前言

數學之外是指數學從哪里來？數學又要到哪里去？

數學之內就是要回答數學是什么？是指數學學科內部各學科方向之間的關聯與側重，以及數學學科內部的關鍵問題。

這是數學的根本問題，當然這本書也不可能回答全部的這類問題，有的可能永遠都找不到答案，因為問題以及答案本身都是與時俱進的。但是問問題比找答案更重要，找答案的過程比答案本身更重要。對問題的探索過程實際上就是人類對世界認識的發展過程，就是人類思維的發展過程。對于數學，與其他學科不同的是，它還要解決對問題探索的規范問題，也就是對找問題答案過程的規范。一句話，就是理性的、科學的、嚴密的、系統的邏輯規范。

學數學已經超過50年了，研究數學也已經超過30年。經常有人問我：“什么是數學？”“什么是數學的基本問題？”這也正是我一直在問我自己的問題。很多人認為，希爾伯特23個問題，千禧年問題，誰誰的猜想，是數學的根本問題。我的回答是：不錯！但這些只是數學現時的內部問題，而有些內部問題可以說在數學內部已經是不可能解決的了。

我認為數學與哲學、宗教及其他科學類別一樣，如同本文的開篇，最基本的問題都是要回答：世界是什么？我們從哪里來？要到哪里去？事實上，這也是任何學科的根本問題。不過有些學科更加具體，如物理研究力是什么？磁場是什么？化學研究碳是什么？水是什么？它們會變成什么？是鉆石還是煤炭？是不可燃燒的液體，還是可以燃燒的兩種氣體？愛因斯坦從小到大的興趣就是想知道：光是什么？光速是什么？光是從哪兒來的？莫奈放棄了銀行家的工作，就是想問：繪畫究竟是要干什么？這些基本問題永遠不會脫離：這種東西是什么？它們從哪里來？又會到哪里去？任何科學問題，任何社會問題，甚至任何問題，都可以簡單表述為：這是什么？它們怎么會是這樣的？又會變成什么樣的？這好像也是任何一個小孩剛懂事時經常問的問題。可見，每個人都是帶著佛心而來，而是被家長的“哪有那么多的為什么”、老師的“這么簡單的問題，你都不懂啊”給埋沒了。所以保持童真，保持好奇心，保持喜歡問為什么，是孩提時期將來想要成為數學家，將來想要成為科學家，甚至于將來想要干成任何大事業者的基本素養，而且是本質的素養。事實上，想要成為大數學家、大科學家、大學問家，往往取決于你能不受外界的干擾而保持這份童真的時間。我認識一些老科學家，發現他們對任何新事物都有極強的好奇心、極強的求知欲、極其風趣幽默。從另一種角度看，他們到老了還一直是貪玩的老小孩。不過他們不是被玩具所左右，而是玩出與別人不一樣的名堂來。

大家都在批評應試教育，大家都看到應試教育扼殺了創新能力。原因很簡單，就是應試教育告訴你，你只要學，你只要記，你只要記住解題的步驟，你不用去問，這題是哪兒來的？解了這題有什么用？這使得人變成知識的存儲器，但人腦的存儲量還比不過一個U盤。我們都知道，如果高考允許上網，那么一個學會了網上查詢的操作員，肯定也可以得到高分。這樣，就永遠也培養不出一個思想家，數學也就退化成為算術。

既然數學與其他學科一樣，要解決一樣的問題，那么數學有什么特別之處呢？數學不但要超越具體對象的這種基本問題，而且更加著重于研究過程的邏輯性、系統性與演繹性；不是只憑印象，不是只憑臆測，不是只憑經驗。數學需要將經驗提升為普遍的理論，并且要指出這種理論結果的適用范圍。更加重要的是，通過數學之內的矛盾可以演繹到數學之外。數學的研究論文一般都是從假設開始的，如果怎樣，那么就會怎樣。即使是猜測也要告訴別人，這個猜測的可信度是多少。

許多人認為搞文科的一般數學差些，而搞數學的一般文科差些。我認為這是非常不全面的。我認識許多大數學家，他們都是多才多能的。許多孩子都讀過《愛麗絲漫游奇境記》，而其著者就是數學家。蘇步青先生愛寫詩，王元先生愛書法。一些大數學家、一些數學教育大家往往同時強調理科教育要強化文科，是搞通識教育的積極倡導者。復旦大學的李大潛院士就說過：“一個好的數學家都是帶有幾分詩人氣質的。”什么叫詩人氣質？詩人氣質就是不受羈絆，就是自由思想，就是要把自己的靈魂放飛到天外去看世界。是的，數學有許多規則，解數學題有許多套路，但是如果你被規則與套路束縛，那么就不可能做出超越前人的研究工作。如果你是套路的高手，那么你可能成為能工巧匠，可以成為一個好會計，甚至是好的金融家，但不可能成為數學思想家。李大潛院士在《光明日報》倡導“中學數學教育應注重人文內涵”，認為數學教育的根本是要讓學生明白：（1）數學知識的來龍去脈；（2）數學的精神實質與思想方法；（3）數學的人文內涵。王元院士也認為“所謂創新，一定是前人沒有想到的，沒有做到的”，他曾在《光明日報》發表題為“靠老師手把手地教，一定教不出創新人才”的文章，建議讀者可以去讀一下，會有很大的啟發。

在我的研究生教學生活中，很多學生會要求我給一個研究問題，然后過一段時間會問我怎么解這個問題。有些學生到了研究生階段，基本上還是如同在中學階段，只會做習題。這簡單說來，就是缺乏創新的能力。所以，對新進的研究生我總是告訴他們：最頂尖的科學家是自己發現問題、提出問題，并且自己解決問題。一個頂尖科學家首先是能夠發現和提出問題，其次才是找到解決途徑。解決先人提出的著名問題，固然很好，但更重要的是在解決先人著名問題的同時，能提出新的問題。而有些關鍵的問題是應該從小就開始問了。通常基礎的問題、從基礎問起的問題，才是關鍵的問題、顛覆性的問題、真正創新的問題。愛因斯坦就是從小就喜歡光線，可以長時間地看著太陽，問自己：“什么是光？”黎曼、羅巴切夫斯基就是一直問自己：“數學的公理基礎是什么？”

由于工作的關系，經常有人找我，說解決了諸如三等分角的問題，文章只有3頁紙，希望我推薦發表，當然最終目標是幫助他們出名。這個問題在數學上是已經解決的問題，答案是不可能用圓規直尺三等分任何給定角，當然其背后是一整套的伽羅瓦理論。在數學上證明解的不存在性是更為困難的問題，而這也是數學的魅力所在。我告訴他們：三等分角問題為什么會有名的原因，就是背后的伽羅瓦理論；如果三等分角問題可以用3頁紙解決，就比兩等分角稍微難一點，那么這個問題也就不會那么著名了。

現在是一個創新的年代，可能大家會認為，數學，特別是中學的數學，或者可以到大學的高等數學范疇，已經沒有什么可以創新的了。中學數學已經經過幾千年的發展，又經過幾百年的系統化、現代化，用高等數學的語言說，已經是完備的了。事實果真如此嗎？在教授中學數學時只需要灌輸，只是教師灌輸的水平不同嗎？怎么在教授中學數學的同時培養學生的質疑精神——這一科學的基本精神呢？看看數學的發展吧！如果中學數學已經完備了，那么大學數學又是從哪兒來的？現代數學呢？偉大的數學家希爾伯特在第二屆國際數學家大會上曾經做過一個著名的報告，提出了23個問題，并且認為這是數學的可以說是全部的剩余問題。他在報告的結束語中說，如果我們足夠聰敏，可能可以在100年內解決所有這些問題。現在100年過去了，離開這些問題的全部解決還遙遙無期。事實上，在希爾伯特（David Hilbert,1862—1943）提出23個問題后4年，在第三屆國際數學家大會上，另一位偉大的數學家——哥德爾（Kurt Godel,1906—1978），就用數學證明了“任何系統都不可能是封閉的”，而且它的根本問題往往在其根本上。在中學教授學生數學，這沒有什么可以質疑的，學生只要記住就行，不可能跑出數學之外。但對基礎數學問題的深入研究一定會引出新的數學問題，一定會跑出數學之外，成為數學的新的學科生長點。事實上，數學的這種內部的矛盾在數學產生時就已經寫在數學的DNA中。我們就是應該從數學的產生開始質疑。

數學到現在已經成為一個龐大的系統。從另一方面看，它由兩部分組成。一個是數學知識，一個是數學文化。課堂里教的是數學知識，但并不是知識越多就越有文化。文化是需要去體驗、去發掘、去融入的。

為了給沉悶的灌輸式的中學數學教育加一點“調料”，在參加“英才計劃”的學生及導師的建議下，我們有了編寫這么一本書的想法，于是，邀請了一些大學數學老師，編寫這么一本題為《數學之外與數學之內》的書。與中學數學那樣按部就班地灌輸知識不同，參編者想寫什么就寫什么，可以寫數學之內的知識，也可以寫數學之外的管窺。傳統的中學數學教育的特征是配方式的“細糧飼料”，填鴨式的喂養灌輸，缺少“粗糧”與“雜糧”。這本書只是“調料”，以增加新思想的味道；只是“餐余”，以增加產生新思想的“肥料”，特征就是——雜。希望這本書可以給吃慣“細糧”的同學，品嘗一點“粗糧、雜糧”，以補充學習營養的單一性。書中的文章是按文章名的順序編排，讓讀者自己去發現它們之間的關系。我一直認為，我們現在的數學課本編寫得太好了；哪里是重點，哪里是小結，剝奪了學生自己找出內容的主題和關聯性的訓練。我在剛進大學時，老師教我的就是：讀懂一本書就是把厚書讀薄的能力，簡單地說就是自己整理出脈絡，列出提綱。這作為前言，好像已經講得太多了。而且現在很多人已經很少看書，即使看書也很少看前言，所以就寫這些，希望還是會有有心人從中獲得一些什么東西。

本書的出版得到了中國科學技術協會、國家自然科學基金委員會、上海市工業與應用數學學會、上海市現代應用數學重點實驗室的支持，作者在此表示感謝。

復旦大學數學科學學院 吳宗敏