邏輯地從這個前提中導(dǎo)出的結(jié)論。如果前提是真的，則結(jié)論不可能不真。至于歸納，情況完全不同。一個歸納結(jié)論的真理性從來不是必然的。我的意思不是說只是由于其所依據(jù)的前提并非必然確知，所以其結(jié)論不可能是確鑿的。即使前提被假定為真的并且推理是一個正當?shù)臍w納推理，其結(jié)論也可能是錯的。至多我們只能說，對于給定的前提，結(jié)論具有某種概率的確鑿度。歸納邏輯教導(dǎo)我們怎樣去計算這種概率的值。

我們知道，通過觀察獲得的關(guān)于事實的單稱陳述，從來不是絕對確鑿的，因為在我們的觀察中我們可能犯錯誤，但是，至于說到規(guī)律，這里存在著更大的不確定性。關(guān)于世界的一個規(guī)律陳述在任何特定情況下，在任何地方和任何時間，如果有一個事情是真的，則另一個事情也是真的。非常清楚，這里講的是有關(guān)無限的可能的實例。現(xiàn)實的實例不會是無限的，但這里卻是無限的實例。某一個生理規(guī)律說明，如果你將匕首刺入任何一個人的心窩，那個人就會死。由于從來沒有觀察到這個規(guī)律的例外情況，它被當作一個全稱規(guī)律來接受。當然，迄今觀察到的匕首插入人心窩的大量實例是有限的，這是真的。很可能有一天人類將不復(fù)存在，在這種情況下，人類的數(shù)目無論是過去的還是未來的，都是有限的。但我們不知道人類將不復(fù)存在，因此，我們必須說，這里有無限的可能實例，所有這些都是規(guī)律所涵蓋的；而且，如果存在著無限的實例，就沒有任何不管多么大的有限觀察的數(shù)目能使“全稱”規(guī)律確鑿無誤。

的確，我們能繼續(xù)進行下去，做出越來越多的觀察，并盡可能以細心的科學(xué)的方式來進行觀察，終于我們可以說：“這個規(guī)律已經(jīng)檢驗了這么多次，以至我們能夠完全確信它的真理性。它是很好地確立起來的很好地被發(fā)現(xiàn)的規(guī)律?！钡牵绻覀兯伎歼@個問題，我們就會發(fā)現(xiàn)，甚至被發(fā)現(xiàn)的最好的物理學(xué)規(guī)律都必定建基于有限數(shù)目的觀察之上，總是可能在明天就發(fā)現(xiàn)一個反例的。任何時候都不能達到對一個規(guī)律的完全證實。事實上我們?nèi)徊荒苷f“證實”（verification）——如果我們用這個詞來表示真理的最后確立的話——我們只能說確證（confirmation）。

有趣的是，雖然沒有一種方法可以證實（在嚴格的意義上）一個規(guī)律，但卻存在一個簡單的方法來證偽它，人們只需要找到一個反例。有關(guān)一個反例的知識自身可能是不確實的。你可能犯了一個觀察的錯誤，或者以某種方式受欺騙了，但如果我們假定這反例是事實，則規(guī)律立刻隨之被否定。如果一個規(guī)律說，所有是P的對象也是Q，而我們發(fā)現(xiàn)有一個對象是P而不是Q，這個規(guī)律就被駁倒。一百萬個肯定的實例對于證實這個規(guī)律來說是不充分的；一個反例對于證偽來說卻是充分的。這種情況是極不對稱的。駁倒一個規(guī)律是容易的，而找到強有力的確證是極端困難的。

我們怎樣尋找對一個規(guī)律的確證呢？如果我們已觀察到極大量的肯定實例而無否定實例，我們說這確證是強的。它有多強以及其強度是否可以用數(shù)目來表達這個問題，迄今在科學(xué)哲學(xué)中仍是一個引起爭論的問題。等一會兒我們再回到這個問題上來。這里我們關(guān)心的只是搞清楚我們尋找一個規(guī)律的確證的第一個任務(wù)，乃是檢驗實例來決定它們是肯定的還是否定的。這個工作是通過用我們的邏輯圖式作預(yù)言來做的。一個規(guī)律陳述了（x）（Px?Qx），因而對于一個給定的對象a，Pa?Qa。我們試圖尋找盡可能多的具有性質(zhì)P的對象（這里用符號“a”表示），然后我們觀察它們是否也滿足條件Q。如果我們找到否定實例，事情就此了結(jié)，否則，每一個實例乃是增加我們的確證強度的補充證據(jù)。

的確，對于有效的檢驗來說，存在著各種各樣的方法論規(guī)則。例如，實例應(yīng)該盡可能多樣化。如果你對熱膨脹定律進行檢驗，你不應(yīng)只限于檢驗固體物質(zhì)。如果你要對所有的金屬都是電的良導(dǎo)體規(guī)律進行檢驗，你不應(yīng)只限于檢驗銅樣品，你必須在各種不同條件下——熱、冷等——檢驗盡可能多的金屬。我們將不去探究檢驗的各種方法論規(guī)則，我們將只指出，在所有情況下，規(guī)律是用做出預(yù)言然后看這些預(yù)言是否成立來進行檢驗的。在某種場合，我們尋找我們要檢驗的天然對象。在另一種場合下，我們要生產(chǎn)出這個對象。例如在檢驗熱膨脹定律中，我們找不到熱物體，就取某種物體進行加熱。對于檢驗來說，生產(chǎn)具有極為有利的條件，它使我們能夠比較容易地遵循多樣化的方法論規(guī)則；但無論我們是創(chuàng)造情況進行檢驗還是在自然界尋找現(xiàn)成的情況來進行檢驗，所依據(jù)的圖式是一樣的。

剛才我提出一個規(guī)律（或我們依據(jù)規(guī)律預(yù)言的單稱陳述）的確證程度能否在定量的形式中表達出來的問題。不說某一個規(guī)律被“很好地發(fā)現(xiàn)”以及另一個規(guī)律“建立在脆弱的證據(jù)的基礎(chǔ)上”，我們應(yīng)該說第一個規(guī)律有0.8的確證度而第二個規(guī)律的確證度只有0.2。這個問題已經(jīng)進行了長期的爭論。我自己的觀點是：這樣的做法是合理的，而我曾稱為“確證度”的東西與邏輯概率完全相同。

這樣的陳述并不說明什么問題，除非我們知道“邏輯概率”是什么意思。為什么我要加上形容詞“邏輯的”？這并非通常的習(xí)慣做法，許多論概率的書不對各種不同性質(zhì)的概率做出區(qū)別，其中有一種概率被稱為“邏輯的”概率。但我深信存在著兩種性質(zhì)基本不同的概率，我區(qū)別它們稱其中一種為“統(tǒng)計概率”，而另一種為“邏輯概率”。不幸的是，同樣一個詞“概率”被用于兩種極為不相同的意義。在一些科學(xué)哲學(xué)的書中以及科學(xué)家們自己的論述中，不能做出這種區(qū)別是造成極大混亂的根源。

我有時用“歸納概率”一詞來代替“邏輯概率”，這是因為，在我的概念中，這是一種表明每當我們做出一個歸納推理時的概率。用“歸納推理”一詞，我指的是不僅從事實到規(guī)律的推理，而且，是“非證明性”的任何一種推理，這就是一種當假定前提為真而其結(jié)論并非邏輯必然地導(dǎo)出的推理，這樣的推理必須用我們所稱謂的“邏輯概率”或“歸納概率”的一定的度數(shù)來表達。為了搞清楚這種概率和統(tǒng)計概率之間的區(qū)別，簡短地回顧一下概率理論的歷史是有用的。

第一個概率理論，現(xiàn)在常稱為“經(jīng)典理論”，是在18世紀提出的。雅可比·貝努利（1654—1705）第一個寫論文系統(tǒng)論述這個問題，托馬斯·貝葉斯牧師做出了重要貢獻。到了這個世紀末，偉大的數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家皮埃爾·西蒙·德·拉普拉斯寫了第一本關(guān)于這個主題的巨著。那是概率理論的全面的數(shù)學(xué)的詳細論述，并可被認為是經(jīng)典時代的頂峰。

貫穿整個經(jīng)典時代的概率的應(yīng)用，主要的是像玩骰子、玩紙牌以及輪盤賭之類的機會賭博。實際上，這個理論起源于這樣的事實，當時的某些賭徒們曾請求皮埃爾·費爾瑪和其他數(shù)學(xué)家為他們計算包含于某些機會賭博的精確概率。所以這個理論發(fā)端于具體問題而不是發(fā)端于一般數(shù)學(xué)理論。數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，奇怪的是，這類問題是能夠解決的，雖然沒有什么數(shù)學(xué)領(lǐng)域可提供這種解答。結(jié)果，他們提出了組合理論，這個理論能運用于機會問題。

提出經(jīng)典理論的這些人們用“概率”來理解什么呢？他們提出了一個直至今天還可在基本教材中找到的概率定義：概率乃是有利事件的數(shù)目與所有可能事件的數(shù)目之比。讓我們看看在一個簡單的例子中這是怎樣計算的。某人說：“我將要投擲這個骰子。我擲得一點或二點的概率是多少？”按經(jīng)典理論，其回答如下：這里有兩種“有利的”即滿足問題給定條件的事件，這里骰子擲下共有六種可能的事件。因此，有利事件與可能事件之比為26或13。我們回答這個問題說，骰子顯示一點或二點的概率為1/3。

所有這些看來都非常清楚，非常明白，但對于這個理論還有一個重要的障礙。經(jīng)典作家們指出，當人們運用他們的概率概念之前，必須保證其中所有的事件都是等可能的。現(xiàn)在我們似乎陷入一個惡性循環(huán)中，我們企圖說明我們用概率來表示什么意思，而這樣做的時候，我們運用了“等可能性”概念。實際上，經(jīng)典理論的支持者們并不是將等可能性概念僅僅塞進那些術(shù)語。他們說事件必須是“等可能的”，進而用一著名原則即他們稱為“不充足理由原則”來定義“等可能性”。今天這個原則通常被稱為“無差別原則”。如果你不知道為什么應(yīng)是某一事件出現(xiàn)而不是另一事件出現(xiàn)的任何理由，則這些事件是“等可能的”。

簡言之，這就是經(jīng)典時期定義概率的方法。在經(jīng)典研究的基礎(chǔ)上，一個全面的數(shù)學(xué)理論建立起來了，而這里我們關(guān)心的問題只是這個理論——概率的經(jīng)典定義——的基礎(chǔ)對科學(xué)來說是不是充分的。

到了19世紀，慢慢地有少數(shù)人提出反對經(jīng)典定義的意見。在20世紀，大約1920年，理查德·馮·米西斯和漢斯·賴辛巴赫對經(jīng)典的研究作了強有力的批判。[1]米西斯說，“等可能性”除了在“等概率”的意義上是不能被理解的。如果這就是它的意思，那我們的確陷入惡性循環(huán)之中。米西斯斷言，經(jīng)典的傳統(tǒng)是循環(huán)的，因而是無用的。

米西斯還有另一個反對理由。他同意，在某種簡單的場合下，我們能夠依照常識知道某些事件是等可能的。當一個錢幣往上拋滾時，我們能夠說正面和反面的結(jié)果是等可能的，因為我們不知道有任何理由說明為什么將會翻這一面而不是那一面。輪盤賭的情況也是一樣，沒有理由說明為什么這個球掉進這一格中而不是掉進另一格中。如果所玩的紙牌都是同樣大小同樣形狀，背面是一樣的并且經(jīng)過很好的洗牌，則某一張紙牌發(fā)給每一個玩牌者的機會幾乎是一樣的。這樣的例子再一次表明等可能性的條件被滿足。但是，米西斯進一步說，沒有一個經(jīng)典作者指出概率的這個定義怎樣能夠運用于其他更多的情形。試考察死亡率表。保險公司必須知道在美國一個無嚴重疾病的40歲的人活到同一指定的年齡的概率，他們必須能夠計算出這類概率，因為他們要依據(jù)這個概率來確定保險費。

米西斯問道，對于一個人來說，什么是等可能的事件？史密斯先生申請人壽保險。公司將他送到醫(yī)院體檢。醫(yī)生報告說史密斯先生無嚴重疾病而他的出生證指明他現(xiàn)年40歲。公司查看他的死亡率表，然后，在人的可能的估計壽命的基礎(chǔ)上，公司向他提供在一定保險費下的人壽保險。史密斯先生可能在他達到4l歲之前死去，也可能活到100歲。一個人多活幾年的概率會隨著他的年齡的增長而下降。假定他45歲死亡，這對保險公司來說是個壞情況，因為他只支付了很少的保險費而現(xiàn)在公司必須付出20000美元給他的受益人。等可能性的事件在哪里？史密斯先生可能在40歲或41歲或42歲時死去等，這些都是可能事件，但它們并非等可能的；他在120歲時死去是極不可能的。

米西斯指出，將概率運用于社會科學(xué)，天氣預(yù)報甚至運用于物理學(xué)也普遍存在著類似的情況。這些情況不像碰運氣的游戲，在碰運氣的游戲中可能的結(jié)果能夠勻稱地劃分為n個相互排斥的完全可以窮盡的事件，它們滿足等可能性的條件。一塊小的放射性物質(zhì)在下一秒鐘或者發(fā)射α粒子或者不發(fā)射，放射這種粒子的概率比如說是0.0374，那里有沒有等可能性的事件呢？沒有，我們只有兩種情況：或者在下一秒鐘它將會發(fā)射α粒子或者它將不發(fā)射。這就是米西斯對經(jīng)典理論的主要批評意見。

米西斯和賴辛巴赫都談到建設(shè)性的方面。我們用概率來實際表示的東西與計算情況無關(guān)，它是“相對頻率”的一種量度，我們用“絕對頻率”表示對象或事件的總數(shù)。例如，洛杉磯去年死于肺結(jié)核的人數(shù)，我們用“相對頻率”表示這個數(shù)目與被研究的比較大的類的數(shù)目（如居住在洛杉磯的總?cè)藬?shù)）的比率。

米西斯說，我們能夠談?wù)擏蛔訑S得某一面的概率，這不僅是在完美骰子的情況下，那里它是1/6，而且是在所有型號灌鉛骰子的情況下。假定某人斷言，他持有的這個骰子已灌了鉛并且它出現(xiàn)一點的概率不是1/6，而是少于1/6。其他的某一個人說：“我同意你的意見，骰子已灌了鉛，但不是你所相信的那樣。我想一點的概率大于1/6?！泵孜魉怪赋?，為了弄清他們倆人的分歧斷語是什么意思，我們必須查看他們試圖建立他們的意見的方法。當然，他們會做經(jīng)驗的檢驗，他們會多次拋擲骰子，記錄投拋的次數(shù)和得一點的次數(shù)。

他們投擲骰子多少次呢？假定他們投擲100次并發(fā)現(xiàn)一點出現(xiàn)15次，這里略少于100的1/6。這不是將會證明第一個人是正確的嗎？另一個人會說：“不！我仍然認為這個概率大于1/6。100次投擲對于一個足夠適當?shù)脑囼瀬碚f是不充分的?！币苍S這人繼續(xù)投擲骰子一直到投拋了6000次為止。如果出現(xiàn)一點的那一面少于1000次，第二個人可能決定放棄進一步試驗，他說：“你是正確的，這個概率少于1/6?！?/p>

為什么這兩個人做了6000次試驗就不做了呢？可能他們投擲得疲倦了。也許他們打賭骰子按一定的方法灌了鉛，而他們不愿僅僅為了幾個錢就花上三幾天來做投擲試驗。不過，試驗了6000次就停止下來，這純粹是任意的。如果在6000次投擲以后，得一點的數(shù)目非常接近1000，他們可能認為問題仍未確定。一個小小的偏離可能由于機遇，而不是由于骰子自身的物理傾向，在更長的競賽中，這個傾向會引起反方向的偏離。為了做進一步的決定性試驗，這兩個人會決定繼續(xù)進行到60000次投擲。明顯地，無論投擲的數(shù)目多大，沒有什么有限的投擲數(shù)目能使他們停下來并肯定有把握說，得一點的概率是1/6或少于1/6或大于1/6。

由于對于確定概率來說，不存在有限次數(shù)的試驗可以說是充分的，那么怎樣用頻率來定義概率呢？米西斯和賴辛巴赫提議不將它定義為在實例的有限系列中的相對頻率，而定義為在無限系列中相對頻率的極限。（正是這個定義使得米西斯和賴辛巴赫的觀點與英國的R.A.菲希爾以及其他也批判經(jīng)典理論的統(tǒng)計學(xué)家的觀點相區(qū)別。后者不是通過定義而是作為一公理系統(tǒng)中的原始詞項而引進概率的頻率概念的。）當然，米西斯和賴辛巴赫很好地意識到（雖然他們常被批評沒有意識到）沒有任何觀察者能完成有效觀察的無限系列。但我想當他們的批評家說概率的新定義沒有應(yīng)用時，這些人是錯誤的。無論賴辛巴赫還是米西斯都曾指出，許多定理都能在他們的定義的基礎(chǔ)上發(fā)展出來，借助于這些定理我們能說明某些東西是有意義的。我們不能確定地說一個概率的值是多少，但如果系列足夠長，我們能夠說這個概率很可能是多少。在骰子的實例中，我們可以說擲得一點的概率大于1/6的概率是非常小的，也許這種概率的概率甚至是能計算的。極限概念用于這一定義和運用無限系列做推理這個事實必定在邏輯上和實踐上帶來復(fù)雜性和困難，但它們沒有造成為某些批判家所斷言的那種無意義定義。

賴辛巴赫和米西斯同意這樣的觀點，即建立在無限系列中的相對頻率的極限的基礎(chǔ)上的概率概念是科學(xué)上唯一可接受的概念。從無差別原理推導(dǎo)出來的經(jīng)典定義是不充分的。除了米西斯和賴辛巴赫的定義之外，沒有新的定義能超過舊的定義。但現(xiàn)在令人煩惱的單個實例問題再一次產(chǎn)生了。對于統(tǒng)計現(xiàn)象，新的定義工作得很好，但它怎樣運用于單個的場合？一個氣象學(xué)家宣布明天下雨的概率為2/3，“明天”關(guān)涉一個特殊日子而不是其他日子。像運用于人壽保險的某人的死亡一樣，是單個的、不重復(fù)的事件；但我們?nèi)匀恍枰x予它以一個概率，怎樣在頻率定義的基礎(chǔ)上來干這件事呢？

米西斯想這事是不可能的，因而對單個場合，概率陳述應(yīng)該排除。但賴辛巴赫認識到，無論在科學(xué)上還是在日常生活里，我們經(jīng)常做出有關(guān)單個事件的概率陳述，他認為，為這種陳述尋找合理的解釋將會是有用的。在天氣預(yù)報中，給出這樣一種解釋是容易的。氣象學(xué)家獲得過去天氣觀察的大量報告，也獲得有關(guān)今天天氣的資料，他發(fā)現(xiàn)今日的天氣屬于某一個類型，而在過去，當這類天氣出現(xiàn)之時，第二天下雨的相對頻率為2/3。按賴辛巴赫的說法，于是氣象學(xué)家做出了一個“假定”，這就是他假定建立在有限的然而卻是長系列的觀察基礎(chǔ)上的這個2/3的觀察頻率也是無限系列的極限，換言之，他估計這極限就在2/3的領(lǐng)域里。于是他做出這陳述：“明天下雨的概率為2/3。”

賴辛巴赫繼續(xù)說，氣象學(xué)家的這個陳述應(yīng)被認為是一省略的陳述，如果他將它擴大到完全的意義，他會說：“按照我們過去的觀察，像我們在今日所觀察到的那種天氣狀態(tài)將以2/3的頻率于第二天下雨。”這個縮寫的陳述看來是將概率運用于一個單個場合，不過這只是一種講法。這陳述真的歸結(jié)為在長系列中的相對頻率。下面的陳述同樣會是真的：“在骰子的下一次投擲中，得一點的概率為1/6?！薄跋乱粩S”如同“明天天氣”一樣，是一個單個的、唯一的事件。當我們將概率歸之于它時，我們真的省略地講到在一長系列的投擲中的相對頻率。

按照這種方法，賴辛巴赫為將概率賦予單個事件的陳述找到了一種解釋，他甚至嘗試為將概率賦予科學(xué)中的一般假說的陳述尋找一種解釋。這里我們將不予介紹，因為它是比較復(fù)雜的，并且因為（與他的單個概率預(yù)言的解釋相對照）它沒有得到普遍的承認。

在概率論的歷史中，另一個重要的發(fā)展乃是邏輯概率概念的興起，這是1920年后由著名英國經(jīng)濟學(xué)家約翰·梅納德·凱恩斯提出，此后并為許多名家精心研究過的。今天這種邏輯概率概念的支持者和頻率解釋的支持者之間存在著激烈的論戰(zhàn)。下一章我們將要討論這個論戰(zhàn)以及我所考慮的解決這個問題的方法。

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[1] 關(guān)于米西斯和賴辛巴赫的觀點，參見理查德·馮·米西斯《概率，統(tǒng)計與真理》（紐約：麥克米蘭公司，1939）一書和漢斯·賴辛巴赫《概率理論》（加利福尼亞州伯克利市：加利福尼亞大學(xué)版，1949）一書。