3.穩(wěn)定性的山谷（Valley of Stability）

一條穩(wěn)定性山谷穿越這些原子核同位素。在圖4中，它是那條代表穩(wěn)定原子核的不規(guī)則黑色曲線。在兩側，原子核是不穩(wěn)定的。靠近山谷中心的區(qū)域壽命在很多年以上，而遠離中心的壽命則只有幾毫秒。離中心足夠遠的地方是原子核的邊緣線，在那里，一個額外的質子或中子沒有任何束縛，且會在10^-23秒的數(shù)量級內脫離原子核。

對于P大概不超過20的相對較小的原子核，其穩(wěn)定性山谷的中心位于N=P這條線上。在幾何模型里，這條線對應于符號差τ=0的曲面。對于更大的P，山谷中的原子核有中子數(shù)溢出N_exc（即中子數(shù)與質子數(shù)之差）。N_exc隨著P的增大而慢慢增大。P靠近20時，N_exc很小；當P=92（對應于準穩(wěn)定的鈾同位素）時，N_exc大于50；而當P靠近120（人工制造的最重的原子核）時，N_exc會再稍微大點。

在標準核模型里，解釋山谷存在最主要的理論是泡利原理（Pauli principle）。質子和中子都有一系列十分相似的能量遞增的單粒子態(tài)，并且每一個態(tài)上只允許有一個粒子。給定一個重子數(shù)，最低能態(tài)擁有等量的質子和中子，且它們填滿最低的能態(tài)。如果一個質子被一個中子替代，被替換掉的質子態(tài)比加進來的中子態(tài)能量更低，因此，替換后系統(tǒng)的總能量增加。一個重要的額外效應是配對能量（pairing energy），它傾向于讓質子和中子各自配成對。因此，大多數(shù)帶有奇數(shù)個質子和奇數(shù)個中子的原子核是不穩(wěn)定的。

對于較大的P值，單質子的能量趨向于高于單中子的能量。這是因為，除了對質子和中子影響差不多的相互吸引的強核力，質子之間還有相互排斥的庫侖（Coulomb）靜電場力。當原子核有很大的P時，這一效應變得十分重要，它偏好于中子富裕的原子核。這也解釋了P值大于83的原子核的不穩(wěn)定性。這些原子核或者通過放射出一個α粒子，或者通過裂變成大一點的碎片，而分裂成更小的原子核。然而，其中仍有某些原子核的壽命可以達到幾十億年，這也是P=92的鈾可以在自然界相對大量地被發(fā)現(xiàn)的原因。

注意，如果N=P，那么電荷數(shù)是重子數(shù)的一半，根據(jù)公式（1.1），同位旋的第三個分量為零。通過研究核的基態(tài)和激發(fā)態(tài)，我們可以確定完整的同位旋，還可以發(fā)現(xiàn)它對于穩(wěn)定的原子核取最小值。因此N=P原子核的同位旋為零。當重子數(shù)是奇數(shù)時，最穩(wěn)定原子核的N比P大1（如果P不是很大），它的同位旋是。在斯格姆模型里，同位旋來源于內部自由度的量子化，而這些內部自由度對應于作用在介子場上的SO（3）對稱性。存在一個正比于同位旋平方算子I²的能量貢獻，正如正比于J²的自旋能量。在沒有庫侖效應時，能量在同位旋為0或時取得最小值。庫侖效應會和同位旋競爭，從而導致總能量的最小值偏向于中子富裕的原子核。

原子核的能量和壽命存在一般的趨勢，但還有更多細節(jié)可以討論。每個同位素都有依賴于質子數(shù)和中子數(shù)的特征，這在激發(fā)態(tài)的能譜以及基態(tài)和激發(fā)態(tài)的自旋里表現(xiàn)得很清楚。比較有趣的是，當質子數(shù)或中子數(shù)取某些幻數(shù)時，原子核會有額外的穩(wěn)定性。其中較小的幻數(shù)有2、8、20、28、50。更令人驚訝的是，質子和中子這些奇特的性質是相互獨立的。這看起來好像和同位旋的重要性矛盾，因為質子和中子在同位旋上明顯是相互影響的。

更加穩(wěn)定的是那些具有雙幻數(shù)的原子核，比如⁴He、¹⁶O、⁴⁰Ca、⁴⁸Ca。⁴⁰Ca是最大的滿足N=P的穩(wěn)定原子核。⁴⁸Ca也是穩(wěn)定的，且在自然界少量地存在，但對于相對它較小的原子核來說，它的中子數(shù)格外富裕。

對我們來說，重要的問題是我們提出的基于代數(shù)曲面的幾何模型在多大程度上與這些原子核現(xiàn)象相符，此外我們也不應該忘記中性原子里的電子。我們看到，兩者之間存在廣泛的相似性：首先，我們上面討論的曲面有一個“地理”分布，即上文中的幾何不等式限制了中子數(shù)的取值范圍。代數(shù)幾何學家也從事“植物學”，即仔細構造和研究具有特定拓撲不變量的曲面。這其中的規(guī)律是很復雜的，一些曲面很容易構造，一些則很困難，而且它們的內部結構區(qū)別很大。這與原子核的復雜性是相似的，同樣相似的還有電子軌道和原子殼結構的復雜性（這個目前了解較多一些）。

十分顯著的是N=P的原子核穩(wěn)定線對應于符號差τ=0這一簡單的幾何條件。我們還沒有嘗試在全體曲面構成的空間上定義能量函數(shù)，但一個簡單的做法顯然是引入一個正比于τ²的函數(shù)作為主導項，這樣函數(shù)的極小值就會取在我們想要的位置。數(shù)學家已經發(fā)現(xiàn)，相比于處在質子數(shù)富裕（N <P）一側的曲面，處在N=P線上或者中子數(shù)富裕一側（N>P）的曲面構造起來要容易得多。在中子數(shù)富裕一側總是存在單連通的極小曲面，但在質子數(shù)富裕的一側則不是這樣。因此曲面的幾何可以相當清楚地區(qū)分質子和中子。這對于物理解釋是很吸引人的，因為它可以看作是對質子和中子非對稱的預言。在標準核物理里面，我們認為在一個理想的沒有電磁效應的世界里，質子和中子是嚴格對稱的，但是在現(xiàn)實中，它們并不相同。一部分原因是庫侖能量，但更重要的，是因為構成它們的上（u）、下（d）夸克質量不相等，從而使得質子（uud）比中子（udd）輕一些，盡管質子帶有電荷。

這個幾何模型需要這樣一個能量貢獻函數(shù)，對于較大的原子核或原子，它更偏向于中子而不是質子。一個可能性已經由勒布朗（LeBrun）探索過[25，26]。它被定義為，在所有滿足給定拓撲的復曲面中，數(shù)量曲率（scalarcurvature）的L²范數(shù)的下確界。對于b₁為偶數(shù)的曲面，包括所有的單連通的曲面，這個下確界僅僅是乘以一個常數(shù)。對于的曲面，它們的數(shù)量曲率可以為零；比如K3曲面，它是滿足中子富裕的一個極端：P=2，N=18。把τ²和數(shù)量曲率的L²范數(shù)的正數(shù)倍組合起來構成的能量函數(shù)可能會更有意思。