2.2 車輛模態參數識別方法

2.2.1 SVM方法

1990年，Zhang Nong和HAYAMA Shinjin提出了一種基于狀態變量法的模態參數識別方法（State Variable Method，SVM），可準確識別結構系統的模態參數。一般來說，對于n自由度系統的自由振動微分方程可以用以下方程描述

式中，M、C和K分別為n×n維的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；X、和分別為n×1維的位移向量、速度向量和加速度向量。

引入狀態變量，則式（2-1）改寫為

其中A為2n×2n維的系統狀態矩陣

式中，O為n×n維的零向量；I為n×n維的單位矩陣。

將連續微分方程（2-2）離散化得到以下差分方程

其中

式中，X（k）、X（k+1）和X（k+2）分別表示t=kΔT、（k+1）ΔT和（k+2）ΔT時刻的位移響應；ΔT表示時間間隔。A₁為離散系統的傳遞矩陣

為了獲得離散系統的傳遞矩陣A₁，構造以下信號矩陣方程

其中Φ和Φ為信號矩陣，具體表達式如下

表示由噪聲引起的誤差矩陣。利用最小二乘方法求解式（2-8）可以得到傳遞矩陣A₁為

一旦獲得傳遞矩陣A₁，利用傳遞矩陣與狀態矩陣的關系可得

式中，z_i和P_i表示傳遞矩陣A₁的特征值和特征向量；s_i和Φ_i表示狀態矩陣A的特征值和特征向量。則系統的無阻尼固有頻率ω_ni和阻尼比ζ_i分別為

狀態方程（2-2）的解可用模態矩陣和特征值表示為

其中P為模態矩陣，s_i（i=1，2，…，2n）為狀態矩陣A的特征值

其中Y₀為初值。則式（2-14）可用分量形式表示為

則第j的振型P_j為

歸一化后的振型為

其中P_m=max（P_1j，P_2j，…，P_nj）。

2.2.2 SSI方法

一個n自由度系統受迫振動的微分方程和系統的輸出方程可以用以下方程表示

其中X、和X分別為系統的位移向量、速度向量和加速度向量；M、C和K∈R^n×n分別為系統的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；B∈R^n×s為系統外部激勵作用的位置矩陣；u（t）∈R^s×1為s個輸入系統的外部激勵；Z（t）∈R^l×1為l個輸出系統的觀測量；C_a、C_v和C_d∈R^l×n分別為系統的位移向量、速度向量和加速度向量的輸出矩陣。引入狀態變量，則振動微分方程（2-19）和輸出方程（2-20）變為

其中

將式（2-21）和式（2-22）離散化，得到以下離散的狀態空間方程組

其中

在實際測試過程中存在過程噪聲和測量噪聲的影響。過程噪聲主要由模型誤差和外部輸入的干擾引起，而測量噪聲主要由傳感器精度不夠和測量環境對傳感器的影響造成。如果在確定型離散狀態空間模型中考慮噪聲的影響，可以得到確定-隨機的混合型離散狀態空間模型

其中w（k）∈R^n×1表示過程噪聲向量；υ（k）∈R^l×1表示測量噪聲向量。w（k）和υ（k）為互不相關的零均值平穩白噪聲系列，且

其中E（·）表示數學期望；δ_ij為Kronecker函數，有

對于橋梁、高層建筑等大型結構的模態參數識別，一般直接利用環境激勵引起的結構響應信號進行模態參數識別。在環境激勵作用下，系統的輸入信號u（t）難以通過測量得到，在確定-隨機混合型的離散狀態空間模型中可以將外部激勵合并到w（k）和υ（k）中考慮，則得到以下的隨機型離散狀態空間模型

以隨機型離散狀態空間模型為例介紹隨機子空間法的基本原理。利用響應信號定義Hankel矩陣為

其中H∈R^2il×j矩陣，一般來說j是一個很大的自然數。將Hankel矩陣分塊表示為

式中，Z_p對應Hankel矩陣中前面i個行塊元素組成的分塊矩陣，表示Hankel矩陣“過去”的行空間；Z_f對應Hankel矩陣中后面i個行塊元素組成的分塊矩陣，表示Hankel矩陣“將來”的行空間。另外Hankel矩陣還可以按以下的不同方式進行分塊。

式中，表示“過去”行空間Z_p在Hankel矩陣中多取一行元素；表示“將來”行空間Z_f在Hankel矩陣中少取一行元素。在系統的參數辨識過程中，需將“將來”行空間的信息投影到“過去”行空間的信息，得到的投影矩陣既保留了響應的“過去”信息，還能預測響應的“將來”信息。投影矩陣O_i和O_i-1分別定義為

式中，符號“?”表示矩陣的廣義逆。在計算投影矩陣過程中，由于Hankel矩陣的維數大，若直接利用Hankel矩陣的數據計算投影矩陣其計算量非常大，因此通常利用QR分解方法減少其計算量。將Hankel矩陣用QR分解表示為

式中，Q矩陣滿足Q^TQ=I，R為下三角矩陣。則

同理

式中，矩陣的下標[i:j,:]表示矩陣的第i個行塊到第j個行塊的元素組成的分塊矩陣；矩陣的下標[i:j,m:n]表示矩陣的第i個行塊到第j個行塊，第m個列塊到第n個列塊的元素組成的分塊矩陣。利用奇異值分解將投影矩陣O_i表示為

其中UU^T=I，VV^T=I，分別定義可觀測矩陣Γ_i和狀態估計向量為

則投影矩陣O_i可以用可觀矩陣Γ_i和狀態估計向量表示為

同理

式中，Γ_i-1表示Γ_i去掉最后一個行塊元素得到的可觀測矩陣。而狀態估計向量和可由式（2-45）和式（2-46）求解獲得，即

由狀態空間方程可得

式中，Z_i|i為Hankel矩陣中由第i+1個行塊的元素組成的分塊矩陣；ρ_w和ρ_v為與狀態估計向量無關的卡爾曼濾波殘量。利用最小二乘法可以計算系統的傳遞矩陣A₁和輸出矩陣C₁為

將傳遞矩陣A₁用特征值分解表示為

式中，Λ和Ψ分別為傳遞矩陣A₁的特征值矩陣和特征向量矩陣，則系統的無阻尼固有頻率ω_ni和阻尼比ζ_i分別為

系統的振型為

如何定階是SSI方法的關鍵問題。在實際應用中，由于噪聲的干擾，造成SVD分解投影矩陣O_i得到的對角矩陣S的元素不存在明顯的跳躍，難以通過觀察對角矩陣S的跳躍點對模型進行定階。穩定圖是一個比較有效的模型定階方法。由于系統的特征值是共軛成對出現，可假設模型的階數n依次在最小階數n_min和最大階數n_max之間取偶數，可用分別計算n階模型的可觀矩陣，利用式（2-47）和式（2-48）計算狀態估計量和，再由式（2-50）估計傳遞矩陣A₁和輸出矩陣C，由傳遞矩陣A₁可計算n階模型的固有頻率、阻尼比和振型Ψⁿ。利用以下關系判斷模態參數是否穩定

其中、和Ψ^n-2為（n-2）階模型的固有頻率、阻尼比和振型；ε₁、ε₂和ε₃分別表示頻率穩定閾值、阻尼比穩定閾值和振型穩定閾值。最后以頻率為橫坐標，階次為縱坐標，將所有穩定的頻率繪制在穩定圖上。