不可交換的矩陣乘法

在中學教科書中，已經引進了矩陣的概念。所謂矩陣，就是將n×m個數排成n行m列的矩形列陣，通常用一對圓括號將其括起來，也常常用一個大寫字母表示矩陣，如

就是一個2行3列的2×3矩陣。

矩陣主要用來處理一些有關聯的數據，比如在處理財務報表、實驗數據、統計數據時經常會遇到。比如，表1顯示的是某連鎖商業公司各門店的銷量統計表。

表1 （單位：件）

表1就可以表示成一個2×3矩陣。

19世紀中葉，英國數學家凱利（Arthur Cayley,1821—1895）系統建立了矩陣理論，規定了矩陣的算術運算。矩陣的加法比較簡單，兩個矩陣有相同的行數和列數，則它們的和就是對應位置的元素相加所得到的矩陣，例如，兩個2×2矩陣相加為

矩陣乘法的規定有些奇怪，兩個矩陣相乘，要求前一個矩陣的列數和后一個矩陣的行數相等，而其積在第i行、第j列的元素等于第一個矩陣的第i行和第二個矩陣第j 列對應位置元素相乘再求和所得。例如，兩個2×2矩陣的乘積為

和代數中用ab表示乘法a×b一樣，矩陣乘法中的符號×通常省略不用。

表2 （單位：元）

一些初學矩陣的人不太理解矩陣乘法：為什么矩陣乘法規定得如此古怪，而不是像加法一樣將對應位置的元素相乘呢？其實，這樣定義的矩陣乘法更符合實際需要。以上面的商業公司為例，假設某門店銷售商品A計80件，每件商品單價為20元，則計算該門店銷售商品A的營業額要用乘法，為80×20＝1 600（元）。現在考慮該公司多個門店以及銷售多個商品的情況。除前面的銷量表外，如果還有如下的商品單價和單位利潤表（見表2），則各門店的營業額和營業利潤如下：門店1，營業額＝80×20+25×100+120×15＝5 900（元），利潤＝80×5+25×20+120×4＝1 380（元）；門店2，營業額＝45× 20+30×100+85×15＝5 175（元），利潤＝45×5+30×20+85× 4＝1 165（元），則有如表3所示的營業額和利潤表格。

表3 （單位：元）

表3用矩陣表示，即為

矩陣乘法這樣定義的一個更重要的因素是來自數學中的線性變換。假設有如下變量之間的關系：

將②式代入①式，有

這些變換可以用矩陣來表示，變換①, ②, ③分別可表示為

以及。

，和分別稱為變換①, ②, ③的系數矩陣，可見③式的系數矩陣就是①, ②式系數矩陣的乘法，即

可見，這樣規定矩陣乘法既是實際計算的需要，也是數學理論的需要，是十分自然的。

矩陣乘法還有一個比較奇怪的性質。眾所周知，兩個數a與b相乘，總有a×b＝b×a，這就是乘法交換率。但對于矩陣乘法，若以A, B表示兩個矩陣，通常A×B與B×A并不相等。以上面的系數矩陣為例：

這就是說，矩陣乘法與相乘的兩個矩陣的前后次序有關。

矩陣乘法的不可交換性也說明變換和其次序有關。旋轉是一種變換，可以用矩陣來表示，比如在空間坐標系Oxyz中，繞x軸旋轉90°和繞z軸旋轉90°的系數矩陣分別為

顯然，先繞x軸旋轉90°、再繞z軸旋轉90°與先繞z軸旋轉90°、再繞x軸旋轉90°的結果是不同的，而前者的系數矩陣為

后者的系數矩陣為

兩者也不相同。

矩陣乘法的不可交換性這一點與數的乘法完全不同，乘法交換律是如此地理所當然，以至于遇到不可交換的矩陣乘法時讓人們心存疑惑。然而，不可交換的矩陣乘法在量子力學的創建中發揮了重要作用。

圖1

1925年前后，基于經典力學的舊量子論已經走到末路，客觀上需要新的理論來取代。1925年夏，時年24歲的 海 森 堡（Werner Heisenberg, 1901—1976，見圖1）為躲避花粉過敏來到赫爾格蘭（Helgoland）島，在島上，海森堡以其天才的創造力構建了一套全新的量子理論。然而，他的新理論卻必須借助一種奇怪的乘法，這種乘法的結果取決于相乘的次序，即A×B-B×A未必是0，這一點困擾著海森堡。海森堡從赫爾格蘭島回到哥廷根，將其論文交給他的老師玻恩（Max Born,1882—1970）。終于有一天，玻恩想起曾經學過的矩陣乘法，原來，海森堡用到的乘法正是矩陣乘法。盡管矩陣理論早在半個多世紀前已經建立，矩陣乘法對數學家來說已經毫不奇怪，但對于大多數物理學家來說還是個新鮮事。后來，玻恩與其學生約旦（E.P.Jordan）和海森堡一起，用矩陣論完善了海森堡的理論，后人稱其為矩陣力學，這正是量子力學的重要組成部分。海森堡因其在創建量子力學理論中的重要貢獻，于1932年獲得諾貝爾物理學獎。

復旦大學數學科學學院 邱維元