4.相交形式

一個復曲面X自動地是定向的，因此，任何一對2-閉鏈都有一個確定的相交數[27]。給定第二同調群H²X 的一組基αⁱ，它們兩兩的相交數構成的矩陣Ω^ij叫作X的相交形式。更確切地，Ω^ij≡Ω（αⁱ，α^j）是αⁱ和α^j的相交數，而自相交數Ωⁱⁱ是αⁱ和它的一個光滑典范（generic）形變的相交數。Ω是一個元素為整數的對稱矩陣。根據龐加萊對偶，它還是幺模（unimodular）的（行列式為±1）。在實數域上，這樣的矩陣可以對角化，并且對角線上的元素是+1或-1。+1和-1的數量分別為和。對于單連通的曲面，我們前面已經用P和N在方程（2.12）給出了一種解釋。

然而，對于閉鏈來說，在實數域上對角化是行不通的，因為這樣在新的基底下可能會得到系數為分數的閉鏈。我們只能用一個元素為整數的可逆矩陣來變換基底，其效果是獲得Ω關于這一矩陣的共軛^[5]。相交形式在整數上劃分的（共軛）等價類比在實數上更精細。

對于幾乎所有的代數曲面，Ω都是不定的（indefinite^[6]）。除了滿足b¹=0和B=θ=1的曲面外，和都是正的。因此，相交形式正定的曲面只有CP²，可能還要加上我們還沒找到物理解釋的偽射影平面。對于CP²，它滿足P=1，N=0，其相交形式是1×1的單位矩陣Ω=（1）。非退化的不定形式在整數上有一個相當簡單的分類，主要的區別在于形式的奇偶性。如果至少一個矩陣元素Ωⁱⁱ是奇數，或者換一種不依賴于基底的說法，如果對某個閉鏈α，Ω（α，α）是奇數，那么這個形式就稱為奇的。奇的形式總是可以對角化，其對角線上的元素是+1或-1。

偶形式更有意思一點。在這種情況下，對任何閉鏈α，Ω（α，α）都是偶數。最簡單的例子是：

這是二次曲面Q的相交形式。它的兩個CP¹因子作為閉鏈α¹和α²構成一組基。如果α=xα¹+yα²，那么Ω（α，α）=2xy，因此它總是偶數。這個相交形式在實數域上可以對角化，并且特征值是+1和-1，因此它的符號差為零。但是這一對角化涉及含分數元素的矩陣，所以在整數上是無法完成的。方程（4.1）里的相交形式被稱作“雙曲平面”。偶形式的另一個例子是矩陣-E₈。它是李代數E₈的嘉當（Cartan）矩陣取負值（對角線元素-2）。這個矩陣是偶的且是幺模的。-E₈本身是負定的，但當它和雙曲平面組合在一起后，得到的是一個我們所需要的不定矩陣。代數曲面最一般的不定偶形式可以寫成下面的塊對角形式：

這里，l>0，m ≥0。l一定是奇數，并且貝蒂數，。符號差是τ=-8m。

對于大多數的曲面，它們的符號差不是8的倍數，因此它們的相交形式是奇的。如果符號差是8的倍數，對應的相交形式可能是偶的。對于給定的貝蒂數，可能存在兩個不同的極小曲面（或者兩個族的曲面）——一個帶有奇的相交形式，另一個帶有偶的。我們不知道這是否總會發生。

我們可以用物理量P和N重新表示這些條件。如果N_exc=N-P既不是0也不是8的正整數倍，那么相交形式一定是奇的。如果N=P，那么相交形式可以是雙曲平面類型的，l=2P-1，或者仍然是奇的。注意，l一定是奇數。因此可能對應偶相交形式的同位素包括所有那些滿足N=P的同位素，這樣的同位素的數量是很大的。除了穩定的N=P的同位素（最大發生在⁴⁰Ca，P=20），還存在很多準穩定的，例如⁵²Fe，P=26。已知最重的N=P的同位素是¹⁰⁰Sn或者可能是¹⁰⁸Xe。它們分別擁有P= 50和P=54。我們的幾何模型表明這些同位素的額外穩定性正是由偶相交形式的非平凡結構導致的。

如果N_exc=8m，那么它的相交形式可以是方程（4.2）中的類型，l=2P-1，但它也可能是奇的。這樣的例子有恩里克斯曲面（l=1，m=1）和K3曲面（l=3，m=2）。潛在對應于這些曲面的同位素是¹⁰H和²⁰He。這些同位素的中子過于多以至于到現在都還沒有被觀測到；但也存在很多更重的原子核（及對應的原子），它們的中子溢出N_exc是8的倍數。

有證據表明中子溢出N_exc是8的倍數的原子核擁有額外的穩定性。最顯然的例子是⁴⁸Ca，但這通常是由它的殼模型解釋的，因為P=20和N= 28都是幻數。一個更有意思但理解更少的例子是已知最重的氧同位素²⁴O，它帶有8個質子和16個中子。這和其他幾個例子并不明顯地符合殼模型。最穩定的鐵同位素是N_exc=4的⁵⁶Fe，但令人震驚的是，N_exc=8的⁶⁰Fe擁有超過一百萬年的壽命。這里P=26，N=34。N_exc=8的⁶⁴Ni是鎳的一種穩定的同位素。此外還有一些驚人的例子，即中子溢出為16或24的穩定或相對穩定的同位素。其中有一些跟穩定性山谷的一般趨勢比起來有些另類。一個例子是N_exc=24的¹²⁴Sn，錫最重的穩定同位素。至于中子溢出為8的倍數的同位素的額外穩定性是否具有統計意義，還需要進一步的研究。

沒有證據表明中子虧缺為8（N_exc=-8）時存在穩定的效應。事實上，幾乎沒有已知原子核具有如此之少的中子數。僅有的一個備選是⁴⁸Ni，它的P=28和N=20都是幻數。