第1章　緒論

1.1　研究背景與意義

在經濟管理與工程設計中，很多問題的數學模型都可歸結為求一個優化問題的最優解。最優化問題已被廣泛應用到各個不同領域，其中包括經濟模型、金融、網絡與運輸、數字集成設計、圖像處理、化學工程設計與控制、分子生物學等，由于其應用廣泛，已成功發展許多理論和方法用于解決多極值優化問題。

隨著時代的進步與社會的發展，優化理論的研究領域也越來越廣泛。它所研究的問題是在眾多方案中尋求最優方案。關于優化的理論及方法，已經有很深的基礎研究。優化理論的研究到目前為止出現了很多分支（線性規劃、非線性規劃、整數規劃、動態規劃、幾何規劃、隨機規劃、網絡流等）。

隨著人類認識與改造世界的范圍與強度的不斷擴大，傳統的優化方法（牛頓法、共軛梯度法、模式搜索法、單純形法等^[1]）已無法處理一些復雜的實際問題。比如，運輸中的最優調度、生產流程的最優編排、建筑工程設計領域中壩體斷面的優化設計、水利優化設計等問題，這些可以歸結為一類變量維數高、非線性強且不易求解的優化問題^[2]。為此，對于高效優化算法的尋求成為科學工作者的研究目標之一。

隨著計算機領域的活躍及在其他學科中的應用不斷深入，也為復雜優化問題的求解提供了技術保障。因此，基于計算機技術，優化理論和方法迅速發展起來，形成一門新的學科，優化方法在解決實際問題的應用中比傳統的優化方法有了顯著的提高^[3]。

智能優化算法是指在工程實踐中，經常會接觸到一些比較“新穎”的算法或理論，比如模擬退火算法、遺傳算法、禁忌搜索算法、神經網絡算法、粒子群優化算法、和聲搜索算法等。這些算法的理論都有一些共同的特性，比如模擬自然過程。智能優化算法^[4]以其解決實際問題的有效性而快速發展起來，憑借著算法簡單、容易實現、易與其他學科相結合等優點，智能優化算法被越來越多的專家與學者認可并應用。粒子群優化算法以及和聲搜索算法較其他智能優化算法具有實現過程簡單、容易跳出局部最優解等優點，可以較方便地運用到數學中目標函數值的求得以及實際問題中。粒子群優化算法以及和聲搜索算法具有很強的適用性，且運用參數較少，因此其應用領域非常廣泛，智能優化算法是一種很有研究潛力的優化算法。

每年很多有關進化算法的國際會議的召開，為推動進化算法的發展提供了有利平臺，同時每年發表的有關進化算法的文章也是不可勝數^[5][6]。至今，新的進化算法不斷地涌現，每一種新的算法都經歷著最初的提出、不斷地合理改進以提高算法優化性能或以適應不同的優化問題的求解^[5][7]（如蟻群算法非常適合求解離散優化問題，但不適合求解連續優化問題，所以將蟻群算法用于連續優化就是一個有意義的研究課題），到對算法的收斂性證明，最終達到成熟。

粒子群優化（Particle Swarm Optimization，PSO）算法是由Kennedy和Eberhart于1995年提出的一種基于群搜索（swarm search）的演化計算（evolutionary computation）技術。Kennedy和Eberhart從諸如鳥類這樣的群居性動物的覓食行為中得到啟示，發現鳥類在覓食等搜尋活動中，通過群體成員之間分享關于食物位置的信息，可以大大地加快找到食物的速度，也即是通過合作可以加快發現目標的速度，通常群體搜尋所獲得的利益要大于群體成員之間爭奪資源而產生的損失^[8]。社會心理學家在研究人的行為時也發現，單個人在行動時，往往是根據自身曾有過的經驗以及周圍“杰出人物”的建議做出決策^[9][10]。粒子群優化算法由于算式簡潔，易于編程實現，無須梯度信息，只需利用目標取值信息，且具有群搜索性能與各粒子間的協同特性，自提出后就在很多領域得到廣泛的應用與迅速地完善發展^[11][12]。但是，粒子群優化算法的歷史尚短，在理論基礎上與應用推廣上都還存在一些亟待解決的問題^[5][13][14]，例如，PSO的收斂結果與所采用的參數取值情況有較大的關系，參數的選取情況仍然是PSO算法一個待解決的問題；PSO應用于高維復雜問題優化時，往往會遇到早熟收斂的問題；PSO在接近或進入最優點區域時的收斂速度也比較緩慢；等等。

和聲搜索（Harmony Search，HS）算法是2001年韓國學者Geem等人提出的一種新的基于音樂創作原理的啟發式全局搜索的智能優化算法^[15]。在創作音樂的過程中，樂師們通過經驗記憶調節每個樂器音節的高低，從而使創作的音樂達到一個美妙的和聲狀態。音樂創作以尋求美妙的和聲狀態就類似于優化過程中尋求最優解以獲得最優目標的過程。和聲搜索算法結構簡單、參數較少、魯棒性強、全局搜索能力強等特點，可以較好地應用在不同領域的優化問題中。目前，和聲搜索算法已經被廣泛應用在函數優化、工程優化等領域。但是，和聲搜索算法也存在一些不足，如解的精度不高、參數設置缺乏理論指導等，因此對和聲搜索算法的改進現已被廣泛研究。

因此，為了更好地應用于實際的優化問題中，對一些智能算法進行改進，提高算法的運行速度與最終結果的精確性，是很有必要的。

在泛函分析中，變分問題更是起著至關重要的作用，變分優化就是求函數的極值問題。變分優化在許多數學領域中都有涉及，并且它的重要性日益顯現，如控制論、決策論、數學規劃、生物數學與生物工程、金融數學與金融工程領域都有很多問題要考慮變分問題。眾所周知，定義在無窮維Banach空間上的各種類型的變分定理在非線性分析中有著至關重要的作用，因此，數學變分問題的理論研究引起了人們極大的關注。另外，將智能優化算法運用到變分問題的求解中，將是很有前景的一個課題。

當優化問題得到進一步解決后，將其理論用于解決現實生活的實際優化模型中，定會產生很好的經濟效益，給國家節省大量的資源，促進社會的進步與和諧發展。