2.代數(shù)曲面的拓?fù)浜臀锢?/h2>

復(fù)曲面[18]提供了豐富的四維緊致流形。它們主要由兩個整數(shù)不變量——和c₂來分類。對一個曲面X，c₁和c₂是它的復(fù)切叢（tangentbun-dle）的陳類（Chernclass）。c₂是整數(shù)，因為X的實維數(shù)是4； c₁（更確切地說，c₁的對偶）是第二同調(diào)群H₂（X）里的一個二維閉鏈。是c₁和它自己的相交數(shù)，因此也是整數(shù)。

一個曲面X還有一些其他的拓?fù)洳蛔兞浚鼈兇蠖嗍桥c和c₂相關(guān)的。這其中最基本的一個是霍奇數(shù)（Hodge number）。它們是全純形式的杜比爾特（Dolbeault）上同調(diào)群的維數(shù)。在復(fù)二維情形中，霍奇數(shù)記為h^i，j，0≤i，j≤2。它們排列成一個霍奇菱形（Hodge diamond），見圖1。作為龐加萊對偶的一個推廣，塞爾對偶（Serre duality）要求這個菱形在180°旋轉(zhuǎn)下不變。對于一個連通的曲面，h^0，0=h^2，2=1。

圖1 一般復(fù)曲面的霍奇菱形（左）及代數(shù)曲面情況下相應(yīng)的用貝蒂數(shù)表示的元素（右）。

復(fù)代數(shù)曲面是復(fù)曲面的一個基本子類[19，20]。一個復(fù)代數(shù)曲面總是可以嵌入到復(fù)射影空間CPⁿ，因此，它從CPⁿ上的富比尼-施圖迪（Fu-bini-Study）度量繼承得到一個凱勒（K?hler）度量。對于任何一個凱勒流形，霍奇數(shù)有一個額外的對稱性，h^i，j=h^j，i。對于曲面，這只是增加了一個新的關(guān)系，h^0，1=h^1，0。并非所有的復(fù)曲面都是代數(shù)的：其中一些仍然是凱勒流形并滿足這個額外的對稱性，但也有一些不是凱勒流形且不滿足這個對稱性。

對我們來說特別有意思的是全純歐拉數(shù)（holomorphic Euler number）χ和另外一個量θ。χ是霍奇菱形右側(cè)頂部（等價的，左側(cè)底部）對角線上元素的交錯和，而θ則是中間對角線上元素的交錯和。更確切地：

（注意對θ正負(fù)號的選擇。）歐拉數(shù)e和符號差（signature）τ可以由這兩個量表示：

上面的第一個公式可以轉(zhuǎn)換成人們更熟悉的貝蒂數(shù)的交錯和e=b₀-b₁+b₂-b₃+b₄，因為每個貝蒂數(shù)是霍奇菱形中對應(yīng)的行中所有元素之和。第二公式來自不那么平凡的霍奇指標(biāo)定理（Hodge index theorem）。τ的一個更深刻的定義依賴于把第二個貝蒂數(shù)分解為正負(fù)兩部分，。在實數(shù)域上，第二同調(diào)群H₂（X）上的相交形式（intersection form）是非退化的，并且可以對角化。而是最大正定子空間的維數(shù)；是最大負(fù)定子空間的維數(shù)。符號差。

陳數(shù)通過下面的公式跟χ和θ聯(lián)系起來。

它們的和給出諾特（Noether）公式。這里χ總是整數(shù)。

對于一個代數(shù)曲面，它只有三個獨立的霍奇數(shù)，并且它們唯一地由貝蒂數(shù)b₁，，所決定。霍奇菱形一定形如圖1右側(cè)所示，它給出正確的b₁，e，τ。注意，b₁一定是偶數(shù)，且一定是奇數(shù)。χ和θ由下式給出：

如果X是單連通的（很多例子都如此），那么b₁=0。單連通流形CP²和K3曲面所對應(yīng)的霍奇菱形如圖2所示。對于射影平面，χ=1，θ=0，因此e=3，τ=1。對于K3曲面，χ=2，θ=20，因此e=24，τ=-16。

圖2 射影平面CP²的霍奇菱形（左）及K3曲面的霍奇菱形（右）。

我們的提議是用復(fù)代數(shù)曲面來建模中性原子，將χ解釋為質(zhì)子數(shù)P，并把θ詮釋成重子數(shù)B。因此中子數(shù)是N=θ-χ。這個提議適用于CP²：它有P=1，N=0。我們稍后可以看到，對于每一個正整數(shù)P，都存在有限多個允許的N值。

關(guān)于e 和τ，我們有：

注意，對于一般的實四維流形，這些P和N的公式可能取值為分?jǐn)?shù)，因此需要做一些修改。很容易驗證下面的關(guān)于P和N的式子。

符號差τ和質(zhì)子數(shù)與中子數(shù)的差之間的簡單關(guān)系令人震驚。如果我們寫成N=P+N_exc，這里，N_exc表示質(zhì)子比中子多出來的數(shù)目（通常是0或正數(shù)，但也可以是負(fù)的），那么，τ=-N_exc。

如果一個代數(shù)曲面X是單連通的，那么b₁=0，并且，

這些公式在我們更細(xì)致地考慮相交形式時會很有用。

我們將要用滿足和c₂非負(fù)的曲面來作為原子的模型。這里面很多都是一般型極小曲面。關(guān)于代數(shù)曲面的幾何最重要的結(jié)果也許是一般型極小曲面的陳數(shù)所需要滿足的不等式。基本的不等式是和c₂都是正數(shù)。此外還有波哥莫洛夫-宮岡-丘（Bogomolov-Miyaoka-Yau，BMY）不等式c₂，諾特不等式。這些不等式可以轉(zhuǎn)換成關(guān)于P和N的不等式：

滿足上面不等式的所有整數(shù)值P和N都是允許的。所允許的區(qū)域展示如圖3，且對應(yīng)于[18]中229頁允許的區(qū)域，或者參考文獻(xiàn)[21]。

還有滿足且c₂非負(fù)的橢圓曲面，包括恩里克斯（Enriques）曲面和K3曲面。我們把這些曲面也包括在我們模型里。這里，P≥0，N= 9P，因此c₂=12P，τ=-8P。CP²也是允許的，因為它的和c₂都是正的，盡管它是有理（rational）的而不是一般型曲面。除了CP²，還有其他的曲面在BMY線（）上[22]。它們滿足P>1，N=0。

物理學(xué)家通常用質(zhì)子數(shù)和重子數(shù)來表示一個同位素。這里，質(zhì)子數(shù)P由化學(xué)元素名決定，重子數(shù)是P+N。比如⁵⁶Fe表示鐵元素的一個同位素，這里P=26，N=30。目前已知的同位素如圖4所示。

所允許的代數(shù)曲面區(qū)域和已知的同位素區(qū)域的形狀定性上是一致的，這是我們提議的最主要依據(jù)。比如，對于P=1，幾何不等式允許的N值范圍是從0到9，這對應(yīng)于氫同位素的范圍從¹H到¹⁰H。在物理里面，廣為人知的氫同位素有氕（protium）、氘（deuterium）、氚（tritium），即¹H、²H、³H，但核物理學(xué)家也曾發(fā)現(xiàn)具有準(zhǔn)穩(wěn)定性（quasi-stable）（共振）的同位素，一直到⁷H（N=6）。

圖3 由代數(shù)曲面建模的原子的質(zhì)子數(shù)P和中子數(shù)N。正如在上文中討論的那樣，所允許的區(qū)域被陳數(shù)的不等式所限制。請注意在點P=3，N=27處邊界上的斜率從9變到了7。直線N=P對應(yīng)于符號差為零的曲面，即τ=0。

對兩種最簡單的同位素，即分別帶有一個電子的氕和氘，它們對應(yīng)的極小模型分別是CP²和復(fù)二次曲面Q。這里Q=CP¹×CP¹，對應(yīng)的e=4，τ=0。下面我們會進(jìn)一步討論它的相交形式。

對于P=2，N在幾何上所允許的范圍是0到18。相對應(yīng)的代數(shù)曲面應(yīng)該建模從²He到²⁰He的氦同位素。在³He和¹⁰He之間的同位素已經(jīng)在物理上識別出，這些同位素都可以形成帶兩個電子的中性原子。不帶中子的氦同位素²He在一些核元素表中沒有被列出來，但是確實存在一個非束縛雙質(zhì)子共振（diproton resonance），并且雙質(zhì)子有時會在重原子核衰變時釋放出來。最常見的穩(wěn)定的氦同位素是帶有兩個質(zhì)子兩個中子的⁴He，但是³He也是穩(wěn)定的。⁴He原子核也稱作α粒子，它們在核反應(yīng)及核結(jié)構(gòu)里起到至關(guān)重要的角色。因此，一個合適的α粒子模型是非常重要的。理想情況下，它應(yīng)該和立方對稱的B=4斯格姆子一致，而后者是很多更大的斯格姆子的組成分塊[9，11，23，24]。